目錄TOC\o"1-3"\h\u100461. 515142. 5241513. 5209744. 5128015. 533146. 518322 616016 62410 827661 917025 1111326 1312072 134030 1429935 1410159 1817124 181942 209337 2217179 239418 2511945 253380 268781 298518 2914400 312966 323322 332571 3429901 347571 3631569 3724666 3725380 3832518 4020691 4229825 4625063 4725939 5014693 507842 535442 547754 5523715 5529877 6121721 635711 6423416 678656 6713823 682488 6919435 7017062 701577 73專家的帶領(lǐng)下，我建立了一個(gè)名為“Zearn”的非營利性機(jī)構(gòu)，其下的ZearnMath是一個(gè)頂級(jí)的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺(tái)，為幼兒園到八年級(jí)的孩子提我絕不是第一個(gè)為數(shù)學(xué)唱贊歌的人。數(shù)學(xué)（h）這個(gè)詞來源于拉丁語詞根，意思是學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是每個(gè)有記載的人類文明的中心。美索不達(dá)米亞、古埃及、中國、古印度、瑪雅和古希臘的數(shù)學(xué)家在幾千年前提出的開創(chuàng)性思想，每天都被我們用來解決最平凡和最復(fù)雜的問題，從而不斷塑造著人類的命運(yùn)。從0這個(gè)基本概念到微分的高級(jí)思想，數(shù)學(xué)始終處于人類歷史的中心。數(shù)學(xué)之光照亮了音樂、建筑和藝術(shù)的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造了美和奇跡。習(xí)體驗(yàn)，幫助所有孩子愛上數(shù)學(xué)。她直直地盯著我的眼睛，停頓了一下，然后說：整個(gè)中學(xué)階段我都害怕數(shù)學(xué)，不過我還是戰(zhàn)勝了它。我現(xiàn)在只是特別不喜歡數(shù)學(xué)而已。不過，我確實(shí)每天都要用到它，因?yàn)槲以诠ぷ髦行枰帉戭A(yù)算?！?*JayCaspianKang,“WhatDoWeReallyKnowaboutTeachingKidsMath?,”NewYorker,November18,2022,\h數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的文章中提出了疑問，“答案是我們了解得并不多，而且我們知道的那一點(diǎn)兒東西也很有爭議”。然而，10ClaudiaGoldinandLawrenceF.Katz,TheRacebetweenEducationandTechnology(Cambridge,MA:BelknapPress,2010).GoldinandKatz,TheRacebetweenEducationandTechnology.GoldinandKatz,TheRacebetweenEducationand上高中。高中是富人的奢侈品，或者是通過入學(xué)考試才能享受的特權(quán)。能享受這個(gè)奢侈品的全是那些性別和種族都“正確”的人。然而，到1940年，美國兒童讀高中的比例上升了10倍，達(dá)到了70%以上。美國兒童教育發(fā)生的這個(gè)巨大變化大大改變了20—21世紀(jì)的文化、經(jīng)濟(jì)和政RoslinGroweandPaulaS.Montgomery,“EducationalEquityinAmerica:IsEducationtheGreatEqualizer?,”ProfessionalEducator25,no.2(2003):19世紀(jì)早期的教育領(lǐng)袖霍勒斯曼提倡免費(fèi)和普及教育（他沒能在有生之年看到高中教育革命，但影響了它的籌劃）。他認(rèn)為，教育是使眾生平等的偉大的均衡器，是社會(huì)機(jī)器的平衡輪”。歐洲繼續(xù)采用分類和測(cè)試的模式，而美國決定讓每個(gè)人都接受教育，包括女孩。（然而，大多數(shù)地方，每個(gè)人仍然只包括白人。整合教育系統(tǒng)的工作至今仍在繼續(xù)。）通過對(duì)兒童和人力資本的投入，美國在技術(shù)和經(jīng)濟(jì)進(jìn)步方面超越了當(dāng)時(shí)的其他發(fā)達(dá)國家。事實(shí)證明，讓所有學(xué)生，而不是挑選少數(shù)人接受高中教育，對(duì)所有人都有利。幾十年后，歐洲也開始效仿。美國的高中教育革命，而不是歐洲的分類模式，成為世界上所有國家的默認(rèn)教育模式。GuneetaBhalla,“TheStoryofthe1947PartitionasToldbythePeopleWhoWereThere,”Humanities43,no.3(Summer2022),\h作為難民的孩子，我親眼看見了良好的教育是如何改變生活的。當(dāng)我的父母還是小孩子時(shí)，他們的生活很動(dòng)蕩。1947年夏天，隨著印度擺脫殖民統(tǒng)治，英國匆忙計(jì)劃的毀滅性分治（印度和巴基斯坦劃界而治）導(dǎo)致1400萬人流離失所，估計(jì)有300萬人死亡。這是人類歷史上最大的難危機(jī)。作為孩子，看著全家人在印巴分治的余波中遠(yuǎn)渡重洋，我學(xué)到了3個(gè)關(guān)鍵的教訓(xùn)：第一，教育可以改變一個(gè)人的人生軌跡；第二，很多人很不幸，沒有機(jī)會(huì)接受教育；第三，整個(gè)體系非常不公平。所以，當(dāng)我有機(jī)會(huì)通過花費(fèi)時(shí)間和精力來增加接受教育的可能性時(shí)，我抓住了這個(gè)機(jī)會(huì)。ChipandDanHeath,Switch:HowtoChangeThingsWhenChangeIsHard,1sted.(NewYork:BroadwayBooks,式。他們使用的方法是研究“閃光點(diǎn)”，即克服重重困難的特殊案例。他們?cè)跁袑懙?，人們認(rèn)為，越南農(nóng)村兒童營養(yǎng)不良問題是貧困和衛(wèi)生“TheNation’sReportCard|NAEP,”NationalAssessmentofEducationalProgress,NationalCenterforEducationStatistics,accessedJuly20,2023,級(jí)學(xué)生的代表性樣本的教育評(píng)估工具，被稱為“國家成績單”，是我們了解美國學(xué)生數(shù)學(xué)成績的重要方式。而在這道題目上，我們失敗了：AmandaGrennell,“AChildLostaSixthofHisBrain,ThenMadeanAmazingComeback,”PBSNewsHour,August2,2018,\h請(qǐng)讓我以賓夕法尼亞州新斯坦頓市的小男孩坦納·科林斯的故事為例。坦納4歲時(shí)，大腦中長了一個(gè)高爾夫球大小的腫瘤，導(dǎo)致癲癇發(fā)作。上FerrisJabr,“CacheCab:TaxiDrivers’BrainsGrowtoNavigateLondon’sStreets,”ScientificAmerican,December8,2011,\hJeanPiaget,“PartI:CognitiveDevelopmentinChildren:PiagetDevelopmentandLearning,”JournalofResearchinScienceTeaching2,no.3(1964):176–86,/10.1002/tea.3660020306.輯思考。皮亞杰指出，幼兒以自我為中心，很難從他人的角度考慮問題。他還認(rèn)為，邏輯思維能力只能通過正規(guī)教育中的試錯(cuò)來獲得。但AlicePark,“Preschooler’sInnateKnowledgeMeansTheyCanProbablyDoAlgebra,”Time,March20,2014,/28952/preschoolers-事實(shí)上，加利福尼亞大學(xué)伯克利分校的一組研究人員比較了學(xué)齡前兒童與大學(xué)生求解的能力，結(jié)果顯示，學(xué)齡前兒童更勝一籌。這項(xiàng)研究結(jié)果還表明，學(xué)齡前兒童天生就理解多重因果關(guān)系的概念。研究人員向?qū)W齡前兒童和大學(xué)生展示了同一臺(tái)機(jī)器（他們稱之為玩具）。當(dāng)在機(jī)器托盤上放置正確顏色或數(shù)量的積木時(shí)，機(jī)器會(huì)亮燈并發(fā)出聲音。讓機(jī)器亮燈的方法有兩種。第一種方法是將一塊藍(lán)色積木放在托盤上，第二種方法是將一塊橙色積木和一塊紫色積木放在托盤上。研究人員要求每個(gè)小組利用積木使玩具亮燈，并讓他們?cè)谕嬗螒虻耐瑫r(shí)完成實(shí)驗(yàn)。JamesGorman,“HowSmartIsThisBird?LetItCounttheWays,”NewYorkTimes,December22,2011,sec.Science,\hJordanaCepelewicz,“AnimalsCanCountandUseZero.HowFarDoesTheirNumberSenseGo?,”QuantaMagazine,August9,\h事實(shí)證明，它們的能力與靈長類動(dòng)物不相上下。靈長類動(dòng)物可以將屏幕上的物品由少到多排序，即使這些物品的大小和形狀各不相同。哪2012年，我與一些人共同創(chuàng)立了非營利性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺(tái)nh。因?yàn)槭欠菭I利性的，所以nh平臺(tái)上的資源都是免費(fèi)的。這也讓我們能夠?qū)Ｗ⒂跒樗腥藢W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供服務(wù)這個(gè)長期目標(biāo)，而不是利潤這個(gè)短期目標(biāo)。老師們喜歡我們平臺(tái)的測(cè)試版數(shù)字化課程，會(huì)與同事分享這個(gè)網(wǎng)站，使其傳播開來。2023年，美國14的小學(xué)生和超過100萬的初中生活躍在這個(gè)平臺(tái)上。換句話說，數(shù)百萬學(xué)生在我們的網(wǎng)站上完成了140多億道數(shù)學(xué)題。因此，我們掌握了龐大的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)。通過數(shù)據(jù)，我們可以看到孩子們是否理解了盡管4比2大，但14比12小。通過這一平臺(tái)，我們可以每周推送代碼來更新課程，以更好地滿足學(xué)生的需求。我們的產(chǎn)品經(jīng)理和數(shù)據(jù)科學(xué)家可以梳理數(shù)據(jù)，回答學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最有效方法是什么。我們不斷地從數(shù)據(jù)中看到一些簡單而深刻的東前，他們受到各種阻礙，導(dǎo)致他們的學(xué)習(xí)能力沒有發(fā)揮到極限。根據(jù)140多億道被解答的數(shù)學(xué)題，我們可以得出這樣的結(jié)論：我們都有數(shù)學(xué)本能，我們都可以擁有數(shù)學(xué)大腦?！癓iterateandIlliterateWorldPopulation,”O(jiān)urWorldinData,/grapher/literate-and-illiterate-world圖1-1全世界15歲及以上人口中識(shí)字的人和不識(shí)字的人的比例資料來源：改編自O(shè)urWorldinD/literacy（CCBY4.0協(xié)議）OECD,PISA2022Results(VolumeI):TheStateofLearningandEquityinEducation(Paris:OECDPublishing,2023),另一組相關(guān)數(shù)據(jù)是美國與其他經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織成員國的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。在2022年國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（）這項(xiàng)國際考試中，美國高中生的閱讀能力排名第9，科學(xué)能力排名第16，而數(shù)學(xué)排名第34。簡而言之，歐洲國家和亞洲國家學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人數(shù)和學(xué)習(xí)的內(nèi)容都比美國生多，無論用什么方法分析，都會(huì)得出這樣的結(jié)果。同樣重要的是，現(xiàn)在排名靠前的許多國家，也就是所有表現(xiàn)優(yōu)異的亞洲國家，在50年前都與排名靠前的國家相距甚遠(yuǎn)。既然他們能取得這樣的成就，我們也能。我們都可以成為數(shù)學(xué)達(dá)人。

——金·斯坦利·——卡爾·定一個(gè)目標(biāo)——令人尷尬的沉寂。終于，有人說話了。顯然，他認(rèn)為我很尷尬，因此試圖幫助我擺脫這種尷尬的局面：沙琳妮，讓我們幫助他們享受數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)吧。他們不會(huì)愛上數(shù)學(xué)的，算了吧?！?月4日是美國獨(dú)立日?！狟enedictCarey,“WhatYourBrainLooksLikeWhenItSolvesaMathProblem,”NewYorkTimes,July28,2016,sec.Science,\h道確實(shí)如此。科學(xué)家通過磁共振成像發(fā)現(xiàn)，在解決難題后，人類的大腦會(huì)像7月4日的夜空一樣亮起來。這些頓悟時(shí)刻的感受無與倫比，本AnyaKamenetzandCoryTurner,“MathAnxietyIsReal.Here’sHowtoHelpYourChildAvoidIt,”KQED,September8,2020,\h·根據(jù)邁阿密–戴德縣公立學(xué)區(qū)的研究，93%的美國人有不同程度的數(shù)學(xué)焦慮癥。SarahD.Sparks,“TheMythFuelingMathAnxiety,”EducationWeek,January7,2020,sec.Teaching&Learning,\h數(shù)學(xué)焦慮癥。KamenetzandTurner,“MathAnxietyIsReal.Here’sHowtoHelpYourChildAvoid·經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織發(fā)現(xiàn)，30%的高中生在做數(shù)學(xué)題時(shí)感到“無助”。MarkH.AshcraftandJeremyA.Krause,“WorkingMemory,MathPerformance,andMathAnxiety,”PsychonomicBulletin&Review14,no.2(April1,2007):243–48,/10.3758/BF03194059.·認(rèn)知心理學(xué)家馬克·H.要求的大學(xué)專業(yè)，回避涉及數(shù)學(xué)的職業(yè)道路?！盧ichardJ.Dakeretal.,“First-YearStudents’MathAnxietyPredictsSTEMAvoidanceandUnderperformancethroughoutUniversity,IndependentlyofMathAbility,”NpjScienceofLearning6,no.1(June14,2021):1–13,/10.1038/s41539-021-00095-7.·一項(xiàng)研究顯示，一些對(duì)數(shù)學(xué)高度焦慮的學(xué)生為了速度而犧牲準(zhǔn)確性，尤其是當(dāng)他們?cè)诳荚囍杏龅诫y題時(shí)。人們認(rèn)為，這些焦慮的學(xué)生急于Sparks,“TheMythFuelingMath新興的認(rèn)知和神經(jīng)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)焦慮癥不僅是對(duì)成績差的一種反應(yīng)——事實(shí)上，在有數(shù)學(xué)焦慮癥的學(xué)生中，45等水平。更確切地說，數(shù)學(xué)焦慮癥與害怕失敗相關(guān)的大腦區(qū)域的高度活躍有關(guān)，而這種高度活躍在數(shù)學(xué)任務(wù)開始前（而不是完成任務(wù)的過程中）就開始了。如此一來，我們自然體會(huì)不到數(shù)學(xué)的樂趣，但是我們學(xué)會(huì)了害怕數(shù)學(xué)，甚至在我們開始解題之前，數(shù)學(xué)焦慮癥就已經(jīng)壓倒我們了。第1AlexisC.Madrigal,“YourSmartToasterCan’tHoldaCandletotheApolloComputer,”Atlantic,July16,2019,\h月球的大型計(jì)算機(jī)還要強(qiáng)大。這是一個(gè)保守的說法。一部現(xiàn)在已經(jīng)過時(shí)的iPhone6蘋果手機(jī)可以同時(shí)引導(dǎo)1.2億艘阿波羅計(jì)劃時(shí)代的宇宙飛船登陸月球。我們手中的普通設(shè)備擁有驚人的計(jì)算速度。我們其實(shí)已經(jīng)在依賴計(jì)算速度提供的基本服務(wù)了，如電力和電信基礎(chǔ)設(shè)施。為我們帶來了谷歌搜索的網(wǎng)頁排名（gnk）速完成數(shù)學(xué)計(jì)算的顛覆性力量。使用生成式人工智能（如h聊天機(jī)器人程序）帶來的不可思議的體驗(yàn)，主要依賴于數(shù)學(xué)模型和計(jì)算能力的突破。我們不再需要人類做快速計(jì)算。然而，我們確實(shí)需要有人慢慢地、有條不紊地、創(chuàng)造性地考慮如何使用快速計(jì)算能力來解決困難和有趣的問題。重視速度帶來了另一個(gè)重大問題：它有可能降低嚴(yán)謹(jǐn)性。達(dá)特茅斯學(xué)院現(xiàn)任校長西恩揮出自己的潛力時(shí)的表現(xiàn)。貝洛克在《紐約時(shí)報(bào)》暢銷書《窒息》中分享了她的發(fā)現(xiàn)：在解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，老練的學(xué)生的解題速度比新手慢，為的是防止在時(shí)間壓力下產(chǎn)生恐慌和窒息感。SianBeilock,Choke(NewYork:AtriaBooks,2011),https://\h/books/Choke/Sian-在一項(xiàng)研究中，物理學(xué)研究生、教授和完成了一門物理課的本科生，同時(shí)被要求在時(shí)間壓力下解決物理問題。題目很難，但學(xué)過那門課程的我在旁聽ZearnMath的軟件工程師努力解決棘手問題時(shí)，從來沒有聽到或看到有人像三年級(jí)學(xué)生快速背誦乘法表那樣大聲說出他們腦海中閃現(xiàn)的第一個(gè)想法。相反，他們會(huì)花一些時(shí)間討論問題的各個(gè)方面，把復(fù)雜的問題用更簡單的圖形表現(xiàn)出來（例如，在白板上用圖描述問題）AlixSpiegel,“StruggleforSmarts?HowEasternandWesternCulturesTackleLearning,”NPRMorningEdition,accessedJuly20,2023,\h解決難題的意愿差異。在一項(xiàng)研究中，他和研究人員給一年級(jí)學(xué)生出了一道很難的數(shù)學(xué)題。美國學(xué)生平均用時(shí)不到30秒就放棄了；而日本的“AssistingStudentsStrugglingwithMathematics:InterventionintheElementaryGrades,”IES,WhatWorksClearinghouse,March教育科學(xué)研究院（）是美國教育部的一個(gè)部門，也是一個(gè)備受尊敬的教學(xué)效果仲裁機(jī)構(gòu)。在綜合了數(shù)千項(xiàng)研究成果后，該部門認(rèn)為，為了支持學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是支持那些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生，經(jīng)常開展限時(shí)活動(dòng)來提高熟練度”是至關(guān)重要的。你可能要問，難道三年級(jí)限時(shí)乘法測(cè)驗(yàn)不屬于限時(shí)活動(dòng)嗎？是的，它們屬于限時(shí)活動(dòng)。WilliamJames,ThePrinciplesofPsychology(NewYork:NathanS.Roseetal.,“SimilaritiesandDifferencesbetweenWorkingMemoryandLong-TermMemory:EvidencefromtheLevels-of-ProcessingSpanTask,”JournalofExperimentalPsychology:Learning,Memory,andCognition36,no.2(2010):471–83,理解做數(shù)學(xué)題的速度或熟練度的重要性的另一個(gè)方法是將大腦和計(jì)算機(jī)做比較。購買計(jì)算機(jī)時(shí)，你需要決定購買多大的（隨機(jī)存取存儲(chǔ)器）——決定了計(jì)算機(jī)可以同時(shí)運(yùn)行的程序數(shù)量。和我們所說的人腦工作記憶有相似之處。在沒有現(xiàn)代科學(xué)工具的19世紀(jì)90年代，美國哲學(xué)家威廉詹姆斯對(duì)大腦的工作原理做了推測(cè)，并得出與后來的科學(xué)發(fā)現(xiàn)非常接近的結(jié)果。他認(rèn)為，大腦通過初級(jí)記憶和次級(jí)記憶發(fā)記憶功能，初級(jí)記憶持續(xù)幾秒鐘，將信息保存在我們的意識(shí)中，而次級(jí)記憶具有長期保持的性質(zhì)，可以根據(jù)需要進(jìn)入意識(shí)。詹姆斯的初級(jí)記憶就是我們現(xiàn)在所說的工作記憶。NPRStaf,“TheLobotomyofPatientH.M:APersonalTragedyandScientificBreakthrough,”NPR,August14,2016,sec.AuthorInterviews,\h分與記憶的不同部分相關(guān)聯(lián)。20世紀(jì)50年代有一個(gè)著名的故事：一個(gè)名叫H.M.的人，他的醫(yī)生為了讓他少受一些癲癇發(fā)作的痛苦，切除了他的一部分大腦。手術(shù)導(dǎo)致了一種奇怪的健忘癥：H.M.可以與人對(duì)話并完成需要工作記憶的任務(wù)，但到了第二天，他就會(huì)忘記談話的內(nèi)容，記憶，比如名字或事實(shí)，但沒有失去舊的外顯記憶。此外，在手術(shù)前后，H.M.都能建立新的程序性記憶，比如彈鋼琴的指法、乘法表的內(nèi)容常熟練，所以你會(huì)覺得自然而然。但是，H.M.無法建立新的外顯記憶，比如記住人名或地名。在做家庭作業(yè)或試卷中的數(shù)學(xué)題時(shí)，學(xué)生們似乎知道一些零散的東西，但是不能將它們整合起來，這可能是他們的工作記憶超載了，超載也會(huì)導(dǎo)致宕機(jī)。為了簡化預(yù)代數(shù)方程，七年級(jí)的學(xué)生可能需要計(jì)算67，再計(jì)算179計(jì)算。如果為了得到答案42和8占用了學(xué)生太多的工作記憶，而且學(xué)生的都在使用中，那么這個(gè)學(xué)生可能會(huì)感覺自己像是被困在封閉的空間里，茫然無措，會(huì)記不起方程簡化到哪里了。整合復(fù)雜性是一個(gè)有助于理解是和不是的術(shù)語。它的意思是，即使兩件事看起來是對(duì)立的（悖論的定義），它們也有可能同時(shí)為真。整合我都將依靠整合復(fù)雜性揭穿我們遇到的誤區(qū)?！癑amesWebbSpaceTelescope,”NASASolarSystemExploration,accessedJuly20,2023,/missions/james-webb-space-數(shù)以百計(jì)來自多個(gè)國家的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、工程師和技術(shù)人員攜手，憑借有條不紊的工作（大多緩慢）和高超的數(shù)學(xué)水平（有時(shí)很快）這個(gè)奇跡。關(guān)于的第一次討論始于1996年，然后研究人員在1999年開始了兩項(xiàng)概念研究。由于是建立在1999上的，它的構(gòu)思和創(chuàng)造需要?jiǎng)?chuàng)新，所以啟動(dòng)了這兩項(xiàng)概念研究。在計(jì)劃開始時(shí)，人們不確定這類大型空間望遠(yuǎn)鏡能否建造得足夠輕，使其可以被發(fā)射到太空中。沒有讓一個(gè)團(tuán)隊(duì)來解決這個(gè)挑戰(zhàn)，而是讓兩個(gè)團(tuán)隊(duì)開展研究。AlanH.Schoenfeld,“TheMathWars,”EducationalPolicy18,no.1(January1,2004):253–86,應(yīng)兼而有之，而不是非此即彼。這個(gè)問題可以追溯到“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”，這個(gè)詞出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代，但這場(chǎng)“戰(zhàn)爭”在學(xué)校里已經(jīng)打了至少50年。數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭更像是第一次世界大戰(zhàn)，而不是第二次世界大戰(zhàn)。第二次世界大戰(zhàn)是好人與壞人、國際反法西斯同盟與軸心國的較量。而描述第一次世界大戰(zhàn)就困難得多。常見的解釋是，一系列條約造成了多米諾骨牌效應(yīng)，使多個(gè)大洲陷入戰(zhàn)爭。第一個(gè)多米諾骨牌倒下是因?yàn)橐晃淮蠊话禋ⅰ?zhàn)爭結(jié)束時(shí)，有3000多萬人傷亡。與一戰(zhàn)類似，數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭也很復(fù)雜，沒有容易識(shí)別的好人和壞人。事實(shí)上，許多教育工作者或M工作者（比如我的軟件工程師和技術(shù)專家團(tuán)隊(duì)）往往不清楚數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭是關(guān)于什么的，涉及的問題也隨著政治潮流起伏不定。此外，數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭還會(huì)隨著社交媒體名人吸睛的言論和派系的風(fēng)云變幻而發(fā)生演變。與速度和數(shù)學(xué)有關(guān)的戰(zhàn)爭很簡單：一方過分重視速度，另一方則對(duì)速度重視不足。NationalMathematicsAdvisoryPanel,“FoundationsforSuccess:TheFinalReportoftheNationalMathematicsAdvisoryPanel”(Washington,DC:U.S.DepartmentofEducation,March2008),/fulltext/ED500486.pdf.相關(guān)研究并沒有公布在速度之戰(zhàn)中誰是贏家。問題是，雙方都不愿意接受研究提議的整合復(fù)雜性并取得適當(dāng)?shù)钠胶狻纱箨嚑I都沒有采取務(wù)實(shí)的方法，而是在純粹的思想意識(shí)上爭論不休，導(dǎo)致學(xué)生成為輸家。毫無疑問，對(duì)立的雙方對(duì)檢討自己的想法有什么實(shí)際用處并不感興趣。2008年，美國數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì)在最終報(bào)告中點(diǎn)名了交戰(zhàn)陣營，指出：為了讓學(xué)生為代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，課程必須同時(shí)培養(yǎng)概念理解、計(jì)算熟練度和解決問題的能力。爭論這些數(shù)學(xué)知識(shí)誰更重要是錯(cuò)誤的。這些能力是相互影響的，每一種能力都對(duì)掌握其他能力有促進(jìn)作用?！焙苊黠@，個(gè)陣營都沒有聽取美國數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì)的意見。JayCaspianKang,“HowMathBecameanObjectoftheCultureWars,”NewYorker,November15,2022,https://\h/news/our-DianePolachek,“PlanningInstructioninMathematicsattheEarlyChildhoodandElementarySchoolLevels,”LinkedIn,May24,2022,\h品”，“對(duì)日常生活所必需的思維方式有害無益”。與克伯屈同時(shí)代的戴維·斯內(nèi)登（哥倫比亞大學(xué)教育學(xué)院教授，后來擔(dān)任馬薩諸塞州教育委員會(huì)委員）稱代數(shù)“對(duì)90%的男孩和99%的女孩來說，是一門幾乎毫無價(jià)值的非功能性學(xué)科”。不管數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭中的對(duì)手是否意識(shí)到，他們的一些\h加利福尼亞大學(xué)伯克利分校的艾倫·H舍恩菲爾德教授記錄了100多年來人們對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的看法所發(fā)生的拉鋸式變化，以及由此導(dǎo)致的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的變化。例如，由于早期的反數(shù)學(xué)聯(lián)盟影響了政策和教學(xué)，選修代數(shù)的學(xué)生比例從1909年的57%急劇下降到1955年的不足25%。的數(shù)學(xué)能力。隨后，在20世紀(jì)50等數(shù)學(xué)的發(fā)展。在此期間，代數(shù)重新進(jìn)入了高中課程，而微積分更是第一次被納入高中課程。從那以后，每隔2030年（20世紀(jì)70年代和90年代，也許還有21世紀(jì)20年代），數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭就會(huì)打響（希望不會(huì)再次發(fā)生）。盡管兩個(gè)陣營都不認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)99的女孩來說毫無價(jià)值，但是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界，尤其是現(xiàn)實(shí)世界難以理解的。例如，每次數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭中都會(huì)出現(xiàn)的一場(chǎng)戰(zhàn)斗是步驟熟練度與概念理解之間的爭論。步驟熟練度的意思是，當(dāng)被問到439等于多少時(shí)，你知道如何做乘法運(yùn)算。通俗地說，乘法運(yùn)算就是把數(shù)字堆疊起來，然后進(jìn)位得到乘積。關(guān)于數(shù)學(xué)的這種爭論就好像英語老師在爭論是會(huì)讀步驟和概念這些詞重要，還是知道這些詞的意思重要。或者，就像醫(yī)生在爭論是為你的道你所做的數(shù)學(xué)題是什么意思。希拉是一位敬業(yè)且有才華的教育工作者，她找到了為數(shù)十個(gè)班級(jí)和數(shù)百名學(xué)生提供教學(xué)服務(wù)的方法。然而，她的真誠卻被速度決定一切錯(cuò)誤的前提引入了歧途。她深信能不假思索地回憶起所有乘法事實(shí)是學(xué)生在未來取得成功的關(guān)鍵，而不假思索意味著在2秒或更短時(shí)間內(nèi)說出這些事實(shí)。她把速度誤區(qū)發(fā)揮到了極致。如果我不能在1分鐘內(nèi)得出問題的答案，那就不值得付出努力。別人可以在1我知道限時(shí)測(cè)試和速度具有情境價(jià)值。我們?cè)赯earnMath上就使用了限時(shí)策略，因?yàn)橥ㄟ^平臺(tái)的測(cè)試和用戶的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)表明，限時(shí)測(cè)試和速度AneetaRattan,CatherineGood,andCarolS.Dweck,“‘It’sOk—NotEveryoneCanBeGoodatMath’:InstructorswithanEntityTheoryComfort(andDemotivate)Students,”JournalofExperimentalSocialPsychology48,no.3(May1,2012):731–37,/10.1016/j.jesp.2011.12.012.定學(xué)術(shù)任務(wù)的能力有兩種看法。第一種看法是增進(jìn)傾向的：學(xué)生相信自己的能力是可塑的，付出努力就會(huì)提高能力。第二種看法是實(shí)體傾向第2我知道10個(gè)20人班級(jí)的學(xué)生總數(shù)比6個(gè)20JordanaCepelewicz,“AnimalsCanCountandUseZero.HowFarDoesTheirNumberSenseGo?,”QuantaMagazine,August9,\h計(jì)算能力是天生的，我們應(yīng)該相信自己擁有這項(xiàng)能力，就像我們擁有學(xué)習(xí)語言的能力一樣。正如我在序章提到的，科學(xué)家已經(jīng)證明，嬰幼兒正如你看到的，別著急動(dòng)筆，全面透徹地考慮問題是關(guān)鍵。我們無須嚴(yán)格按照數(shù)字的順序計(jì)算，而是可以整體考慮，把所需的解題步驟從5（10步）減少到1步（2步）默而發(fā)人深省的方式指出了死記硬背的問題。他首先描述了他教的第一堂高中三角學(xué)課。他問學(xué)生：“sinπ/2全班同學(xué)的回答都是1BenOrlin,“WhenMemorizationGetsintheWayofLearning,”Atlantic,September10,2013,\h讓我直接引用奧林的文章吧，因?yàn)樗昝赖亟沂玖似渲械膯栴}：其實(shí)他們不知道n是什么意思，只是記住了事實(shí)。對(duì)他們來說，數(shù)學(xué)不是一個(gè)邏輯發(fā)現(xiàn)和深思熟慮的探索過程，而是一種一呼一應(yīng)的游戲。三角學(xué)只是史上最差的合唱吟唱出的不押韻的歌詞?！睂W(xué)習(xí)任何學(xué)科時(shí)僅記憶一些事實(shí)和規(guī)則會(huì)阻礙你真正地理解和享受其中的樂趣。我們需要拓寬視野，看到公式與其他概念之間的聯(lián)系。這被稱為組塊化或一致性記憶構(gòu)建。例如，記憶一組相關(guān)的物品（多種顏色）比記憶一組不相關(guān)的物品（咖啡桌上的物品）容易。我們的大腦會(huì)自動(dòng)利用組塊和模式為記憶搭建支架。事實(shí)上，神經(jīng)科學(xué)家已經(jīng)通過腦部掃描圖像證明，大腦在形成一致性記憶（青色）和形成不一致性記憶（漫畫小說、計(jì)算器、充電器、樂高積木、雜志、硬幣）時(shí)的工作方式是不同的。MarliekeT.R.vanKesterenetal.,“DiferentialRolesforMedialPrefrontalandMedialTemporalCorticesinSchema-DependentEncoding:FromCongruenttoIncongruent,”specialissue,Neuropsychologia51,no.12(October1,2013):2352–59,雖然在解題，但是并沒有真的理解。我有一張打印好的負(fù)數(shù)規(guī)則表，我正試圖按照表中的規(guī)則做題，就好像它是麥片盒子里的神秘解碼環(huán)一使用這個(gè)方法時(shí)，首先要畫一個(gè)橢圓形來覆蓋2和4，然后將它們相乘得到8，并將這個(gè)數(shù)字寫在下面。重復(fù)同樣的步驟，再畫一個(gè)橢圓形，并將得到的3寫在下面（這就是你的領(lǐng)結(jié)）。然后，將兩個(gè)分母相乘得到12，并將12寫在下面，再將8和3相加。好了，答案是1112。很棒。但個(gè)分?jǐn)?shù)相加，而不是兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，又會(huì)怎么樣呢？DavidM.Nabirahni,BrianR.Evans,andAshleyPersaud,“Al-Khwarizmi(Algorithm)andtheDevelopmentofAlgebra,”MathematicsTeachingResearchJournal11,no.1(2019).運(yùn)算法則一詞源于8世紀(jì)生活在花剌子模王國（今屬烏茲別克斯坦）的一位學(xué)者。goh是這位學(xué)者姓氏的拉丁化，他的全名是穆罕默德·伊本穆薩花剌子米?；ㄘ葑用资且晃惶煳膶W(xué)家、地理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，著有《印度算術(shù)法》。在這本書中，花剌子米詳細(xì)闡述了他在7世紀(jì)印度傳奇數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆羅摩笈多的著作中發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)。這種結(jié)構(gòu)為純粹數(shù)學(xué)創(chuàng)造了便利條件?；ㄘ葑用撞粌H熱愛純粹數(shù)學(xué)，還看到了它對(duì)所有人（包括商人、店主）都具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。他的書大受歡迎（用現(xiàn)在的話說，就是病毒式傳播），很快，整個(gè)伊斯蘭世界都采用這種系統(tǒng)。盡管我們只是簡單地把其稱為數(shù)字，但歷史學(xué)家稱其為印度–阿拉伯?dāng)?shù)字。12我發(fā)現(xiàn)，面對(duì)我不理解的數(shù)學(xué)知識(shí)或技術(shù)時(shí)，以下比喻很有用。如果我在計(jì)算3875時(shí)得到的答案是43，我立刻就知道算錯(cuò)了，因?yàn)?3比其中一個(gè)加數(shù)（75）小。究其原因，是匆忙之中，我只加了5，忘記加70了。學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，我們需要對(duì)為什么直覺發(fā)現(xiàn)離譜的錯(cuò)誤。第3如果數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)為一道題只有一個(gè)正確的解決方法，就會(huì)讓學(xué)生自以為是在解決問題，但實(shí)際上，學(xué)生只是在尋求答案見不鮮，最讓我惱火的是看到中小學(xué)生用這種方式做應(yīng)用題。請(qǐng)看以下這個(gè)典型的初中問題：商店以18美元的價(jià)格出售6袋彈珠，每袋彈珠的價(jià)格是多少？（Aoesng6bgsofbsor$18.htsheuntpeorabgofb）這道題目里并沒有秘密代碼。o可能表明要用乘法，也可能沒有這個(gè)意思。如果引導(dǎo)孩子們用單一方法（如尋找關(guān)鍵詞）做應(yīng)用題，他們就會(huì)問出這樣一些事與愿違的問題。在以上案例中，學(xué)生會(huì)直接計(jì)算618。如果你問學(xué)生為什么每袋彈珠的價(jià)格是108美元，比6要貴得多，他們就會(huì)疑惑地看著你。這就是典型的尋求答案的做法。我的建議是首先在腦海中制作一部電影。我來說說我的電影。我會(huì)想象一家商店，再想象我的面前有一只裝了一袋袋彈珠的箱子。箱子上有一個(gè)標(biāo)牌，上面寫著6袋18美元呢？我把18美元除以6，問是否可以用3美元買一袋彈珠（onebgofb）？所以，從故事里的這個(gè)問題可以看出，o與數(shù)學(xué)沒有任何關(guān)為我們不需要直覺的隱含信念危害極大。最終，我們會(huì)陷入數(shù)學(xué)模仿的境地——RachelRoss,“Eureka!TheArchimedesPrinciple,”LiveScience,April25,2017,https://\h/58839-archimedes-當(dāng)你愿意接受多種方法時(shí)，答案可能就會(huì)從意想不到的方向出現(xiàn)。關(guān)于突破性地解決問題，當(dāng)屬古希臘科學(xué)家兼數(shù)學(xué)家阿基米德的故事。公元前300年，阿基米德赤身裸體地在敘拉古的街道上奔跑，大喊：我找到了！”事情的起因是敘拉古國王讓阿基米德檢查他讓金匠制作的王冠否包含他交給金匠的全部黃金。王冠的形狀很奇怪，所以阿基米德無法將它放到天平上稱重，也無法用同樣大小的純金物品作為參考，以確保它不是鍍金的銀制品。如果阿基米德的檢查結(jié)果錯(cuò)了，國王可能會(huì)殺了他。····第一種方式是閉上眼睛，試著回憶鑰匙在你身上時(shí)，你所在的確切位置。你的思路大概是這樣的：我昨天晚上走進(jìn)公寓時(shí)穿的是什么？藍(lán)色抽屜里，也不在我的錢包里，但也許在我的雨衣口袋里。難道是在購物袋里？它們?cè)谖覓靷愕哪莻€(gè)架子上嗎？”FerrisJabr,“WhyYourBrainNeedsMoreDowntime,”ScientificAmerican,October15,2013,https://\h/article/mental-想，或者從事讓大腦放松、讓思緒信馬由韁的其他活動(dòng)。對(duì)我的家庭來說，一個(gè)行之有效的方法是從任何可行的地方著手。當(dāng)我們寫作文或“MITResearch—BrainProcessingofVisualInformation,”MITNews,December19,1996,/1996/visualprocessing.SusanHagen,“TheMind’sEye,”RochesterReview74,no.4(March2012):32–37.50年代的科學(xué)家聚在一起討論人工智能時(shí)，他們認(rèn)為教計(jì)算機(jī)下棋是非常困難的，但教計(jì)算機(jī)識(shí)別物體很容易?！笔聦?shí)證明，我們可以教計(jì)算將一張6英寸×6英寸的紙折成四等分，每個(gè)部分的面積是多少拿一張紙，裁成一個(gè)正方形（或接近正方形），——道格拉斯·保證我們的探測(cè)器到達(dá)月球。這同樣是一個(gè)整合復(fù)雜性問題。我們當(dāng)然需要知道5248等于多少，但如果我們只知道答案，就會(huì)錯(cuò)過數(shù)學(xué)帶給我們的很多東西。幸運(yùn)的是，有的學(xué)習(xí)方法既能給我們精確的答案，又能帶來其他好處。請(qǐng)?jiān)偎伎?337等于多少這個(gè)問題。如果老師這樣說：不用告訴我答案，我知道答案是100。但你知道怎么心算6337的結(jié)果嗎？第一步該干什么？現(xiàn)在，解題變成了一個(gè)過程。我有幸多次聽到二年級(jí)學(xué)生回答他們的思考過程，每個(gè)反饋都讓我很高興。一個(gè)學(xué)生說：我把它分解成603037。接著，我想那就是937，于是我得出答案是100。二年級(jí)學(xué)生給出了不一樣的方法：我觀察之后，發(fā)現(xiàn)3710。這就等于是計(jì)算603010，所以答案是100。”這是我們生活中需要的數(shù)學(xué)，是建造橋梁所需要的數(shù)學(xué)，也是你培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的方式。數(shù)學(xué)應(yīng)該作為一個(gè)合作過程來教授，就像其他學(xué)科一樣。我們通常認(rèn)為數(shù)學(xué)與–8階段的其他科目不同，認(rèn)為數(shù)學(xué)必須作為一項(xiàng)個(gè)人運(yùn)動(dòng)來教授，每個(gè)人都要爭先想出正確的答案。其他科目則是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，協(xié)作和過程被放到了次要地位，或者被剔除了。——《薄伽梵歌》第2章第69第4AP微積分BC指美國大學(xué)先修課程（AdvancedPlacement）中的微積分BC課程，是美國高中開設(shè)的一門高級(jí)數(shù)學(xué)課，旨在讓學(xué)生掌握大學(xué)等生數(shù)學(xué)課是我們學(xué)習(xí)AP微積分BC的唯一途徑。他說，我們中至少有兩個(gè)人（可能更多人）要被淘汰。他的話讓教室里變得鴉雀無聲。接CraigBarton,HowIWishI’dTaughtMaths:LessonsLearnedfromResearch,ConversationswithExperts,and12YearsofMistakes(York,PA:LearningSciencesInternational,2018).慮一下這個(gè)問題：如果沒有歸屬感，跌得最重的反而是工作記憶最強(qiáng)的那些學(xué)生，以及從其擁有的原始潛能看有望成才的那些學(xué)生。因?yàn)檫@ClaudeSteele,“Churn:LifeintheIncreasinglyDiverseWorldofHigherEducationandHowtoMakeItWork,”FacultyAdvancementNetwork,February4,2022,https://\h/claude-steele-churn-life-in-the-increasingly-diverse-world-of-higher-education-and-這就是在高中那堂數(shù)學(xué)課的剩余時(shí)間里，以及后來多個(gè)課堂上我的心理發(fā)生的變化。我總是忍不住想自己是不是選錯(cuò)了課。只要在一次作業(yè)中因粗心犯了錯(cuò)誤，都會(huì)成為決定我在3年后不適合學(xué)習(xí)微積分的一個(gè)高風(fēng)險(xiǎn)因素。斯坦福大學(xué)的著名心理學(xué)家克勞德斯蒂爾將這種現(xiàn)象稱為安，指因?yàn)閾?dān)心自己是否符合某種刻板印象（女孩學(xué)不好數(shù)學(xué)）而無法專注于眼下的任務(wù)（學(xué)數(shù)學(xué)）。也有人稱之為數(shù)學(xué)焦慮癥，意思是在壓力之下表現(xiàn)不佳。還有一些人談到了遭受這種欺辱后的生物效應(yīng)——或戰(zhàn)或逃反應(yīng)：血液從大腦流出，流向你的身體，讓你為逃跑做好準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)。成年后，通過閱讀研究資料和研究ZearnMath網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用程序的分析報(bào)告，我知道要擺脫這種受辱感或疏離感（缺失歸屬感），就必須有如果初中生的數(shù)學(xué)成績落后了，人們往往認(rèn)為他們即使現(xiàn)在努力，也為時(shí)已晚。這個(gè)想法是不正確的。首先，學(xué)生們?cè)趎h平臺(tái)上完成的那140多億道數(shù)學(xué)題表明，學(xué)數(shù)學(xué)有困難的初中生可以后來居上，完成符合年級(jí)水平的數(shù)學(xué)題，并顯著提高他們的成績。想一想羅杰費(fèi)德勒在12歲時(shí)第一次拿起網(wǎng)球拍、米斯蒂科普蘭在13成功的最晚啟蒙年齡還晚了57年。成年人也可以學(xué)好數(shù)學(xué)，也可以加入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的行列，即使童年時(shí)有過痛苦的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷。朱莉婭查爾德在40歲時(shí)開始學(xué)習(xí)烹飪，蘇珊柯林斯在46試、失敗、成功的重復(fù)過程。在某個(gè)時(shí)候，頓悟降臨：我能做到！我也是數(shù)學(xué)小能手（數(shù)學(xué)達(dá)人）！我屬于這門學(xué)科！接下來，我們討論一種典型的排他性數(shù)學(xué)教學(xué)方式，大多數(shù)人就是這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。老師問：25149等于多少？有兩三個(gè)學(xué)生（數(shù)學(xué)小能手）舉起了手，而你甚至還沒有理解題意。只有一個(gè)問題，只有一個(gè)答案，而數(shù)學(xué)小能手們率先解決了這個(gè)問題。你的心跳得很厲害，你的只有一個(gè)愿望：不要點(diǎn)你的名字。你不屬于這里?，F(xiàn)在，將這個(gè)場(chǎng)景與下面的場(chǎng)景做對(duì)比。老師沒有提問，而是在黑板上寫下這3學(xué)生：“首先，我觀察到每道題中的第二個(gè)數(shù)字每次遞減10，從59到49，再到39另一名學(xué)生：“意味著我們可以檢查三道題的答案，每道題的答案都應(yīng)該比前一題小10法。分享其實(shí)就是在學(xué)習(xí)數(shù)字的深?yuàn)W規(guī)則：251由200、50和1組成，數(shù)字按任何順序相加，最后的結(jié)果都是一樣的。這也是元認(rèn)知學(xué)習(xí)（學(xué)習(xí)如何學(xué)習(xí)），學(xué)問題的，從而提升自己的解題能力。因此，沒有人被排除在外，所有學(xué)生都獲得了更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。傳統(tǒng)主義者可能會(huì)支持競爭式數(shù)學(xué)教學(xué)，嘲笑合作式數(shù)學(xué)教學(xué)，認(rèn)為它不切實(shí)際，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。這是因?yàn)樗麄兿乱庾R(shí)地認(rèn)為合作式教學(xué)過于輕松，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有難度，有嚴(yán)格的規(guī)范。但這些發(fā)出嘲笑的人可能從來沒有從事過工作，沒有開發(fā)過軟件，也沒有處理過復(fù)雜的數(shù)據(jù)。的唯一選擇（事實(shí)上，它會(huì)讓你不愿意提供幫助）。孩子們彼此合作，相互學(xué)習(xí)，這種經(jīng)歷將幫助他們?cè)谖磥砀玫亟鉀Q問題——方法反映了現(xiàn)實(shí)世界的環(huán)境，并可以訓(xùn)練孩子們?cè)谶@些領(lǐng)域取得成功。DanielJ.Hemel,“Summers’CommentsonWomenandScienceDrawIre,”HarvardCrimson,January14,2005,https://www.thecrimson.生有能力，從而引發(fā)了一場(chǎng)輿論風(fēng)暴。LindaCalhoun,ShruthiJayaram,andNatashaMadorsky,“LeakyPipelinesorBrokenScaffolding?SupportingWomen’sLeadershipinSTEM(SSIR),”StanfordSocialInnovationReview,June1,有一些女性憑借與男性相當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)進(jìn)入了STEM領(lǐng)域，但后來很多人退出了。CatherineGood,AneetaRattan,andCarolS.Dweck,“WhyDoWomenOptOut?SenseofBelongingandWomen’sRepresentationinMathematics,”JournalofPersonalityandSocialPsychology102,no.4(2012):700–717,/10.1037/a0026659.三人決定從頂層人才輸送管道的一個(gè)斷點(diǎn)開始這項(xiàng)研究：與男性同行相比，進(jìn)入重點(diǎn)大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的女性繼續(xù)從事的比例較低。這些女性確實(shí)注冊(cè)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)課程，一些客觀的測(cè)量數(shù)據(jù)也證明她們既擅長數(shù)學(xué)又對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，但更廣泛的社會(huì)數(shù)據(jù)顯示，她們和其他情況類似的女性一樣，沒有繼續(xù)從事領(lǐng)域的職業(yè)。無可辯駁的長期成功記錄的女性，也仍然在懷疑自己是否屬于這個(gè)群體——這些數(shù)學(xué)成績優(yōu)異的女性和男性設(shè)計(jì)了一項(xiàng)調(diào)查。當(dāng)被問及是否同意我覺得自己不夠好我希望自己是隱形人這樣的說法時(shí)，數(shù)量驚人的女性給出了肯定的回答（而男性沒有）。相反，女性對(duì)即使我學(xué)得不好，我也相信老師對(duì)我的潛力有信心普遍給出了否定的回答，而男性的回答是肯定的。MichaelBrodaetal.,“ReducingInequalityinAcademicSuccessforIncomingCollegeStudents:ARandomizedTrialofGrowthMindsetandBelongingInterventions,”JournalofResearchonEducationalEffectiveness11,no.3(July3,2018):317–38,這不僅僅是女性的問題。調(diào)查結(jié)果顯示，雖然男性的數(shù)學(xué)課成績更好，但他們也會(huì)有類似的被排斥感。有色人種學(xué)生可以借鑒的楷模更少，學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)很容易感受到排斥。年輕人（尤其是青少年）也很難找到歸屬感。該領(lǐng)域的主要研究人員戴維.自問多次：我是那種有可能（也會(huì)被允許）學(xué)業(yè)有成的人嗎？”培養(yǎng)成長型思維模式（告訴孩子，成功是建立在努力學(xué)習(xí)和良好策略之上的，而不僅僅是由天賦的上下限決定的）減弱刻板印象的威脅（要意識(shí)到我們的文化在“誰擅長數(shù)學(xué)”這個(gè)問題上傳遞給我們的微妙信息和明確信息）CarolDweck,“WhatHavinga‘GrowthMindset’ActuallyMeans,”HarvardBusinessReview,January13,2016,/2016/01/what-那些無須努力的天才羨慕不已。我身邊的朋友都在吹噓自己做任何事情都毫不費(fèi)力，包括課程學(xué)習(xí)、課外活動(dòng)、穿搭。那篇論文我沒花多少力氣就完成了。我居然得了，太讓我吃驚了。我是如何在領(lǐng)導(dǎo)可持續(xù)食品倡議俱樂部的同時(shí)完成課業(yè)的？其實(shí)很簡單，沒有什么好說志。我甚至記得我曾為此自我安慰：沒關(guān)系，沙琳妮，你只是不聰明，做任何事情都不是那么有天賦，而別人是天才。但是，你很努力。這不是什么好事，但是你只能如此?！弊苑Q工人。起初，我為他感到尷尬，但后來我開始?xì)J佩他。不久，我結(jié)識(shí)了一些工人朋友；我找到了我的部落?，F(xiàn)在，當(dāng)我看到美麗的歷水、毅力和決心而肅然起敬。我覺得堅(jiān)持令人敬畏。相反，如果學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中搞砸了，更好的做法是對(duì)他說：好吧，讓我們反思一下。你有什么體會(huì)嗎？有什么不明白的地方？下次我們能做些什么改變呢？由于粗心的計(jì)算錯(cuò)誤而在考試中被扣分可能會(huì)引發(fā)自主學(xué)習(xí)。學(xué)生在下一次做題時(shí)的速度可能會(huì)慢一些，或者會(huì)在做完后該是嘗試新的策略和理解數(shù)學(xué)。ClaudeM.Steele,“AThreatintheAir:HowStereotypesShapeIntellectualIdentityandPerformance,”AmericanPsychologist52,no.6(1997):613–29,/10.1037/0003-066X.52.6.613.第二個(gè)關(guān)于創(chuàng)造歸屬感環(huán)境的建議是減弱刻板印象的威脅?？藙诘滤沟贍柊l(fā)現(xiàn)，如果人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)前被提醒身為女性或黑人的刻板印象，他們的表現(xiàn)就會(huì)變差。為什么呢？因?yàn)樗麄儽惶嵝咽菙?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的圈外人，被提醒不適合學(xué)數(shù)學(xué)。即使白人男性在被提醒數(shù)學(xué)不如亞洲性后，他們的成績也會(huì)下降。沒有任何群體可以不受影響。明。他傳遞給我的確實(shí)是這個(gè)意思，不過使用的是他自己的過時(shí)方式?？吹轿页煽?cè)愀猓Ｓ趹?yīng)付，他沒有憐憫我，也沒有降低對(duì)我的期望。他鼓勵(lì)我盡最大的努力，并告訴我他相信我。最近10年，為了建立和完善ZearnMath平臺(tái)，我觀摩過數(shù)千堂數(shù)學(xué)課。在撰寫本書時(shí)，學(xué)生用戶已經(jīng)在我們這個(gè)學(xué)習(xí)平臺(tái)上完成了140多億道以下是一些關(guān)于培養(yǎng)（但不縱容）值得懷疑。例如，對(duì)很多這類考試來說，同一個(gè)學(xué)生在不同日期參加相同的考試，會(huì)得到不同的分?jǐn)?shù)。學(xué)生知道這類考試的目的是要讓他們分出優(yōu)劣。我們發(fā)現(xiàn)，如果學(xué)生頻繁接受測(cè)試，而且測(cè)試結(jié)果不會(huì)讓他們感受到太多的壓力（如每周安排多次小測(cè)驗(yàn)），只是讓他們知道哪些地方需要引起注意，那么所有學(xué)生都能取得更好的學(xué)習(xí)效果，有更高的參與度。者群體歡迎的。正如長輩常說的：第一印象很重要。學(xué)習(xí)者根據(jù)他們?cè)谝荒?、一個(gè)學(xué)習(xí)單元和一天的教學(xué)剛開始時(shí)的情況，就能知道他們是否適合繼續(xù)學(xué)。我們已經(jīng)知道，一旦有線索提示教學(xué)是包容性的或者排斥性的，學(xué)生立刻就會(huì)捕捉到這些信息。小時(shí)候就覺得很有歸屬感，并且順利學(xué)完了數(shù)學(xué)課（通常是白人男性或亞洲男性），但他們對(duì)同學(xué)的經(jīng)歷一無所知：等等，沙琳妮，你是說有人在上數(shù)學(xué)課時(shí)感覺自己是局外人，這是真的嗎？我疑惑地回答：嗯，是的，是真的。”醫(yī)生（亞洲女性成功的企業(yè)家（黑人女性女性，我一直堅(jiān)持不懈地關(guān)注我的3個(gè)孩子，幫助他們正確面對(duì)社會(huì)上廣為流傳的刻板印象。那些刻板印象告訴他們，因?yàn)樗麄兪呛谌?，所以不可能在STEM領(lǐng)域和它帶來的財(cái)富創(chuàng)造中取得成功。我一直在思考，如何讓孩子們建立歸屬感。我們家有一句格言：‘艱苦是好事?！钡?們根據(jù)數(shù)百萬兒童創(chuàng)造的、匯集了140多億道數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)得出的核心見解。認(rèn)識(shí)到這一現(xiàn)實(shí)，就能引導(dǎo)我們找到比被大多數(shù)人接受的現(xiàn)有數(shù)學(xué)教學(xué)方法更加優(yōu)越的教學(xué)方法。（這是一個(gè)有趣而著名的哲學(xué)討論）“TheTruthaboutA&W’sThird-PoundBurgerandtheMajorMathMix-Up,”A&W,accessedJuly20,2023,/blog/aw-third-圖6-11/3磅”廣告圖片來源：?A&WRestaurants,Inc.,1980。ElizabethGreen,“WhyDoAmericansStinkatMath?,”NewYorkTimes,July23,2014,sec.Magazine,\h格?！薄癊ducationGPS—Finland,”O(jiān)ECD,accessedJuly20,2023,/CountryProfile?JeevanVasagar,“WhySingapore’sKidsAreSoGoodatMaths,”FinancialTimes,July22,2016,sec.FTMagazine,\h然而，當(dāng)你開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，你已經(jīng)會(huì)讀和寫了。在芬蘭和新加坡等數(shù)學(xué)成績優(yōu)異的國家，絕大多數(shù)孩子能用類似幼兒學(xué)習(xí)整數(shù)的具體方惑的抽象符號(hào)，而是通過切橙子和蛋糕來學(xué)習(xí)12、14或者13。他們把餅干掰開分享，他們繪制了很多數(shù)學(xué)圖形。他們不是在影印的練習(xí)冊(cè)上填空，而是開展具體的活動(dòng)，而且堅(jiān)持了很多年，并不是只在上幼兒園時(shí)使用這種方法學(xué)習(xí)。每天，他們都會(huì)在數(shù)學(xué)課上深刻地認(rèn)識(shí)到13比14大。這些孩子會(huì)經(jīng)?？吹?，也會(huì)畫出下面這種簡單的圖形。DanielT.Willingham,“HowKnowledgeHelps,”AmericanFederationofTeachers30,no.1(Spring2006),https://\h/ae/spring2006/willingham;MarliekeT.R.vanKesterenetal.,“DiferentialRolesforMedialPrefrontalandMedialTemporalCorticesinSchema-DependentEncoding:FromCongruenttoIncongruent,”specialissue,Neuropsychologia51,no.12(October1,2013):2352–59,中。學(xué)習(xí)新知識(shí)最簡單的方法就是把你所學(xué)的內(nèi)容和你已經(jīng)知道的內(nèi)容聯(lián)系起來。因?yàn)槲覀兯赖拇蟛糠种R(shí)都是具體的，前沿腦科學(xué)告舉例來說，12是多少很容易理解，你可以畫半個(gè)月亮或半個(gè)比薩餅。但84是多少呢？分子大于分母的分?jǐn)?shù)是什么意思？我們可以記住巧妙處理這些符號(hào)的技巧，但孩子能對(duì)這個(gè)數(shù)字有直觀的理解嗎（很多成年人可能都做不到）？和一門額外的高中數(shù)學(xué)課是預(yù)測(cè)能否從高中和大學(xué)畢業(yè)的最重要因素。因此，理解84這個(gè)符號(hào)的含義是非常重要的。首先，薩維茨基先生把一個(gè)橙子切成4塊。然后，他又把另一個(gè)橙子切成4我們用25秒的視頻來展示把2個(gè)橙子分別切成4塊的整個(gè)過程，用來表示84，并說明它是一個(gè)真實(shí)的數(shù)量。觀看鏡頭前的薩維茨基先生用25開橙子似乎是在浪費(fèi)時(shí)間，但事實(shí)并非如此。84的另一種表示方法是2。通過練習(xí)冊(cè)向低年級(jí)學(xué)生抽象地解釋84可以簡化為2，可能需要數(shù)周的時(shí)間。而通過切橙子，我們以一種學(xué)生可以深刻理解并牢牢記住的方式，在不到半分鐘的時(shí)間里，就向?qū)W生展示了84確實(shí)可以簡化為2。如果你仍然持懷疑態(tài)度，請(qǐng)回想一下鳥類和2天大的嬰兒的數(shù)學(xué)能力。我沒有提到鳥類和2數(shù)學(xué)是通過具體的物體和圖形呈現(xiàn)的。鳥類和2天大的嬰兒從未見過乘號(hào)、除號(hào)、等號(hào)之類的符號(hào)，他們看到的只是裝在碗里的食物或紅球。他們利用感興趣的物體做比較、做加減法，并不是在記憶規(guī)則或解碼符號(hào)，而是正在理解他們生活的這個(gè)世界。MargareteDelazeretal.,“LearningbyStrategiesandLearningbyDrill—EvidencefromanfMRIStudy,”NeuroImage25,no.3(April15,2005):838–49,/10.1016/j.neuroimage.2004.12.009.我們的絕大多數(shù)知識(shí)是通過觸摸和觀察周圍世界獲得的。因此，理解新概念的最簡單的方法就是使其具體化或直觀化。如果你不是視覺型學(xué)習(xí)者該怎么辦？完全不用擔(dān)心，因?yàn)楦静淮嬖谝曈X型學(xué)習(xí)者。研究表明，將學(xué)習(xí)風(fēng)格分為視覺型、聽覺型和動(dòng)覺型的流行觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。入。幾年前，我和一位非常成功的投資者聊天。他問我，在我們打造的ZearnMath平臺(tái)上，數(shù)百萬學(xué)生解決了140多億道數(shù)學(xué)題，我從中學(xué)到了什AndreasNieder,“PrefrontalCortexandtheEvolutionofSymbolicReference,”specialissue,CurrentOpinioninNeurobiology19,no.1(February1,2009):99–108,/10.1016/j.conb.2009.04.008.腦科學(xué)告訴我們，用符號(hào)思考需要前額葉皮質(zhì)的發(fā)育，而嬰幼兒尚未完成這個(gè)部位的發(fā)育。因此，必須具備兩個(gè)條件，孩子們才能用、甚他們一個(gè)符號(hào)可以有兩種含義，即所謂的雙重表征事物既代表自身又表征其他事物的能力。如果你在樓梯間里看到一張顯示最近的消防出口的地圖，旁邊還有一個(gè)紅色圓圈表示你所在的位置，你的大腦就需要激活理解雙重表征的能力。地圖是上面有黑線和紅色標(biāo)記的紙質(zhì)致兒來說，世界要具體得多。他們并未真的身處掛在樓梯間的那幅地圖里，所以對(duì)他們來說地圖很愚蠢，因?yàn)樗麄儾⒉辉诘貓D標(biāo)示的你所在的位置。作為構(gòu)建數(shù)字化課程的一個(gè)環(huán)節(jié)，10年來，我們大約每周去一次教室，傾聽孩子們的想法，并用視頻記錄下來。有一次，我們從一名學(xué)前班學(xué)生那里聽到了對(duì)我們幼兒園發(fā)展課程的反饋。她上的那節(jié)課剛結(jié)束，屏幕上突然出現(xiàn)了一個(gè)大腦，似乎正在長大。幼兒園老師問她這是什么，她的一名同學(xué)先回答說：那是你的大腦，它正在變大，因?yàn)槟憬衲陮W(xué)到了很多知識(shí)。這個(gè)孩子覺得大人的理解力令人擔(dān)憂，她說：我的大腦在我的腦袋里啊。我每次看這個(gè)視頻都會(huì)大笑。JudyS.DeLoache,KevinF.Miller,andKarlS.Rosengren,“TheCredibleShrinkingRoom:VeryYoungChildren’sPerformancewithSymbolicandNonsymbolicRelations,”PsychologicalScience8,no.4(July1,1997):308–13,/10.1111/j.1467-9280.1997.tb00443.x.有一個(gè)實(shí)驗(yàn)特別清楚地展示了學(xué)習(xí)雙重表征的過程。朱迪.德洛奇、凱文.米勒和卡爾.羅森格倫三位心理學(xué)家為了解兒童是如何發(fā)展抽象思維的，以23歲的幼兒為對(duì)象，設(shè)計(jì)了這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，他們向一個(gè)兩歲半的小女孩展示了一個(gè)玩具屋。然后，在小女孩的幫助下，們?cè)谕婢呶莸纳嘲l(fā)下面藏了一只微型泰迪熊玩偶。接下來，他們把小女孩帶到一扇（真正的）門前，讓她打開這扇門。門的另一邊是一間和玩具屋一模一樣的大房間，沙發(fā)下也藏著泰迪熊玩偶。三人讓小女孩找到泰迪熊，但她沒有找到。他們讓其他孩子重復(fù)同樣的步驟，結(jié)果其他孩子也沒有找到。三位心理學(xué)家告訴孩子們，他們?nèi)擞猩衿娴哪芰Γ梢钥s小和擴(kuò)大房間，還能把物體從玩具屋運(yùn)送到真實(shí)的房間里，從而把兩個(gè)場(chǎng)景聯(lián)系起來。三人通過聲音效果表示房間在變大或變小，最后，孩子們明白了玩具屋的房間和真實(shí)的房間互為表征，進(jìn)而找到了泰迪熊?！癢hoWasMariaMontessori?,”AmericanMontessoriSociety,accessedJuly20,2023,/About-Montessori/History-of-Who-Was-JeromeS.Bruner,TheProcessofEducation,rev.ed.(Cambridge,MA:HarvardUniversityPress,1977),33,為了證明具體學(xué)習(xí)的價(jià)值，實(shí)驗(yàn)人員花費(fèi)的時(shí)間比我們有腦科學(xué)支持其價(jià)值的時(shí)間還要長。多年前，追蹤大腦功能的磁共振成像儀器尚未問世，一些兒童發(fā)展專家就已經(jīng)通過科學(xué)的安排和兒童的直接參與，測(cè)試了有關(guān)的教學(xué)理論。這些實(shí)驗(yàn)人員包括瑪麗亞蒙臺(tái)梭利和心理學(xué)家杰羅姆布魯納。蒙臺(tái)梭利教育法和蒙臺(tái)梭利學(xué)校都源于前者的研究。在從事兒童相關(guān)工作的過程中，兒科醫(yī)生蒙臺(tái)梭利創(chuàng)造了著名的木制教具，目的是以一種有趣、淺顯易懂的方式建立對(duì)抽象概念的具體理解。順便一提，在現(xiàn)在的課堂上，仍然有人使用（和誤用）這些東西。正如布魯納指出的那樣，我們首先假設(shè)，任何學(xué)科都可以用某種理智、可靠的方式，教授給任何年齡階段的兒童”。蒙臺(tái)梭利和布魯納都斷定具體學(xué)JohnHovenandBarryGarelick,“SingaporeMath:SimpleorComplex?,”EducationalLeadership65(November1,贊同。在這個(gè)國家，每次教授新概念時(shí)，即使教授對(duì)象是六年級(jí)的學(xué)生，老師也會(huì)從操作具體材料開始，然后轉(zhuǎn)向表征或數(shù)學(xué)圖形，最后以在培訓(xùn)教師時(shí)，我們會(huì)向他們展示圖片，用來說明制作花生醬果醬三明治或其他食品（如袋裝什錦干果或巧克力牛奶）們的反應(yīng)是：哇，我真希望我也是這樣學(xué)數(shù)學(xué)的。這樣學(xué)的話，我的數(shù)學(xué)肯定很好。我得用這個(gè)方法來教我的學(xué)生。這樣教學(xué)，學(xué)生的理解不僅深刻，而且肯定很具體。只有具體地理解了某件事，我們才能將它抽象化。8885123，遠(yuǎn)大于643的兩倍倉位。事實(shí)上，它是立方體倉位倉儲(chǔ)體積的8倍，因此稱之為8倍倉位面積不會(huì)和立方體倉位相同，因?yàn)槿龡l邊的長度都加倍了。想象我們能“看到優(yōu)于任何冗長的解釋。為了證明這點(diǎn)，讓我分享一些適合幫助幼兒園到初中階段的孩子們頓悟的視覺資料。首先，孩子們是如何知道符號(hào)2表示數(shù)量2，以及2本身是一個(gè)事物的呢？學(xué)習(xí)是從兩個(gè)蘋果開始的。蘋果是可以吃的水果，一共有2個(gè)。然后，我們可以在紙上畫兩個(gè)圓。一個(gè)圓是一個(gè)事物，媽媽畫了兩個(gè)圓。最后，只剩下數(shù)字2，因?yàn)?既代表自身，也表示一個(gè)概念。它就是2。隨著大腦的發(fā)育，我們建立了對(duì)符號(hào)和數(shù)字的抽象數(shù)感。成年后，我們知道符號(hào)2表示數(shù)量2，自然不需要再使用2個(gè)蘋果的圖片了。然而，在識(shí)的嚴(yán)峻測(cè)試就變成了檢驗(yàn)?zāi)闶欠駮?huì)畫畫。第6在打造ZearnMath平臺(tái)的早期，我花了數(shù)千個(gè)小時(shí)觀察數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)生，注意到了一些令人吃驚的現(xiàn)象。喜歡數(shù)學(xué)并且表現(xiàn)出色的學(xué)生與學(xué)接下來，很多人會(huì)用語言說明他們下一步要采用的方法。比如，有的人會(huì)說：我想把18變成20。我知道35乘10等于350。因?yàn)槲覀兂说氖嵌皇?0，所以乘積是兩個(gè)350，也就是700。還有的人會(huì)說：35乘2等于70，因?yàn)槌藬?shù)是20，而不是2，所以我現(xiàn)在還需要乘10，最后的得數(shù)是700。這些思路可以用下圖表示。大家接下來的做法就沒有那么不同了。舉個(gè)例子，如果做到這一步后，與你討論的對(duì)象是一個(gè)初中生，他可能會(huì)說：現(xiàn)在，我已經(jīng)知道35乘20等于700。但是，我要求的是18個(gè)35等于多少。所以，我需要拿走2個(gè)35，也就是說，要減去70。換句話說，35乘18等于700減70。們可以得出答案是630。是計(jì)算步驟，在看到3518這道題后，我們就會(huì)直接用運(yùn)算法則求出答案。我們熟悉運(yùn)算法則，事實(shí)上，在思想意識(shí)的引導(dǎo)下，很多挑起數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭的人都喜歡使用運(yùn)算法則，而不考慮具體情況。（對(duì)此我也很驚訝。）則就不能同時(shí)學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地思考，不能用其他方法解決數(shù)學(xué)問題。MeganJackson,“LearntoEmbracetheArtofFailure,”theNEWS,June24,2019,https://\h/articles/141466-learn-to-embrace-the-提供學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。正如托馬斯·愛迪生所說：“我只不過是發(fā)現(xiàn)這2000種方法不能制造出燈泡?！彼枷胍庾R(shí)是排他的。雖然思想意識(shí)有助于我們的提示音時(shí)，堅(jiān)果就會(huì)烤得恰到好處?；ㄔ诮忸}想法上的時(shí)間越多，我就越有激情。就像追求完美的香蕉面包一樣，我會(huì)愛上3518這道題，喜歡聽到新的解題方法。這個(gè)方法的技術(shù)名稱是結(jié)合律。結(jié)合律的意思是計(jì)算3529時(shí)，無論按什么順序計(jì)算，乘積都是630。這個(gè)方法叫什么名字并不重要，重要的的公理。如果學(xué)生在做數(shù)學(xué)題時(shí)簡化問題，就會(huì)在擺弄數(shù)字的過程中憑直覺了解數(shù)學(xué)公理。RobertM.Pirsig,ZenandtheArtofMotorcycleMaintenance:AnInquiryintoValues(NewYork:Morrow,1974),166,\h在經(jīng)典著作《禪與摩托車維修藝術(shù)》中，敘述者在批評(píng)一本摩托車維修手冊(cè)時(shí)提出了類似的觀點(diǎn)：這種說明書真正讓人生氣的地方是，它們你的可能還不是最好的方法?！笔墙鉀Q問題的一個(gè)常見環(huán)節(jié)，因此會(huì)學(xué)著尋求幫助。他們可能會(huì)說：你能告訴我其他方法嗎？或者我沒理解你的問題，你能換個(gè)提問方式嗎？”錨圖是一種把知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化、清晰化的教學(xué)工具，常見于美國教室中。——課，發(fā)現(xiàn)很多教室里掛有錨圖。我經(jīng)?？吹藉^圖上寫著“犯錯(cuò)是學(xué)習(xí)的方式”，這是反饋豐富的環(huán)境中最好的“口號(hào)”。但孩子們知道，這些宣第7雖然嘗試不同的方法在家庭裝修領(lǐng)域很常見，但遺憾的是，許多人沒有意識(shí)到這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。直到快40策略。深諳此道的人可以節(jié)省很多的精力和情感，在解決問題的道路上不斷前進(jìn)。3歲的孩子玩堆疊或計(jì)數(shù)游戲時(shí)，或者我煮咖啡時(shí)，都可以用到這個(gè)策略。這是一項(xiàng)數(shù)學(xué)技能，也是一項(xiàng)生活技能，我們應(yīng)該在孩子能夠吸收這項(xiàng)技能時(shí)就教給他們?！癙laySpellingBee,”NewYorkTimes,sec.Games,accessedJuly20,2023,https://\h/puzzles/spelling-個(gè)叫作“拼詞比賽”的游戲。玩這款游戲時(shí)，你會(huì)看到7個(gè)字母，一個(gè)字母在中央，其余字母圍繞著它排成六面陣，你要用這6個(gè)字母組成盡可我是在我的一個(gè)兒子的引導(dǎo)下開始玩拼詞比賽的，他已經(jīng)玩了幾個(gè)星期了。那天，游戲給出的字母是、、、、、和。我們一起快速拼出了o（面包）、oo（織布機(jī)）、o（從……）、oo（房間）、oo（冷淡）。但是接下來我們遇到了障礙，都想不出別的詞了。DanielT.Willingham,“HowtoGetYourMindtoRead,”NewYorkTimes,November25,2017,sec.Opinion,\h在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，一些三年級(jí)學(xué)生（閱讀測(cè)試表明，有的學(xué)生閱讀能力強(qiáng)，有的學(xué)生閱讀能力差）熟悉足球但閱讀能力差的學(xué)生對(duì)文章做出準(zhǔn)確推斷的可能性是對(duì)足球了解不多但閱讀能力強(qiáng)的學(xué)生的3倍。這意味著在閱讀測(cè)試中得分高的學(xué)生是那些知識(shí)面廣的學(xué)生，他們通常對(duì)測(cè)試文章的主題至少有一點(diǎn)兒了解。當(dāng)然，相關(guān)性作為一種策略有其局限性。具體到圖像再到抽象教學(xué)法的提出者之一、科學(xué)家杰羅姆布魯納指出：有利，就有些感情用事了，就像強(qiáng)迫孩子機(jī)械地重復(fù)成年人社會(huì)的慣用語是空洞的形式主義一樣。興趣是可以創(chuàng)造和激發(fā)的。比如，我在讀七年級(jí)的雙胞胎兒子就是看不懂關(guān)于龍的書，也不會(huì)做涉及二戰(zhàn)火炮的數(shù)學(xué)題。這是一道四年級(jí)的減法題，要求我們借位，即把1000分解成10個(gè)100。四年級(jí)的學(xué)生做這道題時(shí)可能會(huì)遇到困難，尤其是百位上的0生答錯(cuò)了，老師通常的做法可能不是解決這個(gè)0引起的困惑，而是讓學(xué)生回過頭去復(fù)習(xí)二年級(jí)時(shí)教的多位數(shù)減法。在這種情況下，學(xué)生接下來會(huì)看到這樣的題目：利用視覺表征，我們可以繼續(xù)解這道題，并嘗試不同的方法，還可以重點(diǎn)關(guān)注借位——在創(chuàng)建ZearnMath平臺(tái)的早期（當(dāng)時(shí)，我們尚未掌握大量數(shù)據(jù)，或者我們團(tuán)隊(duì)中的數(shù)據(jù)科學(xué)家還沒有開始利用我們掌握的數(shù)據(jù)），我們對(duì)平臺(tái)幾年前，隨著科研人員和數(shù)據(jù)科學(xué)家的加入，再加上平臺(tái)的數(shù)據(jù)包含了超過140億道被解答過的題目，我們重新開始了這方面的研究。在新冠疫情最嚴(yán)重的時(shí)候，我和《魔鬼經(jīng)濟(jì)學(xué)》一書的作者史蒂芬去復(fù)習(xí)什么。我回答說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通常沒有回頭路。接著，我又補(bǔ)充說，解決之道不是讓學(xué)生復(fù)習(xí)低年級(jí)的知識(shí)，而是要向?qū)W生展示適合他們當(dāng)前水平的其他方法。ZearnMath應(yīng)用程序中被留在當(dāng)前年級(jí)水平并學(xué)到其他解題方法后的表現(xiàn)，與同一批學(xué)生在被調(diào)離當(dāng)前年級(jí)水平、進(jìn)入補(bǔ)習(xí)軌道后的表現(xiàn)做了盡管我們是在回應(yīng)列維特的挑戰(zhàn)，并試圖證明情況沒有出乎我們的預(yù)料，但獲得的發(fā)現(xiàn)仍然讓我們大為震驚。人們經(jīng)常用讓我從椅子上摔了下來來表達(dá)震驚，我一直不明白這個(gè)表達(dá)從何而來，直到我在看到分析結(jié)果后從椅子上摔了下來。那是一把搖椅，當(dāng)時(shí)我把胳膊肘支在桌子上，雙手托著頭?？吹椒治鰣?bào)告的初稿后，我震驚得身體猛地一動(dòng)，椅子隨即向后翻倒。我砰的一聲摔在地板上，頭撞到了桌子。讓我震驚生留在當(dāng)前年級(jí)水平，所以他們自然完成了更多的當(dāng)前年級(jí)水平的內(nèi)容。數(shù)）。但是在看到1.42小數(shù)知識(shí)。她可能會(huì)做一些說出小數(shù)十分位、百分位和千分位的練習(xí)，或者連續(xù)幾周做一頁又一頁的小數(shù)除法練習(xí)題。在這段時(shí)間里，她會(huì)完全停止學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)。在這個(gè)七年級(jí)學(xué)生被1.42難住后，我們可以用下面的辦法向她展示這個(gè)問題。142是多少？7。正確，很簡單。接著，我們可以告訴她，小數(shù)運(yùn)算和整數(shù)運(yùn)算完全一樣，所以你已經(jīng)很接近理解這道題了。在這個(gè)時(shí)候，許多學(xué)生不需要更多的提示，就會(huì)說出答案是0.7要更多的指導(dǎo)，才能理解小數(shù)點(diǎn)的含義。我們還需要提醒這些學(xué)生，無論我們處理的是整數(shù)還是小數(shù)，十進(jìn)制的所有規(guī)則都適用。其他方法不一定復(fù)雜，只要略微鼓勵(lì)孩子們做出另一種嘗試，就能讓他們大步前進(jìn)。第8這個(gè)聰明孩子的母親在加入n，領(lǐng)導(dǎo)我們的教學(xué)方法研究后告訴我，我經(jīng)常說的天才是一個(gè)很糟糕的詞。她是對(duì)的。雖然在其他領(lǐng)域我們會(huì)贊揚(yáng)人們的努力，但在領(lǐng)域，我們談?wù)摰闹饕獙?duì)象仍然是孤獨(dú)的天才，而不是努力的團(tuán)隊(duì)或個(gè)人。事實(shí)上，在天才的崇拜，以至于努力常常被認(rèn)為是一件可恥的事情——如果不是輕而易舉地得出答案，就說明你根本不屬于這個(gè)領(lǐng)域。AllisonMcNearney,“TheMysteryofWhyMichelangeloBurnedHisSketchesJustBeforeHeDied,”DailyBeast,April21,2019,sec.ArtsandCulture,https://\h/the-mystery-of-why-michelangelo-burned-his-sketches-just-before-he-died.也不允許它們流傳。當(dāng)他意識(shí)到自己即將離開人世時(shí)，他把他在羅馬工作室的所有素描堆成兩堆，然后一把火燒了個(gè)干凈。因此，他的素描DougLederman,“WhoChangesMajors?(NotWhoYouThink),”InsideHigherEd,December7,2017,https://\h/news/2017/12/08/nearly-third-students-change-majo