2/2三角形全等幾何模型-一線三等角模型（基礎篇）（專項練習）模型一一線三垂直全等模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結論：△BEC≌△CDA圖一圖二一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，則DE的長是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm3．如圖，且，且，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（

）A．68 B．65 C．62 D．504．如圖，，，于點，于點，，，則的長為（

）

A． B． C． D．5．如圖，點、、在一條直線上，，，，則下列結論中，不正確的是（）A．與互為余角 B．C． D．6．如圖，DC⊥CA，EA⊥AC，DB⊥BE，BD＝BE，證明△BCD≌△EAB的理由是（

）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS7．如圖1，D?E?F分別為△ABC邊AC?AB?BC上的點，∠A=∠1=∠C，DE=DF，下面的結論一定成立的是（

）A．AE=FC B．AE=DE C．AE+FC=AC D．AD+FC=AB8．一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm二、填空題9．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．10．如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點O是斜邊AB的中點，若PQ等于，則OQ的長等于_____．11．如圖，，以點為直角頂點在第一象限作等腰直角，則點的坐標為_________

．12．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，，，則點的坐標是___________．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．則DE＝________．14．如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（1，5），則A點的坐標是_____．15．如圖，兩棵大樹間相距，小華從點沿走向點，行走一段時間后他到達點，此時他仰望兩棵大樹的頂點和，兩條視線的夾角正好為90°，且．已知大樹的高為，小華行走的速度為，則小華走的時間是__________．

16．如圖，兩根旗桿間相距20米，某人從點B沿BA走向點A，一段時間后他到達點M，此時他分別仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角為90°，且CM＝DM．已知旗桿BD的高為12米，該人的運動速度為2米/秒，則這個人運動到點M所用時間是________秒．17．如圖，中，∠BAC=90°，AB=AC，F是BC上一點，BDAF的延長線與D，CEAF于E，已知CE=5，BD=2，ED=__________．18．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，DE＝DF，BE＝5，CF＝2，則BC＝_____．19．如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且，，，矩形的周長為16，則AE的長是______．三、解答題20．已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．21．如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．22．如圖，已知在ΔABC中AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C兩點向過A的直線作垂線，垂足分別為E，F．求證：EF=BE+CE．如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線過點，于點，于點，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點，交于點，交于點，且，則是否成立？請說明理由．24．問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線m上，并且有，請求出DE，BD，CE三條線段的數量關系，并證明．（3）實際應用：如圖③，在中，，，點C的坐標為，點A的坐標為，請直接寫出B點的坐標．25．（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE；（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．26．（1）課本習題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內部的射線上，且．求證：．（3）拓展應用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結果，不需要寫解答過程）參考答案1．A【分析】根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據線段垂直平分線的性質得到AD＝ED，根據全等三角形的性質得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結論．解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質，屬于基礎題．2．C【分析】根據同角的余角相等，得∠CBE＝∠ACD，再利用AAS證明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，進而求得DE．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△ACD與△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故選：C．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，本題證明△ACD≌△CBE是關鍵.3．D【分析】根據垂直及各角之間的變換可得，利用全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性質得出，，同理利用全等三角形判定及性質可得出，，由此即可計算梯形的面積，由梯形的面積減去三個三角形的面積即可得．解：∵，，，∴，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，同理，，∴，∴梯形的面積是：，∴實線所圍成的圖形的面積：，，，故選：D．【點撥】題目主要考查了三角形的面積，梯形的面積，全等三角形的性質和判定等知識點，關鍵是把不規則圖形的面積轉化成規則圖形的面積進行計算．4．A【分析】根據題意證明，得到BE=DC，CE=AD，故可求出BE的長．解：，，，．，．在和中，，，，，，．故選A．【點撥】此題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定定理．5．D【分析】先利用余角得到∠A＋∠1＝90°，∠D＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°，根據等角代換可得∠A＝∠2，∠D＝∠1，∠A＋∠D＝90°，根據全等三角形的判定證得△ABC≌△CED，繼而即可判斷該選項正誤.解：∵，∴∠A＋∠1＝90°，∠D＋∠2＝90°，∵，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠A＝∠2，∠D＝∠1，∠A＋∠D＝90°，在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（ASA），綜上：A、B、C選項均正確，只有D選項不正確，故選：D【點撥】本題考查余角的定義、等角代換、全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法和余角的性質.6．D【分析】根據全等三角形的判定定理，由垂直的性質易得∠C=∠A=90°，在Rt△中利用等角的余角相等的性質,易證∠D=∠ABE，再加上已知BD＝BE，可見△BCD≌△EAB是用AAS的全等判定定理.解：∵DC⊥CA，EA⊥CA∴∠C=90°，∠A=90°∴∠C=∠A=90°，∠D+∠DBC=90°∵∠DBE=90°∴∠ABE+∠DBC=90°∴∠D=∠ABE在△BCD和△EAB中，∴△BCD≌△EAB（AAS）故選D.【點撥】本題主要考查直角三角形的性質及全等三角形的判定定理.充分利用已知條件，找出判定全等的條件是解題關鍵.7．C分析：由已知條件易證△ADE≌△CFD，由此即可得到AE=CD，AD=CF，從而可得AE+FC=AC.解：∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1，∴∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDF，∴∠AED=∠CDF，又∵∠A=∠C，AE=CD，∴△ADE≌△CFD，∴AE=CD，AD=CF，又∵AD+CD=AC，∴AE+FC=AC，∴上述四個結論中，正確的是C中的結論，其余三個結論都是錯誤的，故選C.點睛：由∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1證得∠AED=∠CDF是解答本題的關鍵.8．C解：由等腰直角三角形的性質可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長為7塊磚的厚度的和．【分析】解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．9．13【分析】先根據AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，垂線的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．10．【分析】由“AAS”可證△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可證△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性質和直角三角形的性質可求解．解：如圖，連接PO，并延長交l2于點H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS），∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵點O是斜邊AB的中點，∴AO＝BO，在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS），∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝，∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案為：6【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形和直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理，等腰三角形和直角三角形的性質定理是解題的關鍵．11．【分析】過點C作CD⊥y軸于點D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通過角的計算即可得出∠ABO＝∠BCD，再結合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS證出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進而可得出點C的坐標．解：過點C作CD⊥y軸于點D，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴點C的坐標為，故答案為：．【點撥】本題結合等腰直角三角形和坐標點綜合考查，關鍵在于輔助線的作法，過C點作垂直于x軸的垂線還是垂直于y軸的垂線是解題關鍵．12．(2,4)【分析】過點A作ACx軸，過點B作BDy軸，兩直線相交于點E，根據三角形全等判定定理得出?，即可得出AC、DE的長，由此得出結論．解：如圖所示：過點A作ACx軸，過點B作BDy軸，兩直線相交于點E，∵，∴，，∵，，，∴，，在與中，，?，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點撥】題目主要考查全等三角形的判定與性質，根據題意作出相應輔助線，構造出全等三角形是解題關鍵．13．1【分析】先證明△ACD≌△CBE，再求出DE的長，解決問題．解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∵∴∵∴∴，∴．故答案為：1【點撥】此題考查三角形全等的判定和性質，掌握再全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．14．（-7，3）【分析】先作輔助線、，通過導角證明，再證明，得到AD的長度(A的縱坐標長度)、DC長度(加上OC得到A橫坐標長度)，根據A點所在象限的符號，確定A點坐標．解：如圖，過點A作于點D，過點B作于點E點C的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A點的坐標是(-7，3)．【點撥】本題考查了全等三角形的證明(在兩個三角形中，如果有兩組對應角，和其中一組對應角的對邊分別相等，那么這兩個三角形全等)．15．【分析】首先證明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，進而可得EC=AB=5m，再求出BE的長，然后利用路程除以速度可得時間．解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=5m，∵BC=13m，∴BE=8m，∴小華走的時間是8÷1=8（s），故答案為：8s．【點撥】本題主要考查了全等三角形的應用，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是判定△ABE≌△ECD．16．4【分析】根據角的等量代換求出，便可證出，利用全等的性質得到，從而求出的長，再通過時間=路程÷速度列式計算即可．解：根據題意可得：，，，∵∴又∵∴∴在和中∴∴∴∴時間=故答案為4【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，利用角的等量代換找出三角形全等的條件是解題的關鍵．17．3【分析】由“AAS”可證△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，即可求解．解：∵BD⊥AF，CE⊥AF，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CE，BD=AE，∵CE=5，BD=2∴AD=5，AE=2∴DE=AD?AE=5?2=3，故答案為3.【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明△ABD≌△CAE是解決問題的關鍵．18．7．【分析】證明△BED≌△CDF（AAS），推出BD＝CF＝2，BE＝CD＝5即可解決問題．解：∵∠B＝∠C＝∠EDF＝50°，∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∴∠FDC＝∠BED，∵DE＝DF，∴△BED≌△CDF（AAS），∴BD＝CF＝2，BE＝CD＝5，∴BC＝BD+CD＝2+5＝7，故答案為7．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是判斷三角形全等是解決問題．19．3【分析】設，根據矩形的性質得出，，，求出，證，推出，求出，得出方程，求出即可.解：設，四邊形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，，矩形的周長為，，，即.故答案為：.【點撥】本題考查了三角形內角和定理，矩形性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是推出.20．見分析【分析】根據直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意義）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意義）∠ACE＝90°（已證）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性質）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形內角和等于180°）∠B＝90°（已證）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性質）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE（全等三角形對應邊相等）【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．21．3.5【分析】由平角定義及三角形內角和定理解得，繼而證明，得到，最后根據線段的和差解題．解：∠B=∠C=∠FDE=80°，在與中，

．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．22．見分析【分析】證明△BEA≌△AFC，然后利用對應邊相等就可以證明題目的結論．解：證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△BEA和△AFC中，∴△BEA≌△AFC（）．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=BE+CF．【點撥】此題主要考查了全等三角形的性質與判定，利用它們解決問題，經常用全等來證線段和的問題．23．（1）見分析；（2）仍然成立，理由見分析【分析】（1）首先根據同角的余角相等得到，然后證明，然后根據全等三角形對應邊相等得到，，然后通過線段之間的轉化即可證明；（2）首先根據三角形內角和定理得到，然后證明，根據全等三角形對應邊相等得到，最后通過線段之間的轉化即可證明．解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【點撥】此題考查了全等三角形的性質和判定，同角的與相等，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是根據同角的余角相等或三角形內角和定理得到．24．（1）BD；CE；證明見詳解；（2）DE=BD+CE；證明見詳解；（3）點B的坐標為．【分析】（1）根據全等三角形的判定和性質得到，，結合圖形解答即可；（2）根據三角形內角和定理、平角的定義證明，證明，根據全等三角形的性質得到，，結合圖形解答即可；（3）根據，得到，，根據坐標與圖形性質解答即可．解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，即：，故答案為：BD；CE；（2）解：數量關系：，證明：在中，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）解：如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，，∴，，∴，∴點B的坐標為．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質、坐標與圖形性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．25．（1）見分析；（2）成立，理由見分析【分析】（1）根據AAS證明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可證明；（2）同理證明△A