第12頁（共12頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷常考題之公式法一．選擇題（共7小題）1．（2025?南明區一模）多項式9xA．(3x-18yC．(3x-182．（2025春?福田區校級期中）已知a+b＝4，ab＝3，則a2b+ab2的值為（）A．12 B．7 C．4 D．33．（2025?呼和浩特二模）下列多項式在實數范圍內能用平方差公式分解因式的為（）A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy4．（2025春?禪城區校級期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣xy+y2 D．x5．（2025春?茂南區期中）若x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣56．（2024秋?平泉市期末）若k為任意整數，則（k+1）2﹣（k﹣1）2的值總能（）A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除7．（2024秋?翠屏區期末）甲、乙兩個同學分解因式x2+mx+n時，甲把m看錯分解結果為（x+3）（x﹣4），乙把n看錯分解結果為（x+1）（x+3），那么多項式x2+mx+n分解的正確結果是（）A．（x+2）（x﹣6） B．（x+6）（x﹣2） C．（x+4）（x﹣3） D．（x﹣1）（x+5）二．填空題（共5小題）8．（2025?興慶區模擬）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝．9．（2025?南崗區模擬）把多項式3a3﹣6a2b+3ab2分解因式的結果是．10．（2025?深圳二模）因式分解：4x2﹣4x+1＝．11．（2025?中寧縣模擬）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝．12．（2025?宿遷模擬）已知x+y＝5，xy＝2，則x2y+xy2的值是．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?順城區期末）因式分解：（1）9a2﹣36b2；（2）4x2y﹣4xy2+y3．14．（2024秋?廣信區期末）閱讀下列材料：將x2+2x﹣35分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數項：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗中項：③橫向寫出兩因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：（1）x2+5x+4；（2）x2﹣6x﹣7．15．（2024秋?平邑縣期末）閱讀材料，拓展知識．第一步：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），這種方法稱為分組法．第二步：理解知識，嘗試填空．（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝．第三步：應用知識，解決問題．（2）因式分解：①m2+5n﹣mn﹣5m＝．②x2﹣2x+1﹣y2＝．第四步：提煉思想，拓展應用．（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足a2+2b2+c2＝2b（a+c），試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷常考題之公式法參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案DACDAAB一．選擇題（共7小題）1．（2025?南明區一模）多項式9xA．(3x-18yC．(3x-18【考點】因式分解﹣運用公式法．【專題】因式分解；運算能力．【答案】D【分析】利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：9x故選：D．【點評】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．2．（2025春?福田區校級期中）已知a+b＝4，ab＝3，則a2b+ab2的值為（）A．12 B．7 C．4 D．3【考點】因式分解的應用．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】對所求式子進行因式分解，然后整體代入計算．【解答】解：由條件可知a2b+ab2＝ab（a+b）＝3×4＝12，故選：A．【點評】本題考查了提取公因式法分解因式，熟練掌握以上知識點是關鍵．3．（2025?呼和浩特二模）下列多項式在實數范圍內能用平方差公式分解因式的為（）A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy【考點】實數范圍內分解因式．【專題】計算題；整式；運算能力．【答案】C【分析】利用平方差公式對選項進行判斷即可．【解答】解：A．x2+y2，不能利用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能利用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；C．﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能利用平方差公式進行因式分解，故此選項符合題意；D．x2+2xy，不能利用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了實數范圍內分解因式，熟練掌握利用平方差公式進行因式分解的方法是解題關鍵．4．（2025春?禪城區校級期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣xy+y2 D．x【考點】因式分解﹣運用公式法．【答案】D【分析】分別進行因式分解，找到能用完全平方公式分解的即可．【解答】解：A、4x2﹣1＝（2x﹣1）（2x+1），是根據平方差公式，不是完全平方公式，故本選項錯誤；B、4x2+4x﹣1不能用公式法因式分解，故本選項錯誤；C、x2﹣xy+y2不能用公式法因式分解，故本選項錯誤；D、x2-x+14故選：D．【點評】本題考查了運用公式法進行因式分解，熟悉完全平方公式是解題的關鍵．5．（2025春?茂南區期中）若x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5【考點】因式分解﹣十字相乘法等．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】把等式的右邊展開得：x2﹣mx﹣15＝x2+（n+3）x+3n，然后根據對應項系數相等列式求解即可．【解答】解：∵x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），∴x2﹣mx﹣15＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴﹣m＝n+3，﹣15＝3n，解得n＝﹣5，m＝2．故選：A．【點評】本題考查因式分解與多項式的乘法是互為逆運算，根據對應項系數相等列出等式是解本題的關鍵．6．（2024秋?平泉市期末）若k為任意整數，則（k+1）2﹣（k﹣1）2的值總能（）A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除【考點】因式分解的應用．【專題】整式；運算能力．【答案】A【分析】利用平方差公式把（k+1）2﹣（k﹣1）2因式分解為4k，據此可得答案．【解答】解：（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k；∵k為任意整數，∴4k為整數，∴4k一定能被4整除，∴（k+1）2﹣（k﹣1）2的值總能被4整除，故選：A．【點評】本題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握該知識點是關鍵．7．（2024秋?翠屏區期末）甲、乙兩個同學分解因式x2+mx+n時，甲把m看錯分解結果為（x+3）（x﹣4），乙把n看錯分解結果為（x+1）（x+3），那么多項式x2+mx+n分解的正確結果是（）A．（x+2）（x﹣6） B．（x+6）（x﹣2） C．（x+4）（x﹣3） D．（x﹣1）（x+5）【考點】因式分解﹣十字相乘法等．【專題】整式；運算能力．【答案】B【分析】先計算（x+3）（x﹣4），（x+1）（x+3），根據甲的結果可求出n的值，根據乙的結果可求出m的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．【解答】解：（x+3）（x﹣4）＝x2﹣4x+3x﹣12＝x2﹣x﹣12，（x+1）（x+3）＝x2+3x+x+3＝x2+4x+3，由條件可知n＝﹣12，m＝4，∴x2+mx+n＝x2+4x﹣12＝（x+6）（x﹣2），故選：B．【點評】本題考查了因式分解、多項式乘以多項式，熟練掌握利用十字相乘法分解因式是解題關鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?興慶區模擬）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝3x（x﹣3y）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】整式；運算能力．【答案】3x（x﹣3y）2．【分析】先運用提公因式法進行因式分解，再運用完全平方公式進行因式分解，即可作答．【解答】解：原式＝3x（x2﹣6xy+9y2）＝3x（x﹣3y）2，故答案為：3x（x﹣3y）2．【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握該知識點是關鍵．9．（2025?南崗區模擬）把多項式3a3﹣6a2b+3ab2分解因式的結果是3a（a﹣b）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】因式分解；運算能力．【答案】3a（a﹣b）2．【分析】先提公因式3a，再根據完全平方公式分解因式即可．【解答】解：3a3﹣6a2b+3ab2＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2，故答案為：3a（a﹣b）2．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關鍵．10．（2025?深圳二模）因式分解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．【考點】因式分解﹣運用公式法．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．故答案為：（2x﹣1）2．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題關鍵．11．（2025?中寧縣模擬）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝3x（x﹣3y）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】整式；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】先運用提公因式法進行因式分解，再運用完全平方公式進行因式分解，即可作答．【解答】解：原式＝3x（x2﹣6xy+9y2）＝3x（x﹣3y）2，故答案為：3x（x﹣3y）2．【點評】本題考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解題的關鍵．12．（2025?宿遷模擬）已知x+y＝5，xy＝2，則x2y+xy2的值是10．【考點】因式分解的應用．【專題】整式；應用意識．【答案】10．【分析】本題將x2y+xy2分解因式即可解答．【解答】解：∵x+y＝5，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×5＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了分解因式的應用，熟練掌握提公因式法是解題關鍵．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?順城區期末）因式分解：（1）9a2﹣36b2；（2）4x2y﹣4xy2+y3．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）9（a+2b）（a﹣2b）；（2）y（2x﹣y）2．【分析】（1）先提公因式，再運用平方差公式進行因式分解，即可作答．（2）先提公因式，再運用完全平方公式進行因式分解，即可作答．【解答】解：（1）原式＝9（a2﹣4b2）＝9（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝y（4x2﹣4xy+y2）＝y（2x﹣y）2．【點評】本題考查了因式分解，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．14．（2024秋?廣信區期末）閱讀下列材料：將x2+2x﹣35分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項與常數項：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗中項：③橫向寫出兩因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：（1）x2+5x+4；（2）x2﹣6x﹣7．【考點】因式分解﹣十字相乘法等．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）（x+1）（x+4）；（2）（x+1）（x﹣7）．【分析】（1）根據十字相乘法分解因式即可；（2）根據十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）①豎分二次項與常數項：x2＝x?x，4＝（+1）×（+4），②，③橫向寫出兩因式：x2+5x+4＝（x+1）（x+4）；（2）①豎分二次項與常數項：x2＝x?x，﹣7＝（+1）×（﹣7）．②如圖：③橫向寫出兩因式：x2﹣6x﹣7＝（x+1）（x﹣7）．【點評】本題考查分解因式—十字相乘法，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解題的關鍵．15．（2024秋?平邑縣期末）閱讀材料，拓展知識．第一步：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，并提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），這種方法稱為分組法．第二步：理解知識，嘗試填空．（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝（b﹣c）（a﹣b）．第三步：應用知識，解決問題．（2）因式分解：①m2+5n﹣mn﹣5m＝（m﹣n）（m﹣5）．②x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）．第四步：提煉思想，拓展應用．（3）已知三角形的三邊長分別是a、b、c，且滿足a2+2b2+c2＝2b（a+c），試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．【考點】因式分解的應用．【專題】整式；運算能力．【答案】（1）（b﹣c）（a﹣b）；（2）①（m﹣n）（m﹣5）；②（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；（3）這個三角形為等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）仿照例題，先分組，再利用提取公因式法分解即可；（2）①先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；②先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移項后分解因式，可得出a＝b＝c，則可得出答案．【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝（b﹣c）（a﹣b），故答案為：（b﹣c）（a﹣b）；（2）①m2+5n﹣mn﹣5m＝m2﹣mn+5n﹣5m＝m（m﹣n）+5（n﹣m）＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n）＝（m﹣n）（m﹣5）；②x2﹣2x+1﹣y2＝（x2﹣2x+1）﹣y2＝（x﹣1）2﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；（3）這個三角形為等邊三角形．理由如下：∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，∴a2﹣2ba+b2+c2﹣2bc+b2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴這個三角形是等邊三角形．【點評】本題考查了因式分解的分組分解方法，等邊三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．

考點卡片1．因式分解-運用公式法1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍．3、要注意公