2/2三角形全等幾何模型-旋轉模型（專項練習）一、單選題1．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是（）A．4 B．2 C．1 D．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連結DE交BC于點F，連接BE．當AD＝BF時，∠BEF的度數是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°3．將4個邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點，，分別是三個正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．84．如圖，，與的平分線相交于點，于點，為中點，于，．下列說法正確的是()①；②；③；④若，則．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是邊BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四邊形AEPF的面積=△ABC的面積的一半，④當EF最短時，EF=AP，上述結論始終正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF，則下列結論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題7．如圖，等邊中，，則以線段為邊構成的三角形的各角的度數分別為______________________________．8．如圖，折線AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，將折線AB﹣BC繞點A按逆時針方向旋轉，得到折線AD﹣DE，點B的對應點落在線段BC上的點D處，點C的對應點落在點E處，連接CE，若CE⊥BC，則tan∠EDC＝_________________．9．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則___________度．10．兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉a（0α90°），如圖2所示．當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，則△ABC的面積為____．11．如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，連接ED，若BC=10，BD=9，則△AED的周長是______．12．如圖，在中，分別以、為邊向外作正方形、，連接、、、，若，則四邊形的面積__________．13．如圖，在四邊形中，于，則的長為__________三、解答題14．如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點C旋轉至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）15．如圖，等腰三角形中，，．作于點，將線段繞著點順時針旋轉角后得到線段，連接．（1）求證：；（2）延長線段，交線段于點．求的度數（用含有的式子表示）．16．在中，，，點為直線上的一個動點（不與點，重合），以為一邊在的右側作，使，，連．（1）如圖1，當點在線段上時，①與的位置關系是______；②線段、、之間的數量關系是______．（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的兩個結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結論再給出證明．17．（1）如圖1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三點在同一直線上，連接BD、AE，并延長AE交BD于點F，試判斷AE與BD的數量關系及位置關系，并證明你的結論．（2）若繞頂點C順時針轉任意角度后得到圖2，圖1中的結論是否仍然成立？請說明理由．18．如圖1，等腰中，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數量關系是______，位置關系是______．（2）探究證明：把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點在平面內自由旋轉，若，，請直接寫出面積的最大值．19．（1）操作發現：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點，分別在，邊上，為的中點，連結，．小明發現，你認為正確嗎？請說明理由．（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉一定的角度，上述結論會如何呢？為此進行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉（如圖2），其他條件不變，發現結論依然成立．請你給出證明．探究二：將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉（如圖3），其他條件不變，則結論還成立嗎？請說明理由．

如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系，并證明你的結論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論．21．（1）問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數為°；②線段AD、BE之間的數量關系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數量關系．（3）探究發現：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設直線AD與BE相交于點O，試在備用圖中探索∠AOE的度數，直接寫出結果，不必說明理由．22．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處，將角繞點旋轉，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點．（1）當、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當點在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數量關系，并證明你的結論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．參考答案1．C【分析】根據正方形的性質可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA證明△AOE≌△BOF，從而可得△AOE的面積＝△BOF的面積，進而可得四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積，問題即得解決．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積＝×22＝1；故選C．【點撥】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．2．D【分析】根據旋轉的性質可得CD＝CE和∠DCE＝90°，結合∠ACB＝90°，AC＝BC，可證△ACD≌△BCE，依據全等三角形的性質即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰△BEF，則可計算出∠BEF的度數．解：由旋轉性質可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．【點撥】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練運用旋轉的性質找出相等的線段和角，并能準確判定三角形全等，從而利用全等三角形性質解決相應的問題．3．B【分析】如圖：連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，易證≌，可得的面積是正方形的面積的，即每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，即可解答.解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．【點撥】本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點可知，每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，據此解題解答本題的關鍵是發現每個陰影部分的面積都等于正方形面積的．4．C【分析】根據平行線的性質以及角平分線的定義即可得到從而根據三角形的內角和定理得到，即可判斷①正確性；根據等角的余角相等可知，再由角平分線的定義與等量代換可知，即可判斷②正確性；通過面積的計算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷③正確性；通過角度的和差計算先求出的度數，再求出，再由三角形內角和定理及補角關系即可判斷④是否正確．解：①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC與∠DCA的平分線相交于點G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，則①正確；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根據等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，則②正確；③中，根據三角形的面積公式，∵為中點，∴AF=CF，∵與等底等高，∴，則③正確；④中，根據題意，得：在四邊形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根據直角三角形的兩個銳角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，則④錯誤.故正確的有①②③，故選：C．【點撥】本題主要考查了三角形的綜合應用，涉及到三角形面積求解，三角形的內角和定理，補角余角的計算，角平分線的定義，平行線的性質等相關知識點以及等量代換等數學思想，熟練掌握相關角度的和差倍分計算是解決本題的關鍵.5．D【分析】根據等腰直角三角形的性質可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S四邊形AEPF=S△APC，然后解答即可．解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵點P為BC的中點，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四邊形AEPF=S△APC，∴S四邊形AEPF=S△ABC，根據等腰直角三角形的性質，EF=PE，所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，此時，EF最短；故①②③④正確．故選D．【點撥】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟記各性質并求出三角形全等是解題的關鍵．6．D【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內角和與對頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，則③正確，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結論④正確．解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正確；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC與AG所交的對頂角相等，∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正確；過點F作FM⊥AE于點M，過點G作GN⊥AE交AE的延長線于點N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正確，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正確．故選：D．【點撥】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的三線合一性質與互余、對頂角，三角形內角和等幾何基礎知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．7．，，．【分析】通過旋轉至，可得是等邊三角形，將放在一個三角形中，進而求出各角大小。解：將逆時針旋轉，得到，∵，是等邊三角形，且旋轉角相等，則,∴是等邊三角形.則又∵∴故以線段三邊構成的三角形為所以故答案為：.【點撥】此題旨在考查圖形旋轉的特性和實際應用，以及等邊三角形的性質，熟練掌握圖形的旋轉的應用是解題的關鍵.8．##【分析】連接AC，AE，過點A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，可證四邊形AFCH是矩形，可得AF＝CH，由旋轉的性質可得AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，由“SAS”可證△ABC≌△ADE，可得AC＝AE，由等腰三角形的性質和勾股定理可得BF＝，AF＝，由三角函數可求解．解：如圖，連接AC，AE，過點A作AF⊥BC于F，作AH⊥EC于H，∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC，∴四邊形AFCH是矩形，∴AF＝CH，∵將折線AB﹣BC繞點A按逆時針方向旋轉，得到折線AD﹣DE，∴AD＝AB＝3，BC＝DE＝5，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AC＝AE，∵AC＝AE，AB＝AD，AF⊥BC，AH⊥EC，∴BF＝DF，CH＝EH，∵AB2＝AF2＋BF2，DE2＝DC2＋CE2，∴9＝AF2＋BF2，25＝（5﹣2BF）2＋4AF2，∴BF＝，AF＝，∴EC＝2CH＝2AF＝，CD＝5﹣2×＝，∴tan∠EDC＝＝，故答案為：．【點撥】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，利用勾股定理求出BF，AF的長是本題的關鍵．9．132【分析】先證明△BDC≌△AEC，進而得到角的關系，再由∠EBD的度數進行轉化，最后利用三角形的內角和即可得到答案．解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為132【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題．10．30【分析】設AO與BC的交點為點G，根據等腰直角三角形的性質證△AOC≌△BOD，進而得出△ABC是直角三角形，設AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再計算△ABC的面積即可．解：設AO與BC的交點為點G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．【點撥】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題．11．19．解：∵將△BCD繞點B逆時針旋轉60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD∴△DBE是等邊三角形∴DE=BD=9∴△AED的周長=DE+AD+AE=DE+AC=19故答案為：1912．18【分析】根據四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對邊相等，一對直角相等，根據圖形利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS即可得到△ABD≌△FBC；得到AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，利用等式的性質及垂直定義得到AD與CF垂直，由四邊形AFDC面積＝△ACD面積+△AFD面積，求出即可．解：連接FD，設CF與AD交于點M，CF與AB交于點N，如圖：∵四邊形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四邊形ACDF的面積．故答案為：18．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形、四邊形的面積，以及三角形的三邊關系，屬于多知識點的四邊形綜合題．能求出并證明AD⊥CF是解此題的關鍵．13．【分析】過點B作交DC的延長線交于點F，證明≌推出，，可得，由此即可解決問題；解：過點B作交DC的延長線交于點F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（1）證明見分析；（2）BE＝AD，理由見分析．【分析】（1）證出∠BCE＝∠ACD，根據SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結論；（2）圖2、圖3、圖4同樣證出∠BCE＝∠ACD，根據SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結論．解：（1）證明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：圖2、圖3、圖4中，BE＝AD，以圖2為例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．【點撥】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．15．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據“邊角邊”證，得到即可；（2）由（1）得，，再根據三角形內角和證明即可．解：線段繞點順時針旋轉角得到線段，，．，．在與中，．（2）解：，，又，，【點撥】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質和三角形內角和定理，解題關鍵是熟練運用全等三角形的判定與性質進行證明．16．（1）①垂直；②；（2）位置關系：垂直，數量關系：，證明見分析；【分析】（1）①先求證，得到，從而求得，即可求解；②根據①中的全等三角形，得到，從而求得；（2）先求證，得到，，從而求得，解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置關系：垂直，數量關系：，證明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握全等三角形的判定方法及有關性質是解題的關鍵．17．（1）AE=BD，AE⊥BD，見分析；（2）結論還成立，見分析【分析】（1）根據SAS推出ACE≌BCD，根據全等三角形的性質得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根據∠ACB＝90求出∠CAE+∠AEC＝90，求出∠DBC+∠BEF＝90，根據三角形內角和定理求出∠BFE＝90°即可；（2）根據SAS推出ACE≌BCD，根據全等三角形的性質得出AE=BD，∠CAE＝∠DBC，根據∠ACB＝90求出∠CAE+∠AOC＝90°，求出∠DBC+∠BOE＝90，根據三角形內角和定理求出∠BFO＝90即可．解：（1）AE=BD，AE⊥BD．∵，都是等腰三角形，∴AC=BC,CE=CD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AEC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，∴∠DBC+∠BEF＝90，∴∠BFE＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD；（2）解：結論還成立，理由是：∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AOC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90，∴∠BFO＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定綜合應用，以及等腰三角形性質、內角和定理，解此題的關鍵是通過全等得到對應邊、對應角相等．18．（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見分析；（3）98【分析】（1）根據題意可證得，利用三角形的中位線定理得出，，即可得出數量關系，再利用三角形的中位線定理得出，得出，通過角的轉換得出與互余，證得．（2）先證明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結論．（3）當最大時，的面積最大，而最大值是，，計算得出結論．解：（1）線段PM與PN的數量關系是，位置關系是．∵等腰中，，∴AB=AC，∵AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，∴BD=CE，∵點，，分別為，，的中點，∴，，∴；∵，∴，∵，∴，∵（兩直線平行內錯角相等），∴，∴．（2）是等腰直角三角形．證明：由旋轉可知，，，，∴，∴，，根據三角形的中位線定理可得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，∴，同（1）的方法得，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，∴最大時，面積最大，∵點在的延長線上，BD最大，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質的綜合運用，熟練掌握中位線定理是解題關鍵．19．（1）正確，理由見分析；（2）證明見分析；（3）成立，理由見分析【分析】（1）連接DM并延長，作BN⊥AB，與DM的延長線交于N，連接CN，先證明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再證明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，證明△DCM是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延長DM交BC于N，根據平行線的性質和判定推出∠DEM=∠MBC，根據ASA推出△EMD≌△BMN，證出BN=AD，證明△CMD為等腰直角三角形即可；探究二：作BN∥DE交DM的延長線于N，連接CN，根據平行線的性質求出∠E=∠NBM，根據ASA證△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可推出△CMD為等腰直角三角形．解：（1）如圖一，連接DM并延長，作BN⊥AB，與DM的延長線交于N，連接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如圖二，連接DM并延長DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如圖三，連接DM，過點B作BN∥DE交DM的延長線于N，連接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵點M是BE的中點，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM【點撥】本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，此題綜合性比較強，培養了學生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運用，題型較好，難度較大．20．（1）BD=DC+CE，見分析；（2）BD2+CD2=2AD2，見分析【分析】（1）通過SAS證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出結論；（2）連接CE，同理證明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，則∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，進行轉化即可．解：（1）∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∴BC=CD+BD=CD+CE；故答案為：BC=CD+CE．（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：連接CE，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=2AD2．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識，證明△ABD≌△ACE是解題的關鍵．21．（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數；（2）由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據三角形的內角和定理可知∠AOE=60°．解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案為：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（3）如圖3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如圖4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度數是60°或120°．【點撥】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形全等的判定與性質等知識