第22頁（共22頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版九年級期末必刷?？碱}之直角三角形的邊角關系一．選擇題（共7小題）1．（2025?深圳二模）如圖，某條樓梯及欄桿可以看作直角三角形ABC與平行四邊形ACDE構成，若∠D＝59°，則該樓梯的坡角∠BAC的值為（）A．59° B．41° C．31° D．49°2．（2025?臺江區校級模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h3．（2025春?定海區期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．4．（2025?西山區校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，則sinA＝（）A．45 B．35 C．34 5．（2025?五華區一模）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網格格點上，則下列結論不正確的是（）A．△ABC是直角三角形 B．sinB=C．cosC=255 D．6．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數為（）A．155° B．125° C．115° D．65°7．（2025?寶安區校級模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190二．填空題（共5小題）8．（2024秋?海港區期末）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝8m，則旗桿AC的高度為m．9．（2025?興慶區模擬）為出行方便，越來越多的市民使用起了共享單車，圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖，AB與地面平行，坐墊C可沿射線BE方向調節．已知∠ABE＝70°，車輪半徑為33cm，當BC＝60cm時，小明體驗后覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為cm．（結果精確到1cm，參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）10．（2025?湖北模擬）如圖是小區內一小山的等高線示意圖，小明同學計劃利用這個等高線示意圖計算AB的距離，他在點B處測得A處的俯角為30°，則AB＝m．11．（2025?深圳二模）深圳某校數學創新小組使用圭表測量正午太陽高度角，圭表由鉛垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC組成．冬至日正午，測得太陽光線AD與圭BC的夾角∠ADB＝44°，則冬至日正午表AB落在圭面BC的影長BD為米．（精確到0.1米，參考數據：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）12．（2025?海勃灣區模擬）如圖，一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是三．解答題（共3小題）13．（2024秋?埇橋區期末）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的高，AD＝4．求CD和sinC．14．（2024秋?埇橋區期末）如圖，一艘漁船在海面上航行，準備要?？康綕O港C，漁船航行到A處時，測得漁港C在北偏東60°方向上，為了躲避A、C之間的暗礁，這艘漁船調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東67°方向航行30海里到達漁港C．求漁船從A到C的直線距離．（結果精確到0.1海里，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，315．（2025?河北模擬）圖﹣1是一款可旋轉的太陽能路燈，太陽能光伏板面向太陽，且隨太陽的升起到落下方向旋轉，圖﹣2是其側面示意圖，線段AB表示路燈的燈支架，PM為路燈燈桿．線段CD為太陽能光伏板，可繞點P旋轉，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（圖中所有點均在同一平面）（參考數據：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73（1）當C，D，B三點共線時，∠DPM＝80°，求PA的長度；（2）若某一時刻太陽光線與地面l的夾角為60°時，恰好太陽能光伏板CD與PM所成夾角∠DPM＝60°，求太陽能光伏板CD落在地面l上的影子EF的長．

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版九年級期末必刷?？碱}之直角三角形的邊角關系參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案CAAACCB一．選擇題（共7小題）1．（2025?深圳二模）如圖，某條樓梯及欄桿可以看作直角三角形ABC與平行四邊形ACDE構成，若∠D＝59°，則該樓梯的坡角∠BAC的值為（）A．59° B．41° C．31° D．49°【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；平行四邊形的性質．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】C【分析】先根據平行線的性質求出∠ACB，再根據直角三角形的兩銳角互余求出∠BAC．【解答】解：∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AC∥DE，∴∠ACB＝∠D＝59°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣59°＝31°，故選：C．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握平行四邊形的性質、直角三角形的性質是解題的關鍵．2．（2025?臺江區校級模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】A【分析】由題意可知，OA＝OA1，再根據余弦的定義求解即可．【解答】解：由題意可知，OA＝OA1，∵cosα=OP∴OA1=OP又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，∴OA1=∴OA＝OA1=h故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟記三角形函數的定義是解題的關鍵．3．（2025春?定海區期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】運算能力．【答案】A【分析】由堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比1：3，根據坡度的定義，即可求得【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：∴BCAC∵堤高BC＝10米，∴AC=故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡比的概念是解題的關鍵．4．（2025?西山區校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，則sinA＝（）A．45 B．35 C．34 【考點】銳角三角函數的定義．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A【分析】由勾股定理求出BC＝8，由銳角的正弦定義即可求出sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC=ABsinA=BC故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數定義，關鍵是掌握銳角的正弦定義．5．（2025?五華區一模）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網格格點上，則下列結論不正確的是（）A．△ABC是直角三角形 B．sinB=C．cosC=255 D．【考點】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根據勾股定理得出AB，AC，BC的長，進而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后結合解直角三角函數的性質進而解答即可．【解答】解：由勾股定理得：AB=22+2∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴sinB=ACBC=2故選：C．【點評】此題考查的是解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．6．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數為（）A．155° B．125° C．115° D．65°【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據題意結合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數．【解答】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，由題意可得：∴β＝∠1＝α+90°＝115°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，正確進行計算是解題關鍵．7．（2025?寶安區校級模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】該主塔為AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函數的定義求得BD=33x，同理，在Rt△ACD中，求得CD=3x【解答】解：如圖，該主塔為AD＝x，由題意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°，∵tan60°=∴BD=∵tan30°=∴CD=∵BC＝CD﹣BD＝190，∴3x∴x=95故選：B．【點評】本題考查解直角三角形的實際應用，正確進行計算是解題關鍵．二．填空題（共5小題）8．（2024秋?海港區期末）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝8m，則旗桿AC的高度為83m【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀．【答案】83【分析】在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°=ACBC，可得AC＝BC?tan60°=8【解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°=AC∴AC＝BC?tan60°=8×3=83故答案為：83【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．9．（2025?興慶區模擬）為出行方便，越來越多的市民使用起了共享單車，圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖，AB與地面平行，坐墊C可沿射線BE方向調節．已知∠ABE＝70°，車輪半徑為33cm，當BC＝60cm時，小明體驗后覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為89cm．（結果精確到1cm，參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）【考點】解直角三角形的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】89．【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函數求出CH+AP即可．【解答】解：如圖2，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，∵∠ABE＝70°，車輪半徑為33cm，BC＝60cm，∴AP＝33cm，∴CH＝BC?sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐墊C離地面高度約為56.4+33≈89（cm），故答案為：89．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解題的關鍵．10．（2025?湖北模擬）如圖是小區內一小山的等高線示意圖，小明同學計劃利用這個等高線示意圖計算AB的距離，他在點B處測得A處的俯角為30°，則AB＝100m．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】100．【分析】根據由等高線可知A、B兩地的高度差為50米，然后點B處測得A處的俯角為30°求值即可．【解答】解：作示意圖如下：由題意知：A、B兩地的實際高度差為AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，∴sinB=AHAB，即sin30°解得：AB＝100，故答案為：100．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵是根據題意，作出直角三角形解決問題．11．（2025?深圳二模）深圳某校數學創新小組使用圭表測量正午太陽高度角，圭表由鉛垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC組成．冬至日正午，測得太陽光線AD與圭BC的夾角∠ADB＝44°，則冬至日正午表AB落在圭面BC的影長BD為2.1米．（精確到0.1米，參考數據：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）【考點】解直角三角形的應用；平行投影．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】2.1．【分析】依據題意，圭表由鉛垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC組成，結合冬至日正午，太陽光線AD與圭BC的夾角為∠ADB＝44°，從而在直角三角形ABD中，AB為垂直高度（2.0米），BD為水平影長，太陽高度角∠ADB＝44°，可得tan44°=ABBD，進而【解答】解：由題意，圭表由鉛垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC組成，又∵冬至日正午，太陽光線AD與圭BC的夾角為∠ADB＝44°，∴在直角三角形ABD中，AB為垂直高度（2.0米），BD為水平影長，太陽高度角∠ADB＝44°．∴tan44°=∴BD=AB故答案為：2.1．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用、平行投影，解題時要熟練掌握并能利用銳角三角形函數求解是關鍵．12．（2025?海勃灣區模擬）如圖，一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是1【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】1．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，根據題意可得：AB＝（3-1）海里，然后設CD＝x海里，分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數的定義求出AD和BD的長，從而列出關于x【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：AB＝（3-1設CD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD=CDtan在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD=CDtan∵AD﹣BD＝AB，∴3x﹣x=3-解得：x＝1，∴CD＝1海里，∴漁船與燈塔C的最短距離是1海里，故答案為：1．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?埇橋區期末）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC邊上的高，AD＝4．求CD和sinC．【考點】解直角三角形．【答案】見試題解答內容【分析】先解直角三角形ABD，得出BD的值，求出CD的值．再解直角三角形ADC求sinC的值．【解答】解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得：BD=∴CD＝BC﹣BD＝10；在Rt△ADC中，AC=∴sinC=AD【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系．14．（2024秋?埇橋區期末）如圖，一艘漁船在海面上航行，準備要停靠到漁港C，漁船航行到A處時，測得漁港C在北偏東60°方向上，為了躲避A、C之間的暗礁，這艘漁船調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東67°方向航行30海里到達漁港C．求漁船從A到C的直線距離．（結果精確到0.1海里，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】AC的距離約為59.5海里．【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△DBC中，利用正弦函數求得BD≈24.0海里，CD≈18.0海里，再在Rt△ABD中，利用正切函數求出AD≈41.5海里即可得到答案．【解答】解：如圖，過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠BAF＝30°，∠FAC＝60°，∠CBE＝67°，BC＝30海里，∴∠BAC＝30°，∠ABE＝∠BAF＝30°∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE﹣∠CBE＝53°，在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠C＝53°，BC＝30海里，∴∠CBD＝37°，∴CD＝BC?sin∠CBD≈30×0.60＝18.0海里，BD＝BC?cos∠CBD≈30×0.8＝24.0（海里），在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝30°，∴AD=∴AC＝AD+CD＝41.5+18.0＝59.5（海里），∴AC的距離約為59.5海里．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．15．（2025?河北模擬）圖﹣1是一款可旋轉的太陽能路燈，太陽能光伏板面向太陽，且隨太陽的升起到落下方向旋轉，圖﹣2是其側面示意圖，線段AB表示路燈的燈支架，PM為路燈燈桿．線段CD為太陽能光伏板，可繞點P旋轉，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（圖中所有點均在同一平面）（參考數據：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73（1）當C，D，B三點共線時，∠DPM＝80°，求PA的長度；（2）若某一時刻太陽光線與地面l的夾角為60°時，恰好太陽能光伏板CD與PM所成夾角∠DPM＝60°，求太陽能光伏板CD落在地面l上的影子EF的長．【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）2.0m；（2）1.2m．【分析】（1）連接BD，過點B作BE⊥PM于點E，先解Rt△ABE，求得AE，BE，進而解Rt△PBE，求得PE，進而根據PA＝PE+AE，即可求解；（2）連接DF，CE，過點F作FH⊥CE于點H，設PM，DF交于點G，證明四邊形CDFH是平行四邊形，則FH＝CD＝1，解Rt△EFH，即可求解．【解答】解：（1）連接BD，過點B作BE⊥PM于點E，在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAM＝60°，∴AE=ABcos∠當C，D，B三點共線時，在Rt△PBE中，∠BPE＝∠DPM＝80°，∴PE=∴PA＝PE+AE≈0.3+1.73≈2.0m；（2）如圖，連接DF，CE，過點F作FH⊥CE于點H，設PM，DF交于點G，∵∠GFM＝60°，∠GMF＝90°，∴∠DPG＝∠MGF＝30°，又∠DPM＝60°，∴∠PDG＝90°，由題意可得：FH⊥DF∴CD∥FH，∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴FH＝CD＝1，∵∠HEF＝∠DFM＝60°，EF=答：EF的長為1.2m．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，作出輔助線構造直角三角形．

考點卡片1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．3．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．4．銳角三角函數的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=a（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊=b（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=a（4）三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．5．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關系①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cos（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）6