第16頁（共16頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷常考題之分式方程一．選擇題（共7小題）1．（2025?永春縣模擬）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣172．（2025?東莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）3．（2025?羅湖區校級模擬）為改善某市森林公園周邊環境，相關部門決定對該森林公園周邊部分路段進行維修施工，施工全長3000米，為了早日方便市民，實際施工時，每天施工的長度比原計劃增加20%，結果提前4天完成這一任務，若設原計劃每天施工x米，則可列方程組為（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．30004．（2025?海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程無解5．（2025?汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣6．（2025?天鎮縣模擬）新建、改造社區養老工程是2025年山西省政府確定的民生實事之一．甲、乙兩個工程隊投標某社區養老工程改造建設任務，甲隊單獨施工比乙隊單獨施工完成此項任務多用10天，且甲隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同．設乙隊單獨完成此項任務需要x天，則可列方程為（）A．45x=30x+10C．45x=30x7．（2025春?上海校級期中）用換元法解方程3xx-1A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0二．填空題（共5小題）8．（2025?文成縣二模）若1x+3=12，則x＝9．（2024秋?醴陵市期末）若關于x的方程2x-mx-1=3的解為正數，則10．（2025春?江津區校級期中）關于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解為非負整數，且不等式組3x11．（2024秋?陽新縣期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解為正整數，則整數m12．（2024秋?利津縣期末）若關于x的方程xx-4+5=a4-x增根，則三．解答題（共3小題）13．（2025?西寧二模）解方程：2x14．（2025?羅湖區校級模擬）已知關于x的方程3-2xx-3+2+解：方程兩邊同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步當x＝3時，原方程無解，此時，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你認為浩浩的解題過程從第幾步開始出錯，請你指出來并改正．15．（2025?深圳二模）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學為了落實雙減政策，豐富學生的課余活動，開設了書法社團，計劃為學生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套．已知某文化用品店每套B型號的“文房四寶”的標價比A型號的“文房四寶”的標價高30%，若按標價購買共需花費4300元，其中購買A型號“文房四寶”花費3000元．（1）求每套A型號的“文房四寶”的標價．（2）該中學的課余活動進行得如火如荼，另一所學校也打算購入A，B兩種型號的工具開展相關活動．考慮到購買較多，店主同意該中學按A型號“文房四寶”八折，B型號“文房四寶”滿20套送一套的優惠價，已知A，B兩種型號的“文房四寶”每套進價分別為50元和105元，學校購買了A型號“文房四寶”50套，若通過此單生意，該店獲利不低于2100元，則該校至少買了多少套B型“文房四寶”？

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷常考題之分式方程參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案CCACABB一．選擇題（共7小題）1．（2025?永春縣模擬）分式方程2xA．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣17【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】C【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【解答】解：原方程去分母得：2x+8＝3x﹣9，解得：x＝17，檢驗：當x＝17時，（x﹣3）（x+4）≠0，故原方程的解為x＝17，故選：C．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．2．（2025?東莞市二模）解分式方程2xA．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）【考點】解分式方程；整式．【專題】計算題；運算能力．【答案】C【分析】方程兩邊都乘x（x﹣3），可得一個一元一次方程．【解答】解：方程兩邊都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），為一個一元一次方程，故選：C．【點評】本題考查了解分式方程，關鍵是使分式方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程．3．（2025?羅湖區校級模擬）為改善某市森林公園周邊環境，相關部門決定對該森林公園周邊部分路段進行維修施工，施工全長3000米，為了早日方便市民，實際施工時，每天施工的長度比原計劃增加20%，結果提前4天完成這一任務，若設原計劃每天施工x米，則可列方程組為（）A．3000xB．3000(1+20%)C．3000xD．3000【考點】由實際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】設原計劃每天施工x米，則實際每天施工（1+20%）x米，根據題意，列出分式方程即可．【解答】解：根據題意得：3000x故選：A．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．4．（2025?海口一模）方程3xxA．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．原方程無解【考點】解分式方程．【專題】計算題；分式方程及應用．【答案】C【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，經檢驗x＝﹣1是分式方程的解，故選：C．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．5．（2025?汕尾一模）如果分式方程xx-4A．﹣4 B．12 C．2 D．﹣【考點】分式方程的解．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】關于x的分式方程xx-4=2+a4-x【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a解得：x＝a+8根據題意得：a+8＝4解得：a＝﹣4．故選：A．【點評】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內容．分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．6．（2025?天鎮縣模擬）新建、改造社區養老工程是2025年山西省政府確定的民生實事之一．甲、乙兩個工程隊投標某社區養老工程改造建設任務，甲隊單獨施工比乙隊單獨施工完成此項任務多用10天，且甲隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同．設乙隊單獨完成此項任務需要x天，則可列方程為（）A．45x=30x+10C．45x=30x【考點】由實際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應用；應用意識．【答案】B【分析】設乙隊單獨完成此項任務需要x天，則甲隊單獨完成此項任務需要（x+10）天，根據甲隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同建立方程即可．【解答】解：根據題意得：45x故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．7．（2025春?上海校級期中）用換元法解方程3xx-A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0【考點】換元法解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】B【分析】把xx-1【解答】解：原方程整理得3x把xx-1整理得：3y2+3y+2＝0．故選：B．【點評】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握利用換元法，把一個式子做為整體進行替換，將分式方程化簡為一元二次方程．二．填空題（共5小題）8．（2025?文成縣二模）若1x+3=12，則x＝【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】﹣1．【分析】方程兩邊都乘2（x+3），得出2＝x+3，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：方程兩邊都乘2（x+3），得2＝x+3，解得：x＝﹣1，檢驗：當x＝﹣1時，2（x+3）≠0，所以x＝﹣1是原方程的解．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．9．（2024秋?醴陵市期末）若關于x的方程2x-mx-1=3的解為正數，則m的取值范圍是m＜3【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】m＜3且m≠2．【分析】先解關于x的分式方程，它的解x用含量m的代數式表示，再根據“原分式方程有解”和“方程的解是正數”建立關于m的不等式，求解即可．【解答】解：2x解得：x＝3﹣m，∵原分式方程有解，∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解），解得：m≠2，∵方程的解是正數，∴3﹣m＞0，解得：m＜3，∴m＜3且m≠2，故答案為：m＜3且m≠2．【點評】本題考查根據分式方程的解情況求參數，根據“原分式方程的解”和“解是正數”建立關于m的不等式是解題的關鍵．10．（2025春?江津區校級期中）關于x的方程mx-2+x-1x-2=3的解為非負整數，且不等式組3x【考點】分式方程的解；解一元一次不等式組．【專題】分式方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】﹣4．【分析】解分式方程求出x=m+52，再根據分式方程的解為非負整數，進而得出m≥﹣5且m≠﹣1，同時m+5是偶數，m為奇數．解不等式組可得m＜4，進而得出﹣5≤m＜4且m≠﹣1，【解答】解：mx方程兩邊同時乘（x﹣2），得m+x﹣1＝3（x﹣2），去括號，得m+x﹣1＝3x﹣6，解得：x=∵分式方程的解為非負整數，∴x≥0且x≠2，即m+52≥0解得：m≥﹣5且m≠﹣1，同時m+5是偶數，m為奇數．解不等式組3x解不等式①，得x≥5，解不等式②，得x＞m+1，∵不等式組的解集為x≥5，∴m+1＜5，解得：m＜4，∴﹣5≤m＜4且m≠﹣1，m為奇數，∴符合條件的m值為﹣5，﹣3，1，3，∴它們的和為：﹣5+（﹣3）+1+3＝﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．11．（2024秋?陽新縣期末）若分式方程mx1-x=3-xx-1的解為正整數，則整數m【考點】分式方程的解．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】﹣1．【分析】先解含有字母參數m的分式方程，求出x，再根據分式方程的解為正整數，列出關于m的方程，解方程求出m，再判斷m＝1時分式方程有無意義，從而求出答案即可．【解答】解：mx1-﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，﹣mx＝3x﹣3﹣x，﹣mx＝2x﹣3，2x+mx＝3，（2+m）x＝3，x=∵分式方程mx1-∴2+m＝1或3，解得：m＝﹣1或1，∵當m＝1時，x﹣1＝0，分式無意義，∴m≠1，∴整數m的值為﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了分式方程的解，解題關鍵熟練掌握解分式方程的一般步驟和分式有意義的條件．12．（2024秋?利津縣期末）若關于x的方程xx-4+5=a4-x增根，則【考點】分式方程的增根．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】﹣4．【分析】根據增根概念進行計算．【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣4）得：x+5（x﹣4）＝﹣a，由條件可知x﹣4＝0，∴x＝4，由條件可得a＝﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題考查分式方程的增根，去分母后確定x的值是求解本題的關鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?西寧二模）解方程：2x【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】x＝﹣7.5．【分析】方程兩邊同時乘（2x+3）（2x﹣3）得整式方程，然后根據單項式乘多項式法則和平方差公式展開，解整式方程求出x，再進行檢驗即可．【解答】解：方程兩邊同時乘（2x+3）（2x﹣3）得：2x（2x+3）﹣2（2x﹣3）＝（2x+3）（2x﹣3），4x2+6x﹣4x+6＝4x2﹣9，4x2﹣4x2+6x﹣4x＝﹣9﹣6，2x＝﹣15，x＝﹣7.5，檢驗：當x＝﹣7.5時，（2x+3）（2x﹣3）≠0，∴x＝﹣7.5是原分式方程的解．【點評】本題主要考查了解分式方程，解題關鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟．14．（2025?羅湖區校級模擬）已知關于x的方程3-2xx-3+2+解：方程兩邊同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步整理，得（m+1）x＝﹣2第二步當x＝3時，原方程無解，此時，（m+1）×3＝﹣2，m=-53，因此，你認為浩浩的解題過程從第幾步開始出錯，請你指出來并改正．【考點】分式方程的解．【答案】見試題解答內容【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程無解得到x﹣3＝0，求出x＝3，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：當x＝3時，分式方程去分母得：（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，由分式方程無解得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3（m+1）＝﹣2，即m=-當x﹣3≠0時，原式可化為x=-∵原方程無解，∴m+1＝0，即m＝﹣1．綜上所述，m=-53或m故第三步錯誤．【點評】此題考查了分式方程的解，注意在任何時候都要考慮分母不為0．15．（2025?深圳二模）“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學為了落實雙減政策，豐富學生的課余活動，開設了書法社團，計劃為學生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套．已知某文化用品店每套B型號的“文房四寶”的標價比A型號的“文房四寶”的標價高30%，若按標價購買共需花費4300元，其中購買A型號“文房四寶”花費3000元．（1）求每套A型號的“文房四寶”的標價．（2）該中學的課余活動進行得如火如荼，另一所學校也打算購入A，B兩種型號的工具開展相關活動．考慮到購買較多，店主同意該中學按A型號“文房四寶”八折，B型號“文房四寶”滿20套送一套的優惠價，已知A，B兩種型號的“文房四寶”每套進價分別為50元和105元，學校購買了A型號“文房四寶”50套，若通過此單生意，該店獲利不低于2100元，則該校至少買了多少套B型“文房四寶”？【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【專題】分式方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】（1）100元；（2）29套．【分析】（1）設每套A型號的“文房四寶”的標價為x元，則每套B型號的“文房四寶”的標價為（1+30%）x元，根據購買、兩種型號“文房四寶”共40套，列出分式方程，解方程即可；（2）設該校至少買了y套B型“文房四寶”，根據該店獲利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設每套A型號的“文房四寶”的標價為x元，則每套B型號的“文房四寶”的標價為（1+30%）x元，根據題意得：3000x解得x＝100，經檢驗：x＝100是分式方程的解，且符合題意，所以每套A型號的“文房四寶”的標價為100元，答：每套A型號的“文房四寶”的標價為100元；（2）設該校至少買了y套B型“文房四寶”，由（1）知每套B型號的“文房四寶”的標價為（1+30%）×100＝130（元），當0＜y＜20時，根據題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y≥2100，整理得，25y≥600，解得y≥24（舍去），當20≤y＜40時，根據題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105≥2100，整理得，25y≥705，解得y≥∵y為整數，∴y≥29的整數；當40≤y＜60時，根據題意，得：（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105×2≥2100，整理得，25y≥810，解得y≥綜上，該校至少買了29套B型“文房四寶”．答：該校至少買了29套B型“文房四寶”．【點評】本題考查分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．

考點卡片1．整式（1）概念：單項式和多項式統稱為整式．他們都有次數，但是多項式沒有系數，多項式的每一項是一個單項式，含有字母的項都有系數．（2）規律方法總結：①對整式概念的認識，凡分母中含有字母的代數式都不屬于整式，在整式范圍內用“+”或“﹣”將單項式連起來的就是多項式，不含“+”或“﹣”的整式絕對不是多項式，而單項式注重一個“積”字．②對于“數”或“形”的排列規律問題，用先從開始的幾個簡單特例入手，對比、分析其中保持不變的部分及發展變化的部分，以及變化的規律，尤其變化時與序數幾的關系，歸納出一般性的結論．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．4．換元法解分式方程1、解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系．（1）在確定相等關系時，一是要理解一些常用的