2025屆高三數學“8+3+3”小題期末專項練（13）空間幾何體的表面積和體積一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知圓錐的底面周長為，其側面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．2．四棱臺的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，四條側棱的長均為，則該四棱臺的體積為（）A． B． C． D．3．陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（）

A． B． C． D．4．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為、，它的母線長為，則這個圓臺的體積為（）A. B. C. D.5．已知正三棱臺的上底面邊長，下底面邊長，側棱與底面所成角的正切值為2，則該正三棱臺的體積為（）A.52 B. C. D.6．一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）A. B. C. D.7．若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（）A. B. C. D.18．三棱錐的底面是等邊三角形，，二面角的大小為，若三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值等于（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是（）A.圓柱的側面積為 B.圓錐的側面積為C.圓柱的側面積與球的表面積相等 D.球的體積是圓錐體積的兩倍10．如圖所示，，，是圓錐底面圓周上的三個點，若是邊長為的等邊三角形，，，分別為，的中點，為線段的中點，則下列結論錯誤的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱錐與三棱錐公共部分的體積為11．如圖在正四棱柱中，底面正方形邊長為，，為線段上的一個動點，則下列說法中正確的有（）A.已知直線為平面和平面ABCD的交線，則平面內存在直線與平行B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角最大時，D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與圓柱形玻璃杯內壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為_________cm13.與圓臺上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內切球的表面積為__________．14.已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，它的體積為______．2025屆高三數學“8+3+3”小題期末專項練（13）空間幾何體的表面積和體積一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知圓錐的底面周長為，其側面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】【解析】設該圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得．因為半徑為的球的表面積為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．故選：A2．四棱臺的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，四條側棱的長均為，則該四棱臺的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過，由正四棱臺的性質可知：是該正四棱臺的高，因為四邊形是等腰梯形，所以，由勾股定理可知：，所以該四棱臺的體積為，故選：C3．陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓錐的母線長為，所以這個陀螺的表面積是.故選：C4．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為、，它的母線長為，則這個圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圓臺的軸截面，則四邊形為等腰梯形，過點、在平面內分別作，，垂足分別為、，如下圖所示：在梯形內，，，，則，故四邊形為矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，該圓臺的體積為.故選：D.5．已知正三棱臺的上底面邊長，下底面邊長，側棱與底面所成角的正切值為2，則該正三棱臺的體積為（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面所成角即為與平面所成角，設點在平面上的射影為，在平面上的射影為，則為的中心，為的中心，即為棱與底面所成的角，所以，由于，故，所以棱臺的高，又上、下底面的面積分別為和，所以棱臺的體積．故選：C.6．一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出其軸截面，設圓柱的底面半徑為，高為，由，則，所以，因為，令，則，易知時，單調遞增，時，單調遞減，所以.故選：C.7．若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】如圖：取與的交點為，取中點，連接，交于點，則三棱錐即為四面體與四面體的公共部分.因為.又，所以，所以.過作于點，因為平面，平面，所以.因為，平面，所以平面.所以為到平面的距離，其值為，點為的中點，所以點到平面的距離為：.所以.故選：C8．三棱錐的底面是等邊三角形，，二面角的大小為，若三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，三棱錐外接球的半徑為R，則，解得，設的外心為，該點是棱AC的中點，設等邊的外心為，過點作平面APC的垂線，過點作平面ABC的垂線，兩垂線交于點O，即為三棱錐外接球的球心．因為二面角的大小為，所以，于是，，，因為，即，解得，即，因為，所以當時，點P到平面ABC的距離最大，其最大距離為，所以三棱錐體積的最大值等于.故選：A.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是（）A.圓柱的側面積為 B.圓錐的側面積為C.圓柱的側面積與球的表面積相等 D.球的體積是圓錐體積的兩倍【答案】ACD【解析】對于A，圓柱的底面直徑和高都等于，圓柱的側面積故A正確；對于B，圓錐的底面直徑和高等于，圓錐的側面積為，故B錯誤；對于C，圓柱的側面積為，球的表面積，即圓柱的側面積與球的表面積相等，故C正確；對于D，球的體積為，圓錐的體積為，即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確．故選：ACD．10．如圖所示，，，是圓錐底面圓周上的三個點，若是邊長為的等邊三角形，，，分別為，的中點，為線段的中點，則下列結論錯誤的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱錐與三棱錐公共部分的體積為【答案】ABD【解析】對于A，因為是等邊中邊上的高，所以，因為，，分別是，的中點，所以，顯然，故A項錯誤；對于B，因為三角形是邊長為的等邊三角形，三角形為等腰三角形，是的中點，所以，而，所以，這表明與不垂直，故B項錯誤；對于C，因為，分別是，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故C項正確；對于D，連接，交于點，連接并延長，則由對稱性可知必定交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，因為，分別是，的中點，所以為的重心，所以，由上易知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，所以圓錐的高為，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為，故D項錯誤.故選：ABD.11．如圖在正四棱柱中，底面正方形邊長為，，為線段上的一個動點，則下列說法中正確的有（）A.已知直線為平面和平面ABCD的交線，則平面內存在直線與平行B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角最大時，D.的最小值為【答案】BC【解析】選項A，因為平面，且平面，所以平面和平面的交線，而與平面相交，則平面內不存在直線與平行，即不存在直線與直線平行，故錯誤；選項平面，所以點到平面的距離為定值，而三角形的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故正確;選項C，記到平面到距離為，由選項B可知，為定值，記直線與平面所成角為，則，又正弦函數在上單調遞增，則最大時,最大，從而即為最小時，此時，在中，,所以可得，故正確;選項，作平面與平面的展開圖如圖所示，則的最小值即為展開圖中線段的長，中，，所以，從而中，由余弦定理可知，，從而的最小值為，故錯誤，故選:.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個玻璃球（球的半徑與圓柱形玻璃杯內壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為_________cm【答案】15【解析】由題意玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來的體積.設玻璃球的半徑為，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為則玻璃球的體積為，圓柱的底面面積為若放入一個玻璃球后，水恰好淹沒了玻璃球，則此時水面高度為所以，解得故答案為：1513.與圓臺上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內切球的表面積為__________．【答案】##【解析】由題意，畫出圓臺的直觀圖，其中為圓臺的母線長，，分別為上、下底面的圓心，點為內切球的球心，點為球與圓臺側面相切的一個切點.則由題意可得：，.因此可得：內切