第5章彎曲應力主要內容1、純彎曲的正應力和正應力強度條件2、橫力彎曲的正應力3、彎曲切應力和切應力強度條件4、提高彎曲強度的措施5.1概述縱向對稱面FF純彎曲

————剪力為零 彎矩為常量，

橫力彎曲

——既有彎矩， 又有剪力

FFFFBCAD對稱彎曲純彎曲+外力作用在縱向對稱面上橫截面上只有彎矩FSFF-+MFa＋伽利略：《關于力學和局部運動的兩門新科學的對話和數學證明》，1638.歷史回顧FBCA1)開創性建立了“實驗觀測——假設——分析與推導”的現代科學研究方法2)局限性

靜力不平衡無中性軸概念

相關梁應力研究歷史1620荷蘭I.Beeckman：梁一側纖維伸長，一側縮短1678Hooke:梁凸面纖維伸長，凹面縮短1702P.Varignon:纖維拉力沿截面高度發生變化1654-1705Bernoulli:中性軸位置無關緊要1713Parent.A:指出應靜力平衡，學說長期埋沒……1813Navier:中性軸位置無關緊要1826Navier:正確應用靜力平衡方程，中性軸過形心研究思路：

物理關系靜力學關系幾何關系變形

應變分布

應力分布

應力公式

從幾何關系、物理關系和靜力學關系這三方面著手，研究等直梁純彎曲時橫截面上的正應力。5.2純彎曲變形特征1.變形幾何關系基本假設變形后仍為平面

縱向纖維之間無正應力

平面假設(a)

變形前為平面的橫截面，

縱向纖維無擠壓(b)

仍垂直于變形后梁的軸線

橫截面上只有軸向正應力1.變形幾何關系1.變形幾何關系yxz

中性層中性軸b1b2O1O2dx縱向纖維的線應變與它到中性層的距離成正比yMMd

O1'O2'yb1'b2'1.變形幾何關系2.物理關系等直梁純彎曲時橫截面上任意一點的彎曲正應力，與它到中性層的距離成正比。即沿截面高度，彎曲正應力呈線性分布。中性軸線彈性變形時:MyzOx應力分布：能否直接用來計算應力？3.靜力關系

橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系。

力系向坐標原點O簡化，得到三個內力分量。MyzOxyzdA上式表明中性軸通過橫截面形心將應力表達式代入第一式，得

將應力表達式代入第二式，得自動滿足MyzOx將應力表達式代入第三式，得——純彎曲時橫截面上彎曲正應力的計算公式公式應用條件：等直梁純彎曲線彈性MyzOxEIz——抗彎剛度——彎曲截面系數矩形截面實心圓截面空心圓截面zdyzDdyhzby思考

試用彎曲正應力強度條件證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，高:寬=3:2的尺寸比例接近最佳比值。dhb“凡梁之大小，各隨其廣分為三分，以二分為厚。”——李誡《營造法式》北宋元符三年（1100年）如何使Wz最大?解:設圓木直徑為ddhb在一般載荷作用下：（橫截面上既有彎矩又有剪力）平面假設不成立，橫截面發生翹曲；縱向線段之間有擠壓，單向應力狀態不成立；5.3橫力彎曲時的正應力跨長與截面高度比大于5，應力公式近似成立；例1：T形截面外伸梁的尺寸如圖所示，試求梁內的最大拉應力和最大壓應力。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①確定中性軸設截面形心到頂邊的距離為y，坐標軸如圖所示：②求慣性矩，由平行移軸公式：52z140z1yzyC88z2z3③作彎矩圖截面D(x=0.87m)有最大正彎矩，MD=3.8kN·m截面B有最大負彎矩，MB=-5kN·m；最大正應力:截面B：截面D：最大拉應力：D截面下邊緣，43.8MPa；最大壓應力：B截面下邊緣，57.6MPa。52z1402.2m1mq=10kN/mADBC3.8kN·m5kN·m-+z壓拉z拉壓88正應力強度條件等直梁強度條件

對于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應力和許用彎曲壓應力兩個數值。強度條件為：

請注意：梁的最大工作拉應力和最大工作壓應力有時并不發生在同一截面上。III.梁的彎曲正應力強度設計

一般情況下，許用彎曲正應力比許用拉(壓)應力略高。強度計算的三類問題強度校核截面設計許可載荷因為彎曲時除截面外邊緣達到最大正應力外，其余各處應力較小。而軸向拉(壓)時，截面上的應力是均勻分布的。例2：圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σ+]=30MPa，許用壓應力[σ-]=60MPa,試校核此梁的強度。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①確定中性軸②求慣性矩，由平行移軸公式52z140z1yzyC③作彎矩圖④求最大正應力最大拉應力：D截面下邊緣，43.8MPaADBC3.8kN·m5kN·m-+最大壓應力：B截面下邊緣，57.6MPa不滿足強度要求例3：在強度相同的條件下，用高寬比為2的矩形截面梁取代實心圓截面梁，求矩形梁和圓截面梁的重量比解：dhzby比較兩種情況下的重量比：?zyP1PP2hzbbzh(b)(a)例4：

兩矩形截面梁，尺寸b、h和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許用載荷之比P1／P2＝？解：hzbbzhP?az1aaz2aP2P1y1y2例5：兩個尺寸完全相同的矩形截面梁疊在一起承受荷載如圖所示。梁長為l。若材料許用應力為[]，其許可載荷[P]為多少？如將兩個梁用一根螺栓聯成一體，則其許可荷載[P]為多少？PbPbPl解：1、兩梁疊放承載時，每梁將各自彎曲，兩梁都有各自的中性層，各梁承擔一半彎矩。2、當兩梁用螺栓聯為一體時，中性軸只有一個。可見，兩梁結為一體后，承載能力提高一倍。bPz練習：

簡支梁AB，在C截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。單位：mm解：C截面下邊緣的應力C截面的彎矩由得單位：mm引言：問題的提出19世紀，鐵路開始發展，人們很不理解，枕木為什么沿縱向中截面開裂？5.4彎曲切應力qFFbhFSyz一、矩形截面梁基本假設:yτ’MPq(x)nmmndxττ

(2)切應力沿截面寬度均勻分布。m-mτndxnmm

(1)橫截面上各點的切應力方向都平行于剪力Fs

；

彎曲切應力公式y

—所求正應力的點距中性軸的距離abymnσ'σ"mny’y’ndxnmmdxmnyzabmnabdxmnyzabmnFN1FN2dFSy'τ’mnσ'σ"mnFS

——橫截面上剪力Iz——整個橫截面對中性軸z的慣性矩b——橫截面寬度Sz*

——橫截面上距中性軸

y

處橫線一側截面

對中性軸的靜矩dxmnyzabFN1FN2dFSy'y切應力沿矩形截面高度的分布ττmaxhzby＋－y二、工字形截面梁FS

——橫截面上剪力Iz——整個工字形截面對中性軸z的慣性矩d——腹板寬度Sz*——距z軸y處橫線一側陰影部分截面對z軸的靜矩y

zbhd

h1y翼緣腹板zdxbδhdxbFN1FN2dFτmax切應力主要由腹板承受；腹板是一狹長矩形，矩形截面上切應力分布的假設仍然成立。三、薄壁環形截面梁(平均半徑r，壁厚δ)沿截面厚度均勻分布與圓周相切

四、圓形截面梁zydAkk’yτmax矩形截面實心圓截面工字形截面τmaxτmax薄壁環形截面橫截面上最大切應力的一般公式●彎曲切應力強度條件例6:

圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，試求最小直徑dmin。解:作內力圖解：由正應力強度條件：由切應力強度條件：例7:簡易吊車梁，F=20kN，l=6m，[σ]=100MPa，[τ]=60MPa，選擇工字鋼型號關于危險截面的討論關于[σ]與[τ]兩個強度條件的討論討論：如何確定可能危險截面畫剪力圖、彎矩圖確定剪力、彎矩的最大截面結論：關于正應力的危險截面是梁跨中截面關于切應力的危險截面是梁端截面注意：正應力與切應力危險截面不一定重合。討論：如何確定可能危險點分析思路：確定截面的應力分布可能正應力危險點：a,d；可能切應力危險點：c可能正應力和切應力聯合作用危險點：b,b’（第7章討論）解：1.內力分析

(確定危險截面）2.危險截面應力分析

(確定危險點）正應力危險點：跨中截面的a或d切應力危險點：端部截面的c正應力的危險截面是梁中截面切應力的危險截面是梁端截面3.設計截面通常按正應力強度條件設計截面，由切應力強度條件校核查附錄III型鋼表：4.校核梁的剪切強度№22a滿足要求選№22a,Wz=309cm3梁的強度條件彎曲正應力強度條件：彎曲切應力強度條件：smax：最大彎曲正應力；[s]

：許用彎曲正應力tmax

：最大彎曲切應力；[t]：材料純剪切許用應力小結：梁強度條件的選用F細長非薄壁梁：F短粗梁、薄壁梁與M小FS大的梁：控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應力因此應使

Mmax

盡可能地小5.5提高彎曲強度的措施應使WZ

盡可能地大荷載約束截面形狀·合理安排加載方式一、梁的合理受力（降低彎矩）·盡量分散載荷一、梁的合理受力（降低彎矩）·合理安排約束Q

加配重例：兩人帶了一塊長度超過溝寬的板，但一人在溝中點時的彎矩稍微超過板強度，這兩人能想出辦法過溝嗎？辦法：一人作配重MF1(l-2a)/4+MF2a-MF1(l-2a)/4-F2a/2F2a+