湖北省宜昌市部分省級示范高中2025學年高一下學期4月期中考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．3．已知，，，則實數a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則△ABC的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．下列各式的值為的是（

）A． B．C． D．6．如圖，在四邊形中，，，設，，則等于（

）A． B． C． D．7．下列函數中，在定義域內既是奇函數又單調遞增的是（

）A． B．C． D．8．已知函數，若在上無零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A．若、可以作為基底，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與的夾角為，則或10．函數的部分圖象如圖，圖象與軸交于點，與軸交于點，點在圖象上，點、關于點對稱，則下列正確的是（

）

A．函數的最小正周期是B．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞增D．函數的圖象向右平移后，得到函數的圖象，則為偶函數11．設表示不超過的最大整數，如：，，又稱為取整函數，在現實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數”進行計費，以下關于“取整函數”的描述，正確的是（

）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或三、填空題12．已知函數則．13．在中，分別為的中點，則.14．記的內角、、所對的邊分別為、、，已知，，點在邊上，若，，則的值為.四、解答題15．已知向量滿足，且與的夾角為.(1)若，求實數的值；(2)求與的夾角的余弦值.16．（1）已知，均為銳角且，，求的值；（2）已知，，求的值.17．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，邊上的中線，求的面積及BC邊上的高.18．已知，，函數，的最小正周期為.(1)求函數的單調遞增區間；(2)當時，求的最值及取到最值時的值；(3)若函數在上有兩個不同的零點、，求實數的取值范圍，并求的值.19．意大利著名畫家、數學家、物理學家達芬奇在他創作《抱銀貂的女子》時思考過這樣一個問題：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的懸鏈線問題，懸鏈線在工程上有廣泛的應用.在恰當的坐標系中，這類曲線的函數表達式可以為，其中、為非零實數.(1)利用單調性定義證明：當時，在上單調遞增；(2)當時，若不等式對恒成立，求實數的取值范圍；(3)若為奇函數，函數，，探究是否存在實數，使的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

湖北省宜昌市部分省級示范高中2025學年高一下學期4月期中考試數學試題參考答案題號12345678910答案ACBBCCDBACDBC題號11答案BCD1．A【詳解】.故選：A.2．C【詳解】因為，且圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.3．B【詳解】依題意，，因此實數的大小關系是.故選：B4．B【詳解】由余弦定理得：，則，所以，由此知△ABC為直角三角形.故選：B5．C【詳解】對于A選項，，A不滿足；對于B選項，，B不滿足；對于C選項，，C滿足；對于D選項，，D不滿足.故選：C.6．C【詳解】因為，所以.故選：C.7．D【詳解】對于A選項，函數的定義域為，因為，，故，所以，函數不是奇函數，A不滿足；對于B選項，對于函數，由可得，解得，所以，函數的定義域為，因為，故函數為奇函數，因為內層函數在上單調遞減，外層函數為增函數，故函數在定義域上單調遞減，B不滿足；對于C選項，函數的定義域為，，故函數為偶函數，C不滿足；對于D選項，對任意的，，即函數的定義域為，，即函數為奇函數，因為，內層函數為增函數，外層函數在上為增函數，所以，在定義域上為增函數，D滿足.故選：D.8．B【詳解】因為，因為且，則，因為函數在上無零點，故，所以，，解得，由，解得，，當時，可得，當時，可得.因此，實數的取值范圍是.故選：B.9．ACD【詳解】已知向量，，易知、均為非零向量，對于A選項，若、可以作為基底，則、不共線，可得，解得，所以A對；對于B選項，，則，解得或，所以B錯；對于C選項，在上的投影向量為，即，解得，所以C對；對于D選項，因為與的夾角為，則，即，整理可得，解得或，所以D對.故選：ACD.10．BC【詳解】對于A選項，因為點與點關于點對稱，則點，結合圖形可知，函數的最小正周期為，A錯；對于B選項，，且函數在附近單調遞增，故，所以，又因為，故，所以，，因為，所以函數的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，當時，，所以函數在上單調遞增，C對；對于D選項，函數的圖象向右平移后，得到的圖象，則函數為奇函數，D錯.故選：BC.11．BCD【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD12．【詳解】因為函數因為，，即，故答案為.13．－4【詳解】由已知，，．故答案為：．14．【詳解】如下圖所示：

由題意可知，則，所以，，所以，，即①，由余弦定理可得②，又因為，聯立①②可得，代入②可得.故答案為：.15．(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即，即，所以，解得.（2）因為，，所以，即與的夾角的余弦值為.16．（1）；（2）【詳解】（1），，則，.（2），即又，即.17．(1)(2)【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以；（2）因為為邊上的中線，所以，兩邊同時平方得，因為，，所以，得，所以，解得或（舍去），所以的面積，由余弦定理得，所以設BC邊上的高為，因為的面積，所以，得.18．(1)(2)答案見解析(3)的取值范圍是，【詳解】（1）因為，，所以，，，，因為函數的最小正周期為，則，可得，故.由可得，因此，函數的單調遞增區間為.（2）令，由可得，即，故當時，即當時，取得最大值，當時，即當時，取得最小值.（3）函數所在上有兩個不同的零點、，由可得，由可得，所以，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，所以，，解得，故實數的取值范圍是，由可得，所以，直線為函數圖象的一條對稱軸，因為，所以點、關于直線對稱，所以，因此.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，【詳解】（1）當時，，，則，由，得，則，，于是，即，所以在上單調遞增.（2）函數的定義域為R，，則為偶函數，不等式，函數在上單調遞增，則依題意，不等式對恒成立，當時，，，因此對恒成立，令，而，則，當時，，，當