河南省新鄉市2024-2025學年高二下學期6月青桐鳴大聯考數學試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C．10 D．52．已知復數為虛數單位，為z的共軛復數，則在復平面內，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知現有6人要前往戶外進行勞動作業，其中男生有4人，女生有2人．有某項勞動作業需要從6人中隨機挑選兩人參與，則這兩人是異性的概率為（

）A． B． C． D．4．若是函數的極小值點，則實數（

）A．6 B．3 C．2 D．45．已知一組樣本數據為，這組數據的極差為，則該組樣本數據的第65百分位數不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．設一個圓心在直線上的圓與兩條坐標軸均相切，則這個圓的半徑為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．2或7．矩形中，，，過的一條直線與直線，直線分別相交于點，，其中，，則的面積的最小值為（

）A． B．4 C． D．68．已知是雙曲線上不同的兩點，其中B在E的右支上．直線l是E的斜率為正的漸近線，P是l上一點．已知，若軸，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．二、多選題9．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的值域為R B．在R上單調遞增C． D．的零點大于10．對于函數（），，，，2，相鄰零點之間的距離為，直線既是圖象的對稱軸也是圖象的對稱軸，的最大值與的最小值之差為5，則（

）A．B．C．存在一條直線是圖象的對稱軸但不是圖象的對稱軸D．存在一點既是圖象的對稱中心也是圖象的對稱中心11．若對于非空數集A，存在k個兩兩交集均為空集的集合，使得，且中每個集合的元素之和均相等，則稱集合A為“k可分集”．設，則下列說法正確的是（

）A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，則k為偶數C．對于任意的偶數不為“k可分集” D．對于任意的奇數均為“k可分集”三、填空題12．已知二項式的展開式中各項的系數之和為0，則實數．13．在長方形中，分別為邊的中點，則．14．某質地不均勻的正四面體骰子各面上分別有1，2，3，4的編號，隨意拋擲該骰子，記該骰子落下后朝下的一面編號為.若數列為等差數列，且的期望，則的方差.四、解答題15．如圖所示，在三棱錐中，D為的中點，平面平面，，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．16．設函數在點處的切線方程為.(1)求；(2)求函數的最小值.17．記中的內角的對邊分別為，且．(1)證明：；(2)若，且邊上的中線的長度為，求a的值．18．已知數列滿足：當為奇數時，，當為偶數時，，記數列的前項和為，且．(1)求的值；(2)證明：；(3)證明：．19．已知橢圓的離心率為，過點的直線交E于兩點，當軸時，．(1)求E的標準方程；(2)設點O為坐標原點，為E上一點，且P在第一象限，過點P的直線交x軸y軸分別于點，且當點P與點A重合時，的面積最小．（ⅰ）求點A的坐標；（ⅱ）記的垂心為點H，求點H的橫坐標的最小值．

參考答案1．C【詳解】因為，所以，所以，所以，故．故選：C．2．D【詳解】依題意，，則，所以在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D3．A【詳解】由題意知，從6人中隨機挑選兩人有種方法，其中是異性的選法有種，所以這兩人是異性的概率為．故選：A．4．B【詳解】易得，則，解得．當時，，所以當和時，，當時，，故是的極小值點，符合題意．所以.故選：B.5．A【詳解】由，可知該組樣本數據的第65百分位數為這組數據由小到大排列后的第四個數字．不妨令，注意到這組數據的極差為4．當時，，此時除去，這組數據可寫為，可放在任意位置，此時第四個數字必為4；當時，，此時除去，這組數據可寫為，對進行討論：當時，第四個數字為4；當時，第四個數字為5；當時，第四個數字為6，綜上，第四個數字的取值范圍為．故選：A．6．C【詳解】由圓心在直線上，設圓心坐標為，由該圓與兩條坐標軸均相切，得該圓半徑，整理得，解得或，所以這個圓的半徑或2.故選：C7．B【詳解】如圖，設，則，因為，所以，解得，所以的面積為，因為，當且僅當，即時取等，所以的面積的最小值為.故選：B.8．D【詳解】因為P是l上一點，若軸，注意到當右焦點三點共線時恰為2，不妨設A在第一象限，則，直線，取關于的對稱點，則，即的最小值為．故選：D．9．ACD【詳解】函數單調遞增，且值域為單調遞增，且值域為，所以單調遞增且值域為R，故A正確；在上單調遞增，故B錯誤；，故C正確；，因為單調遞增，所以的零點大于，故D正確．故選：ACD．10．BC【詳解】的最大值與的最小值之差為5，顯然的最小值為，所以的最大值為4，故，故A錯誤；記的最小正周期為T，相鄰零點之間的距離為，所以，解得，故B正確；因為直線既是圖象的對稱軸也是圖象的對稱軸，所以，，，，因，，2，解得，，則，，故圖象的對稱軸方程為，，解得，，圖象的對稱軸方程為，，解得，，則是的對稱軸，但不是的對稱軸，故C正確；令，，解得，，則圖象的對稱中心為，，令，，解得，，則圖象的對稱中心為，，令，則，，，等號左邊為偶數，右邊為奇數，故不存在，使成立，故D錯誤.故選：BC.11．BCD【詳解】對于A，因為均只有一個元素，即元素之和為，互不相等，故A錯誤；對于B，集合的元素之和能被4整除，因為能被4整除，所以必須能被4整除，因此k為偶數，故B正確；對于C，若為“k可分集”，那么能被k整除，于是必然是整數，這與k為偶數矛盾，所以不為“k可分集”，故C正確；對于D，對于顯然成立，不妨設奇數，下面給出一種構造：由于，則前組為，，后m組為，，因此對于任意的奇數均為“k可分集”，故D正確．故選：BCD．12．1【詳解】將代入二項式，得，解得．故答案為：113．2【詳解】以A為原點，為x軸的正方向，為y軸的正方向建立平面直角坐標系，則有，，故，，故.故答案為：2.14．【詳解】由題意可知的所有可能取值有：.因為數列為等差數列，所以設該數列的首項為，公差為，則，，，.根據概率和為，，可得：，解得：.所以，，，.所以.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，依題意平面平面，故可在平面內，過P作并交點E，

又平面平面平面，所以平面，又因為平面，所以，因為為的中點，所以，又因為平面，所以平面．（2）因為平面平面，所以，又因為，所以為二面角的平面角．因為三棱錐的體積，解得，所以二面角的正弦值為.16．(1)1(2)0【詳解】（1）點處的切線方程為，則，由得，得，化簡得，解得.（2）由題意得，則，令，則，，，且僅當，即時等號成立，所以在R上單調遞增，且，所以在上，在上，因為，可得在上，在上單調遞減，在上，在上單調遞增，在處取得最小值，，所以函數的最小值為0.17．(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）由正弦定理可得，又為的內角，故．代入上式，有，即．又，若，必有，不符合題意，則，同理，則．又，則．（2）不妨設為邊上的中線，在中，有，由（1）可得，故，即．在中，有．即．解得．18．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）易得，，，又，解得；（2）由于當為奇數時，，當為偶數時，，故．又，故，故，則成立．對于，當時，有，，，，累加得，即；對于，當時，有，，，，累乘得，即；綜上所述，；（3）由（2）知，則，，，則由不等式的性質，求和得，即；因為，則，，，則由不等式的性質，求和得，即．綜上：.19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【詳解】（1）由過點的直線交E于兩點，當軸時，，可知，又因為，所以，即，所以E的標準方程為．（2）（i）易得．所以點S的坐標為，點T的坐標為．所以的面積為，又因為，當且僅當時取等號，所以，故點A的坐標為．（ⅱ）當直線的斜率為0時，直線