試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年下學期福建省仙游第一中學高二期中考試數(shù)學試卷2025.04（考試時間120分鐘考試滿分150分）選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）展開式中的常數(shù)項為（

）A．10 B．-80 C．80 D．-10函數(shù)，是的導函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

3．某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（

）A．60種 B．120種 C．180種 D．240種若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．三個男生三個女生站成一排，已知其中女生甲不在兩端，則有且只有兩個女生相鄰的概率是（

）A． B． C． D．6．已知對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．2024年全民健身運動的主題“全民健身與奧運同行”，為了滿足群眾健身需求，某健身房近幾年陸續(xù)購買了幾臺型跑步機，該型號跑步機已投入使用的時間（單位：年）與當年所需要支出的維修費用（單位：千元）有如下統(tǒng)計資料：234562.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到線性回歸方程為，則（

）A．與的樣本相關(guān)系數(shù)B．C．表中維修費用的第60百分位數(shù)為6.5D．該型跑步機已投入使用的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元8．已知連續(xù)型隨機變量服從正態(tài)分布，N12，14記函數(shù)，則的圖象（A．關(guān)于直線x=12對稱 C．關(guān)于點12，12成中心對稱二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.下列命題正確的是（

）A．是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)B．若事件A，B相互獨立，且，，則事件A，B不互斥C．若隨機變量，，則D．若隨機變量X的方差D(X)=10，期望E(X)=4，則隨機變量的期望E(Y)=2610．已知拋物線：的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設(shè)，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條11．在直三棱柱中，，，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（

）A．異面直線與所成的角為45°B．C．若點是的中點，則平面截直三棱柱所得截面的周長為453+D．點是底面三角形內(nèi)一動點（含邊界），若二面角的余弦值為33，則動點的軌跡長度為22

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．已知是等差數(shù)列，若分別是函數(shù)的兩個零點，則.13．新高考數(shù)學試卷共有3道多項選擇題，每題有個選項，每題正確選項有2個或3個．得分規(guī)則如下：每道題滿分為6分，全部選對得滿分，有錯選或者不選得0分，答案選項為2個的，只選一個正確選項得3分，答案選項為3個的，每選一個正確選項得2分．現(xiàn)甲，乙，丙，丁四位同學的作答和總得分情況如下表，則丁同學的總得分情況為．甲乙丙丁9題10題11題得分1091014．已知若函數(shù)y=fafx所有零點的乘積為1，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15．已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項，剩下的項按原先后順序不變得到新數(shù)列.若，，進行操作后剩余項組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.16．“你好！我是DeepSeek，很高興見到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請把你的任務交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟椋蔀槲覀兘鉀Q問題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式．為了了解不同學歷人群對DeepSeek的使用情況，隨機調(diào)查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人學歷使用情況合計經(jīng)常使用不經(jīng)常使用本科及以上6535100本科以下5050100合計11585200(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為DeepSeek的使用情況與學歷有關(guān)？(2)某校組織“AI模型”知識競賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，決賽階段共有3道題目，甲、乙同時依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：若對同一道題目，兩人同時答對或答錯，每人得0分；若一人答對另一人答錯，答對的得10分，答錯的得分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響，若甲，乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，．（ⅰ）求比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對1道題的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．在平面直角坐標系中，為坐標原點，F(xiàn)，T分別是橢圓：的左焦點，右頂點，過F的直線交橢圓C于A，B兩點，當軸時，的面積為.(1)求；(2)若斜率為的直線交橢圓C于G，H兩點，N為以線段為直徑的圓上一點，求的最大值.18．某學校數(shù)學小組建立了如下的數(shù)學模型：將一個小盒里放入6個小球，其中4個黑球，2個紅球.模型一為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則放回小盒并再往小盒里加入2個紅球；模型二為：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中.(1)分別計算在兩種模型下，抽兩次球，第二次取到的球是紅球的概率；(2)在模型二的前提下：①求在第次抽球時，抽到的球恰好是第二個紅球的概率（結(jié)果用表示）.②現(xiàn)規(guī)定當兩個紅球都被抽出來時停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球結(jié)束后無論盒中是否還有紅球均停止抽球，記抽球的次數(shù)為，求的數(shù)學期望.19．泰勒公式是一個非常重要的數(shù)學定理，它可以將一個函數(shù)在某一點處展開成無限項的多項式．當在處的階導數(shù)都存在時，它的公式表達式如下：．注：表示函數(shù)在原點處的一階導數(shù)，表示在原點處的二階導數(shù)，以此類推，和表示在原點處的階導數(shù)．(1)求的泰勒公式（寫到含的項為止即可），并估算的值（精確到小數(shù)點后三位）；(2)當時，比較與的大小，并證明；(3)設(shè)，證明：．參考答案一、單選題題號12345678答案BACDDABC二、多選題題號91011答案BCDABCBCD三、填空題12．213．0或120,四、解答題15．(1)(2)【分析】（1）分析可知，進而可得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運算求解；（2）整理可得，利用裂項相消法運算求解.【詳解】（1）因為，可知（滿足除以3余數(shù)為1），當時，為3的倍數(shù)，進行操作，即刪除，剩余，則，可得，所以.（2）由（1）可知，則，所以數(shù)列的前項和.16．(1)認為DeepSeek的使用情況與學歷無關(guān)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）先假設(shè)DeepSeek的使用情況與學歷無關(guān)，再根據(jù)卡方的計算式計算出卡方的結(jié)果，和6.635去比，根據(jù)獨立性檢驗的理論即可做出判斷；（2）（i）對于一道題而言，先分析甲得分的可能情況并求出概率，即可知道比賽結(jié)束后甲獲勝的所有可能情況，再根據(jù)重伯努利實驗的概率計算式計算即可；（ii）由（i）可知甲獲勝的概率，只須計算出比賽結(jié)束后甲獲勝的同時乙恰好回答對1道題的概率，再按照條件概率的計算式計算即可.【詳解】（1）零假設(shè)為：DeepSeek的使用情況與學歷無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為DeepSeek的使用情況與學歷無關(guān)；（2）（ⅰ）當甲，乙同時回答第道題時，甲得分為，，，，比賽結(jié)束甲獲勝時的得分可能的取值為10，20，30，則，，，所以比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；（ⅱ）設(shè)“比賽結(jié)束后甲獲勝”，“比賽結(jié)束后乙答對一道題”，，則，所以比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對1道題的概率為．17．(1)(2)【分析】（1）在橢圓方程中，令，解得，得，再根據(jù)結(jié)合，求出答案；（2）設(shè)直線：與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理求得的中點為，利用弦長公式求得，進而得到以為直徑的圓的半徑，由，三角換元利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最大值.【詳解】（1）依題意有，當軸時，在橢圓方程中，令，解得，則，，又．解得，．（2）設(shè)直線：，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，所以.，所以的中點為，所以.又的軌跡是以為圓心，半徑的圓，所以.令，，記，又，所以，時，.18．(1)；(2)①；②【分析】（1）分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，分別對兩種模型第二次取到的球是紅球的概率進行計算即可；（2）①先算出第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球的概率為，則第次恰好抽到第二個紅球的概率為中從到取值累加求和；②利用數(shù)學期望的定義和①中的概率公式可得到的表達式，再利用錯位相減法計算得出期望值.【詳解】（1）記在模型一下，第二次取到紅球的概率為，則分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；記在模型二下，取到紅球的概率為，同樣分為取到“黑紅”和“紅紅”兩種情況，則；（2）①設(shè)第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球的概率為，則，則第次恰好抽到第二個紅球的概率為中從到取值累加求和，即，利用等比數(shù)列求和公式即可得；②由題可知，的取值依次為，當時，，由數(shù)學期望的定義和①中的概率公式可知，，設(shè)，由錯位相減法可得，所以.19．(1)，；(2)，證明見詳解；(3)證明見解析.【分析】（1）求出，根據(jù)泰勒