第1課時拋物線的標準方程平面直角坐標系內，有以下點和直線A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.問題1：到定點A和定直線l1距離相等的點的軌跡方程是什么？提示：y2＝12x.問題2：到定點B和定直線l2距離相等的點的軌跡方程是什么？提示：y2＝－12x.問題3：到定點C和定直線l3或到定點D和定直線l4距離相等的點的軌跡方程呢？提示：x2＝12y，x2＝－12y.拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程開口方向y2＝2px(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)向右y2＝－2px(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)向左x2＝2py(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)向上x2＝－2py(p＞0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)向下1．平面內到一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡是拋物線．定點F不在定直線l上，否則點的軌跡是過點F垂直于直線l的垂線．2．拋物線的標準方程有四種形式，頂點都在坐標原點，焦點在坐標軸上．[例1]已知拋物線的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦點坐標和準線方程．[思路點撥]由題意y＝ax2，(a≠0)，可化為x2＝eq\f(1,a)y，再依據拋物線的標準方程得焦點和準線方程．[精解詳析]將拋物線方程化為標準方程x2＝eq\f(1,a)y(a≠0)，顯然拋物線焦點在y軸上，(1)當a>0時，p＝eq\f(1,2a)，∴焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，準線方程y＝－eq\f(1,4a).(2)當a<0時，p＝eq\f(1,2a)，∴焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，準線方程y＝－eq\f(1,4a)，綜合(1)(2)知拋物線y＝ax2(a≠0)的焦點坐標是Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，準線方程是y＝－eq\f(1,4a).[一點通]根據拋物線的方程求焦點坐標和準線方程時，應首先把方程化為標準形式，再分清拋物線是四種中的哪一種，然后寫出焦點及準線．1．(北京高考)若拋物線y2＝2px的焦點坐標為(1,0)，則p＝________，準線方程為________．解析：因為拋物線的焦點坐標為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，準線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.答案：2x＝－12．已知拋物線的方程如下，分別求其焦點坐標和準線方程．(1)x2＝4y；(2)2y2＋5x＝0.解：(1)由拋物線標準方程知拋物線焦點在y軸正半軸上，開口向上．∵p＝2，∴焦點坐標為(0,1)，準線方程為y＝－1.(2)將2y2＋5x＝0變形為y2＝－eq\f(5,2)x，∴2p＝eq\f(5,2)，p＝eq\f(5,4)，開口向左．∴焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,8)，0))，準線方程為x＝eq\f(5,8).[例2]根據下列條件求拋物線的標準方程．(1)已知拋物線的準線方程為x＝－3；(2)已知拋物線的焦點坐標是(eq\f(5,2)，0)．[思路點撥]根據題目中給出的焦點或準線，可以確定拋物線的開口方向，然后設出拋物線的標準方程．[精解詳析](1)設拋物線標準方程為y2＝2px(p>0)，其準線方程為x＝－eq\f(p,2)，則－eq\f(p,2)＝－3，∴p＝6.∴拋物線標準方程為y2＝12x.(2)設拋物線標準方程為y2＝2px(p>0)焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，∴p＝5.∴拋物線標準方程為y2＝10x.[一點通]待定系數法求拋物線標準方程的步驟：(1)依據題目中的條件確定拋物線的標準形式；(定形)(2)充分利用數形結合確定拋物線的開口方向；(定位)(3)利用題中所給數據確定p.(定量)3．以雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為____________________．解析：雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點為(4,0)，即拋物線的焦點坐標為(4,0)，所以拋物線的標準方程為y2＝16x.答案：y2＝16x4．根據下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)經過點(－3，－1)；(2)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點．解：(1)∵點(－3，－1)在第三象限，∴設所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq\f(1,6)；若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，則由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq\f(9,2).∴所求拋物線的標準方程為y2＝－eq\f(1,3)x或x2＝－9y.(2)對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)．當焦點為(0，－3)時，eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，此時拋物線的標準方程為x2＝－12y；當焦點為(4,0)時，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此時拋物線的標準方程為y2＝16x.∴所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x.[例3]探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標準方程和焦點的位置．[思路點撥]建立直角坐標系，設出標準方程為y2＝2px(p>0)，然后根據條件，找出點的坐標，求出p.[精解詳析]如圖，在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑．設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)．由已知條件可知點A(40,30)，代入方程，得p＝eq\f(45,4).∴所求拋物線的標準方程是y2＝eq\f(45,2)x，焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,8)，0)).[一點通]將實際問題轉化為數學問題，需要建立適當的直角坐標系，再根據條件確定拋物線的標準方程的類型．這里，直角坐標系的建立非常重要，同學們要認真觀察實物的形狀，根據實物形狀“適當”建立．5．若拋物線y2＝2px(p>0)上有一點M，其橫坐標為9，它到焦點的距離為10，求點M的坐標．解：由拋物線定義，拋物線上一點到焦點的距離和它到準線的距離相等，及拋物線方程y2＝2px(p>0)，可知其準線為x＝－eq\f(p,2)，即eq\f(p,2)＋9＝10，則p＝2，所以拋物線為y2＝4x，當x＝9時，y2＝36，得y＝±6，所以點M的坐標為(9,6)或(9，－6)．6．已知動圓M與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等．由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y.7．一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過的a的最小整數值．解：以隧道頂點為原點，拱高所在直線為y軸建立直角坐標系，則點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,4)))，如圖所示．設隧道所在拋物線方程為x2＝my，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝m·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))，∴m＝－a.即拋物線方程為x2＝－ay.將(0.8，y)代入拋物線方程，得0.82＝－ay，即y＝－eq\f(0.82,a).欲使卡車通過隧道，應有y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))>3，即eq\f(a,4)－eq\f(0.82,a)>3.∵a>0，∴a>12.21.∴a應取13.確定拋物線的標準方程，從形式上看，只需求一個參數p，但由于標準方程有四種類型，因此，還應確定開口方向，當開口方向不確定時，應進行分類討論．有時也可設標準方程的統一形式，避免討論，如焦點在x軸上的拋物線標準方程可設為y2＝2mx(m≠0)，焦點在y軸上的拋物線標準方程可設為x2＝2my(m≠0)．課時達標訓練（十一）1．拋物線x2＝8y的焦點坐標是________．解析：由拋物線方程x2＝8y知，拋物線焦點在y軸上，由2p＝8，得eq\f(p,2)＝2，所以焦點坐標為(0,2)．答案：(0,2)2．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其上的點P(－3，m)到焦點的距離為5，則拋物線方程為________．解析：因為拋物線頂點在原點、焦點在x軸上，且過p(－3，m)，可設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，由拋物線的定義可知，3＋eq\f(p,2)＝5.∴p＝4.∴拋物線方程為y2＝－8x.答案：y2＝－8x3．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為________．解析：橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點為(2,0)，由eq\f(p,2)＝2，得p＝4.答案：44．拋物線x2＝－ay的準線方程是y＝2，則實數a的值是________．解析：由條件知，a＞0，且eq\f(a,4)＝2，∴a＝8.答案：85．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為________．解析：y2＝4x的焦點為(1,0)，則c＝1，eq\f(c,a)＝2，∴a＝eq\f(1,2)，即m＝a2＝eq\f(1,4)，n＝c2－a2＝eq\f(3,4)，∴mn＝eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)6．根據下列條件，分別求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.解：(1)雙曲線方程化為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，左頂點為(－3,0)，由題意設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，且eq\f(－p,2)＝－3，∴p＝6，∴方程為y2＝－12x.(2)設所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由拋物線定義，得5＝AF＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2))).又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.7．設拋物線y2＝mx(m≠0)的準線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程．解：當m＞0時，由2p＝m，得eq\f(p,2)＝eq\f(m,4)，這時拋物線的準線方程是x＝－eq\f(m,4).∵拋物線的準線與直線x＝1的距離為3，∴1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝3，解得m＝8，這時拋物線的方程是y2＝8x.當m＜0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))－1＝3，解得m＝－16.這時拋物線的方程是y2＝－16x.綜上，所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x.8．一個拋物線型的拱橋，當水面離拱頂2m時，水寬4m，若水面下降1m，求水的寬度．解：如圖建立直角坐標系．設拋物線的方程為x2＝－2py，∵水面離拱頂2m時，水面寬4m，∴點(2，－2)在拋物線上，∴4＝4p，∴p＝1.∴x2＝－2y，∵水面下降1m，即y＝－3，而y＝－3時，x＝±eq\r(6)，∴水面寬為2eq\r(6)m.即若水面下降1m，水面的寬度為2eq\r(6)m.第2課時拋物線的幾何性質太陽能是最清潔的能源，太陽能灶是日常生活中應用太陽能的典型例子．太陽能灶接受面是拋物線的一部分繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面．它的原理是太陽光線(平行光束)射到拋物鏡面上，經鏡面反射后，反射光線都經過拋物線的焦點，這就是太陽能灶把光能轉化為熱能的理論依據．問題1：拋物線有幾個焦點？提示：一個．問題2：拋物線有點像雙曲線的一支，拋物線有漸近線嗎？提示：沒有．問題3：拋物線的頂點與橢圓、雙曲線有什么不同？提示：橢圓有四個頂點，雙曲線有二個頂點，拋物線只有一個頂點．拋物線的簡單幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖像性質范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點原點開口方向向右向左向上向下拋物線的性質特點：(1)拋物線只有一個焦點，一個頂點，一條對稱軸，一條準線，無對稱中心，因此，拋物線又稱為無心圓錐曲線．(2)拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它可以無限延伸，但它沒有漸近線．(3)拋物線的離心率定義為拋物線上的點到焦點的距離和該點到準線的距離的比，所以拋物線的離心率是確定的，為1.(4)拋物線的焦點在對稱軸上，準線垂直于對稱軸，焦點到準線的距離為p，它是一個不變量，不隨拋物線位置的變化而變化，焦點與準線分別在頂點的兩側，且它們到頂點的距離相等，均為eq\f(p,2).[例1]求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線是y＝－4；(2)頂點在原點，通過點(eq\r(3)，－6)，且以坐標軸為軸．[思路點撥]可先根據條件確定拋物線的焦點位置，從而設出拋物線的標準方程，再利用待定系數法求出標準方程．[精解詳析](1)頂點在原點，準線是y＝－4的拋物線的標準方程可設為x2＝2py(p>0)．因為準線是y＝－4，所以p＝8.因此，所求拋物線的標準方程是x2＝16y.(2)若x軸是拋物線的軸，則設拋物線的標準方程為y2＝2px，因為點(eq\r(3)，－6)在拋物線上，所以(－6)2＝2p·eq\r(3)，解得2p＝12eq\r(3)，故所求拋物線的標準方程為y2＝12eq\r(3)x.若y軸是拋物線的軸，同理可得拋物線的標準方程為x2＝－eq\f(1,2)y.[一點通]利用待定系數法求拋物線的標準方程，往往與拋物線的幾何性質相聯系，這就要求對拋物線的標準方程的四種形式及其對應的性質的比較、辨析、應用做到熟練，特別是開口方向、焦點坐標、準線方程等．1．已知雙曲線方程是eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標準方程及拋物線的準線方程．解：∵雙曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點坐標是(2eq\r(2)，0)，∴eq\f(p,2)＝2eq\r(2)，且拋物線的焦點在x軸的正半軸上．∴所求拋物線的標準方程為y2＝8eq\r(2)x，準線方程為x＝－2eq\r(2).2．拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36的短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程．解：橢圓的方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短軸在x軸上，∴拋物線的對稱軸為x軸，∴設拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，即eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準線方程分別為x＝－3和x＝3.[例2]已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點，若△AOB的面積為4，求此拋物線的標準方程．[思路點撥]設出拋物線的方程，表示出△AOB的面積，利用面積列方程求解．[精解詳析]由題意，設拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)，焦點F(eq\f(m,2)，0)，直線l：x＝eq\f(m,2)，∴A、B兩點坐標為(eq\f(m,2)，m)、(eq\f(m,2)，－m)．∴AB＝2|m|.∵△AOB的面積為4，∴eq\f(1,2)·|eq\f(m,2)|·2|m|＝4，∴m＝±2eq\r(2)，∴拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.[一點通]拋物線的幾何性質在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用，但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含條件．例2的關鍵是根據對稱性求出線段|AB|的長，進而通過面積求出m.3．拋物線y2＝4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，當△FPM為等邊三角形時，其面積為________．解析：據題意知，△FPM為等邊三角形，PF＝PM＝FM，∴PM⊥拋物線的準線．設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,4)，m))，則M(－1，m)，等邊三角形邊長為1＋eq\f(m2,4)，又由F(1,0)，PM＝FM，得1＋eq\f(m2,4)＝eq\r(1＋12＋m2)，得m＝2eq\r(3)，∴等邊三角形的邊長為4，其面積為4eq\r(3).答案：4eq\r(3)4．(江西高考)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.解析：由x2＝2py(p>0)得焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準線l為y＝－eq\f(p,2)，所以可求得拋物線的準線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1的交點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(12＋p2),2)，－\f(p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋p2),2)，－\f(p,2)))，所以AB＝eq\r(12＋p2)，則AF＝AB＝eq\r(12＋p2)，所以eq\f(p,AF)＝sineq\f(π,3)，即eq\f(p,\r(12＋p2))＝eq\f(\r(3),2)，解得p＝6.答案：65．已知A、B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標原點，若OA＝OB，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點F，求直線AB的方程．解：∵△ABO是等腰三角形，A、B關于x軸對稱，∴AB垂直于x軸．設直線AB方程為x＝a，則y2＝2pa.∴可設A(a，eq\r(2pa))，B(a，－eq\r(2pa))．而焦點F為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))∴kFA＝eq\f(\r(2pa),a－\f(p,2))，kOB＝eq\f(－\r(2pa),a).∵kFA·kOB＝－1，∴eq\f(\r(2pa)·－\r(2pa),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(p,2)))a)＝－1.∴a＝eq\f(5,2)p.∴AB的方程為x＝eq\f(5,2)p.[例3]求拋物線y2＝4x上到焦點F的距離與到點A(3,2)的距離之和最小的點的坐標，并求出這個最小值．[思路點撥]可以設拋物線上的點為P，要求PA＋PF的最小值，可利用拋物線定義，把PF轉化為P到準線的距離求解．[精解詳析]設P′是拋物線y2＝4x上的任意一點，如圖，過P′作拋物線的準線l的垂線，垂足為D，連結P′F，由拋物線定義可知P′F＝P′D.∴P′A＋P′F＝P′A＋P′D.過A作準線l的垂線，交拋物線于P，垂足為Q，顯然，直線段AQ的長小于折線段AP′D的長，因而P點即為所求的AQ與拋物線的交點．∵直線AQ平行于x軸，且過A(3,2)，∴直線AQ的方程為y＝2.代入y2＝4x，得x＝1.∴P(1,2)與F、A的距離之和最小，最小距離為4.[一點通]與拋物線有關的最值問題，常利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化成到準線的距離，利用幾何法求解；另外，也可以根據條件轉化為求函數的最值問題，但應注意拋物線的范圍，同時注意設點技巧．6．已知拋物線y2＝2x的焦點F，點P是拋物線上的動點，求點P到點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))的距離與點P到直線x＝－eq\f(1,2)的距離d之和的最小值．解：由于直線x＝－eq\f(1,2)即拋物線的準線，故PB＋d＝PB＋PF≥BF.當且僅當B、P、F共線時取等號，而BF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))2＋12)＝eq\r(2)，∴PB＋d的最小值為eq\r(2).7．已知直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．(1)若|AF|＝4，求點A的坐標；(2)求線段AB的長的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其準線方程為x＝－1，焦點F(1,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，從而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴點A的坐標為(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)．與拋物線方程聯立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直線與拋物線相交于A，B兩點，則k≠0，設其兩根為x1，x2，∴x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時|AB|＝4，∴|AB|≥4，即線段AB的長的最小值為4.1．涉及拋物線的焦點弦問題時，可以優先考慮利用定義將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離．2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的一條直線與拋物線的兩個交點，則①AB＝x1＋x2＋p，②x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.課時達標訓練（十二）1．拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是________．解析：這里p＝4，焦點(2,0)，準線x＝－2，∴焦點到準線的距離是4.答案：42．拋物線y2＝2x上的兩點A，B到焦點的距離之和是5，則線段AB的中點到y軸的距離是________．解析：拋物線y2＝2x的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，準線方程為x＝－eq\f(1,2)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AF＋BF＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點橫坐標為2.故線段AB的中點到y軸的距離是2.答案：23．過點(0,1)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線有________條．解析：過點(0,1)，斜率不存在的直線為x＝0，滿足與拋物線y2＝4x只有一個公共點．當斜率存在時，設直線方程為y＝kx＋1，再與y2＝4x聯立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，當k＝0時，方程是一次方程，有一個解，滿足一個交點；當k≠0時，由Δ＝0可得k值有一個，即有一個公共點，所以滿足題意的直線有3條．答案：34．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為________．解析：設拋物線方程為y2＝2px，則焦點坐標為(eq\f(p,2)，0)，將x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，故p＝6.點P在準線上，到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為eq\f(1,2)×6×12＝36.答案：365．已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則FM∶MN＝________.即FM∶MN＝1∶eq\r(5).答案：1∶eq\r(5)6．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．解：法一：設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則焦點F(eq\f(p,2)，0)，由題設可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋3－\f(p,2)2)＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的拋物線方程為y2＝8x，m的值為±2eq\r(6).法二：設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線方程x＝－eq\f(p,2)，根據拋物線定義，點M到焦點的距離等于M到準線方程的距離，則3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4.因此拋物線方程為y2＝8x.又點M(3，m)在拋物線上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).7．已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線被直線x