高考大題專攻練12.函數與導數(B組)大題集訓練，練就慧眼和規范，占領高考制勝點！1.已知函數f(x)=ln(2ax+a21)ln(x2+1)，其中a∈R.導學號92494448(1)求f(x)的單調區間.(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a21)ln(x2+1)=ln2ax+設g(x)=2ax+a2-1x①當a=0時，f(x)無意義，所以a≠0.②當a>0時，f(x)的定義域為1-令g′(x)=0，得x1=a，x2=1a，g(x)與g′x(∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+∞)g′(x)0+0g(x)↘g(x1)↗g(x2)↘1-a22a(a)=1-a22a1a=1故f(x)的單調遞增區間是1-單調遞減區間是1a③當a<0時，f(x)的定義域為-∞,1-a22a.令g′(x)=0，得x1=a，xx(∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，+∞)g′(x)+00+g(x)↗g(x2) ↘g(x1) ↗1-a22a(a)=1-a22a1a=1所以f(x)的單調遞增區間是-∞單調遞減區間是1a(2)①當a>0時，由(1)可知，f(x)在1-a22a,1a上單調遞增，在1下面研究最小值：由于f(x)的定義域為1-(ⅰ)若1-a22a≥0，即0<a(ⅱ)若1-a2所以f(x)在0,因為f(x)在1a所以f(x)在1a所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只可能是f(0)=ln(g(0)).計算整理g(x)g(0)=2ax+a2=[2a-(要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只需x∈[0，+∞)，g(x)g(0)≥0.因為x2+1>0，則問題轉化為x∈[0，+∞)時，(1a2)x+2a≥0恒成立.設h(x)=(1a2)x+2a，則只需1-a解得0≤a≤1，這與a>1相矛盾，所以f(x)在[0，+∞)上沒有最小值，不合題意.②當a<0時，由于f(x)的定義域為-∞(ⅰ)若1-a22a≤0，即1(ⅱ)若1-a2綜上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.2.已知函數f(x)=aex+(2e)x(a為實數，e為自然對數的底數)，曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線(3e)xy+10=0平行.導學號92494449(1)求實數a的值，并判斷函數f(x)在區間[0，+∞)內的零點個數.(2)證明：當x>0時，f(x)1>xln(x+1).【解析】(1)f′(x)=aex+2e，由題設，可知曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率k=f′(0)=a+2e=3e，解得a=1，所以f(x)=ex+(2e)x，所以x≥0時，f′(x)=ex+2e≥e0+2e>0，所以f(x)在區間[0，+∞)內為增函數，又f(0)=1>0，所以f(x)在區間[0，+∞)內沒有零點.(2)當x>0時，f(x)1>xln(x+1)等價于f(x)-1x>ln(x+1)，記g(x)=e則g′(x)=ex1，當x>0時，g′(x)>0，所以當x>0時，g(x)在區間(0，+∞)內單調遞增，所以g(x)>g(0)=0，即ex>x+1，兩邊取自然對數，得x>ln(x+1)(x>0)，所以要證明f(x)-1x>ln(x+1)(x>0)，只需證明f即證明當x>0時，exx2+(2e)x1≥0，①設h(x)=exx2+(2e)x1，則h′(x)=ex2x+2e，令φ(x)=ex2x+2e，則φ′(x)=ex2，當x∈(0，ln2)時，φ′(x)<0；當x∈(ln2，+∞)時，φ′(x)>0.所以φ(x)在區間(0，ln2)內單調遞減，在區間(ln2，+∞)內單調遞增，又φ(0)=3e>0，φ(1)=0，0<ln2<1，所以φ(ln2)<0，所以存在x0∈(0，1)，使得φ(x0)=0，所以當x∈(0，x0)，或x∈(1，+∞)時，φ(x)>0；當x∈(x0，1)時，φ(x)<0，所以h(x)在區間(0，x0)內單調遞增，在區間(x0，1)內