高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省NT20名校聯(lián)合體2025屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，，則，故．故選：B．2.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故的虛部是.故選：A．3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有種不同的結(jié)果，向上的點數(shù)之和為4的倍數(shù)，共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9種情況，所以概率為．故選：B．4.等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的右焦點到其中一條漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，代入點，可得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，所以右焦點到漸近線的距離為.故選：C．5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，則，則，故選：C．6.已知圓臺的母線長為4，下底面的半徑是上底面半徑的3倍，母線與底面所成的角為60°，那么圓臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為母線與底面所成的角為60°，則圓臺的高，上底面半徑，下底面半徑，設(shè)外接球的半徑為，球心到上底面的距離為，則，解得，所以，所以.故選：D．7.已知函數(shù)滿足恒成立，則當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因為恒成立，所以為的一條對稱軸，那么，所以，解得，，與的圖象如圖所示：由圖可知，曲線與的交點個數(shù)為4．故選：B8.若存在，使得成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，對求導(dǎo)，所以，當(dāng)時，，，所以，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的值域是．又,,，所以，那么．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某汽車4S店在周末舉行新車發(fā)布會，并向所有到場的觀眾發(fā)放了一份相關(guān)的問卷．該發(fā)布會結(jié)束后，共收回問卷300份．據(jù)統(tǒng)計，這300份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（）附：若，則，，．A.這300份問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)的期望是82，標(biāo)準(zhǔn)差是36B.這300份問卷中得分超過88分的約有48份C.D.若在其他4S店舉行該發(fā)布會并發(fā)放問卷，得到的問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)也服從正態(tài)分布【答案】BC【解析】由題意知，該問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可得數(shù)據(jù)期望是，方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是，所以A錯誤；由，可得300×0.1585≈48，所以該問卷中得分超過88分的約有48份，所以B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發(fā)放到不同4S店，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤．故選：BC．10.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，，則以下說法正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】AB【解析】設(shè)，則，則，解得或，當(dāng)時，，因，所以是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以①，故A正確；當(dāng)時，，因，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以②，故B正確；①②兩式作差得，，故C錯誤；數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則，故D錯誤．故選：AB．11.已知拋物線E：的焦點為F，準(zhǔn)線交y軸于點P，拋物線E上一點到點F的距離為6，點A，B是拋物線C上的兩點，點M是的中點，則下列說法正確的是（）A.B.若中點M的橫坐標(biāo)為4，則直線的斜率為2C.若，則恒過點D.若直線過點F，則【答案】ACD【解析】對于A，由題意可知，點到點F的距離為，解得，故A正確；對于B，設(shè)，則，兩式作差得，所以直線的斜率為，故B錯誤；對于對于C，設(shè)：，聯(lián)立直線和拋物線，則，，，所以．因為，所以，所以，解得，所以直線恒過點，故C正確；對于D，由A得，可設(shè)：，聯(lián)立直線和拋物線，則，，，所以，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，，且，則_______．【答案】【解析】由題意得，，又，則，解得．故答案為：．13.的展開式中的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）．【答案】120【解析】的展開式的通項式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的展開式中含的系數(shù)為．故答案為：120．14.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，為偶函數(shù)，且，則________．【答案】-2025【解析】由為偶函數(shù)得，則．兩邊同時求導(dǎo)，得①．所以的圖象關(guān)于點對稱，即，由的圖象關(guān)于點對稱，得②．①-②，得，所以，又，所以，即的周期為4，，，．故答案為-2025．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）若，，求B；（2）若，求的面積解：（1）由正弦定理可知，解得．又因為，所以或．代入均可滿足，所以或．（2）由，，均大于0，所以A，B均為銳角，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，故，又，所以只能是，即，此時，即為等腰直角三角形，所以．面積．16.為了落實健康第一教育理念，實施學(xué)生體質(zhì)強健計劃，現(xiàn)對某高中學(xué)生每天的運動時間進行調(diào)查，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運動時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，將每天平均運動時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“運動愛好者”．（1）試求頻率分布直方圖中值；（2）用樣本估計總體，已知某學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘，求該學(xué)生是“運動愛好者”的概率；（3）從樣本里的“運動愛好者”學(xué)生中隨機選取兩位同學(xué)，用隨機變量表示每天平均運動時間在分鐘之間的學(xué)生數(shù)，求的分布列及期望．解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得．（2）設(shè)“該學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘”為事件A，“該學(xué)生是‘運動愛好者’”為事件B，則，，所以在該學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘的條件下是“運動愛好者”的概率為.（3）由題意可知，樣本中共有“運動愛好者”學(xué)生25人，運動時間在分鐘之間的學(xué)生有5人，所以．，，．則的分布列為012則．17.已知平行六面體如圖所示，，．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明：在平行六面體中，因為，設(shè)，則，，因為，所以，所以，，在中，，，所以，又因為平面，所以平面；（2）解：由（1）已得，且平面，故平面，故可以D坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面法向量為，則，則，令，則，因為，，則，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，因，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，則，即二面角的余弦值是.18.平面直角坐標(biāo)系中，圓A的方程為，點B的坐標(biāo)為，點P是圓上任意一點，線段的垂直平分線交半徑于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線E．（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A作一條直線與點Q的軌跡E相交于M，N兩點，滿足，點H滿足，問：點H是否在一條定直線上，若是，求出這條直線方程，若不是，請說明理由．解：（1）如圖，由題意知所以Q點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓．設(shè)橢圓的方程為，則，，，所以橢圓方程為．（2）如圖，解法一：設(shè)，，，，由可得，則，即①由可得則，即②所以，整理得③當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得，消去得，，，代入③得，又因為，所以．直線斜率不存在時，不妨取，，則，，則，，解得，綜上可得，點在一條定直線上，直線方程為．解法二：設(shè)，，，，由可得，則，即①由可得，則，即②所以，整理得③當(dāng)直線的斜率不存在或不為0時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，，代入③得當(dāng)直線的斜率為0時，，，則，恒成立，點H在上也成立，綜上可得，點H在一條定直線上，直線方程為．19.對數(shù)運算可以使一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算變得簡單，比如函數(shù)：，通常為了便于求導(dǎo)，我們可以作變形：．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知．①若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；②求證：．解：（1），令，解得，令，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）①由題意可知，，那么兩邊同時取對數(shù)可得所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，所以，所以②設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則，即在上恒成立所以，即．河北省NT20名校聯(lián)合體2025屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，，則，故．故選：B．2.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故的虛部是.故選：A．3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有種不同的結(jié)果，向上的點數(shù)之和為4的倍數(shù)，共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9種情況，所以概率為．故選：B．4.等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的右焦點到其中一條漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，代入點，可得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，所以右焦點到漸近線的距離為.故選：C．5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，則，則，故選：C．6.已知圓臺的母線長為4，下底面的半徑是上底面半徑的3倍，母線與底面所成的角為60°，那么圓臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為母線與底面所成的角為60°，則圓臺的高，上底面半徑，下底面半徑，設(shè)外接球的半徑為，球心到上底面的距離為，則，解得，所以，所以.故選：D．7.已知函數(shù)滿足恒成立，則當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因為恒成立，所以為的一條對稱軸，那么，所以，解得，，與的圖象如圖所示：由圖可知，曲線與的交點個數(shù)為4．故選：B8.若存在，使得成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，對求導(dǎo)，所以，當(dāng)時，，，所以，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的值域是．又,,，所以，那么．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某汽車4S店在周末舉行新車發(fā)布會，并向所有到場的觀眾發(fā)放了一份相關(guān)的問卷．該發(fā)布會結(jié)束后，共收回問卷300份．據(jù)統(tǒng)計，這300份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（）附：若，則，，．A.這300份問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)的期望是82，標(biāo)準(zhǔn)差是36B.這300份問卷中得分超過88分的約有48份C.D.若在其他4S店舉行該發(fā)布會并發(fā)放問卷，得到的問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)也服從正態(tài)分布【答案】BC【解析】由題意知，該問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可得數(shù)據(jù)期望是，方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是，所以A錯誤；由，可得300×0.1585≈48，所以該問卷中得分超過88分的約有48份，所以B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發(fā)放到不同4S店，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤．故選：BC．10.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，，則以下說法正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】AB【解析】設(shè)，則，則，解得或，當(dāng)時，，因，所以是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以①，故A正確；當(dāng)時，，因，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以②，故B正確；①②兩式作差得，，故C錯誤；數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則，故D錯誤．故選：AB．11.已知拋物線E：的焦點為F，準(zhǔn)線交y軸于點P，拋物線E上一點到點F的距離為6，點A，B是拋物線C上的兩點，點M是的中點，則下列說法正確的是（）A.B.若中點M的橫坐標(biāo)為4，則直線的斜率為2C.若，則恒過點D.若直線過點F，則【答案】ACD【解析】對于A，由題意可知，點到點F的距離為，解得，故A正確；對于B，設(shè)，則，兩式作差得，所以直線的斜率為，故B錯誤；對于對于C，設(shè)：，聯(lián)立直線和拋物線，則，，，所以．因為，所以，所以，解得，所以直線恒過點，故C正確；對于D，由A得，可設(shè)：，聯(lián)立直線和拋物線，則，，，所以，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，，且，則_______．【答案】【解析】由題意得，，又，則，解得．故答案為：．13.的展開式中的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）．【答案】120【解析】的展開式的通項式，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的展開式中含的系數(shù)為．故答案為：120．14.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，為偶函數(shù)，且，則________．【答案】-2025【解析】由為偶函數(shù)得，則．兩邊同時求導(dǎo)，得①．所以的圖象關(guān)于點對稱，即，由的圖象關(guān)于點對稱，得②．①-②，得，所以，又，所以，即的周期為4，，，．故答案為-2025．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）若，，求B；（2）若，求的面積解：（1）由正弦定理可知，解得．又因為，所以或．代入均可滿足，所以或．（2）由，，均大于0，所以A，B均為銳角，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，故，又，所以只能是，即，此時，即為等腰直角三角形，所以．面積．16.為了落實健康第一教育理念，實施學(xué)生體質(zhì)強健計劃，現(xiàn)對某高中學(xué)生每天的運動時間進行調(diào)查，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運動時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，將每天平均運動時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“運動愛好者”．（1）試求頻率分布直方圖中值；（2）用樣本估計總體，已知某學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘，求該學(xué)生是“運動愛好者”的概率；（3）從樣本里的“運動愛好者”學(xué)生中隨機選取兩位同學(xué)，用隨機變量表示每天平均運動時間在分鐘之間的學(xué)生數(shù)，求的分布列及期望．解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得．（2）設(shè)“該學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘”為事件A，“該學(xué)生是‘運動愛好者’”為事件B，則，，所以在該學(xué)生每天平均運動時間不低于60分鐘的條件下是“運動愛好者”的概率為.（3）由題意可知，樣本中共有“運動愛好者”學(xué)生25人，運動時間在分鐘之間的學(xué)生有5人，所以．，，．則的分布列為012則．17.已知平行六面體如圖所示，，．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明：在平行六面體中，因為，設(shè)，則，，因為，所以，所以，，在中，，，所以，又因為平面，所以平面；（2）解：由（1）已得，且平面，故平面，故可以D坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面