高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2025屆高三下學期4月教學測量與評價數學試題一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.以為漸近線的雙曲線可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；對于B，由得漸近線方程為，故B正確；對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.故選：B.2.若復數滿足，則（）A B. C.5 D.8【答案】B【解析】，所以.故選：B．3.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D4.在平面直角坐標系中，角、的頂點與原點重合，它們的始邊與軸的非負半軸重合，它們的終邊關于原點對稱.若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為角、的頂點與原點重合，它們的始邊與軸的非負半軸重合，它們的終邊關于原點對稱，所以，由誘導公式知，,又，所以，所以，即的最大值為.故選：A.5.用二分法求函數在內的零點近似值，若精確度要求為，則需重復相同步驟的次數至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原始區間長度為，第一次，區間長度減半，為，第二次，區間長度減半，為，第三次，區間長度減半，，第四次，區間長度減半，為，故至少需要重復四次.故選：B.6.已知，，，則的最小值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號.故選：C7.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，顯然，則，又，所以，即，解得或；當時，不符合題意；所以，則，所以.故選：C8.鄭國渠是秦王贏政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅固的堤壩．如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點A，B分別在堤壩斜面與地面上，過點A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為C，D，若，二面角的大小為，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以．故選：D二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人C.經常鍛煉者中男生的頻率是不經常鍛煉者中男生的頻率的1.6倍左右D.在犯錯誤的概率不大于0.01的條件下，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關【答案】BCD【解析】設男生人數為，則女生人數為，由題得，解得，即在被調查者中，男?女生人數為80，100，可得到如下列聯表，性別鍛煉情況合計經常鍛煉不經常鍛煉男483280女4060100合計8892180由表可知，A顯然錯誤，男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B正確；在經常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經常鍛煉者中是男生的頻率為C正確；零假設：假期是否經常鍛煉與性別無關，則，根據小概率值獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為假期是否經常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01，D正確，故選：BCD．10.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.是周期函數B.的圖象有對稱中心C.方程有解D.方程在內解的個數為偶數【答案】ABD【解析】對于A中，由，所以函數是周期函數，所以A正確；對于B中，由，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，所以函數的圖象有對稱中心，所以B正確；對于C中，由，令，可得，則，令，可得，當時，；當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，又由，，所以的最大值為因為，即，所以方程無解，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，所以函數的圖象關于對稱，而，當時，直線與在上的圖象有交點，交點個數必為偶數，或0個交點；當時，由時，解得或，有兩個解，所以方程在內解的個數為偶數，D正確.故選：ABD.11.已知曲線，則（）A.曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里B.曲線上存在與點的距離小于1的點C.曲線關于軸對稱D.曲線所圍成區域的面積大于4【答案】ACD【解析】由，所以，，所以曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里，故A對；設為曲線上任一點，所以P到的距離為：，故B錯；對于曲線上任意點，其關于x軸對稱點為，把代入成立，曲線關于軸對稱，故C對；如圖四邊形在曲線C內部，根據圖像的對稱性可得，又曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里，所以，故曲線C所圍成區域的面積大于，故D對.故選：ACD.三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設等差數列的前項和為，若，則__________.【答案】24【解析】是等差數列，∴，，．故答案為：24.13.如圖所示是放在平面直角坐標系中的太極圖，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為______.【答案】【解析】依題意，表示點與定點確定直線的斜率，令，得直線：，觀察圖形知，當與半圓相切于第一象限時，最小，此時，因此，解得，所以的最小值為.故答案為：14.圍棋是中華民族發明世界上最古老的棋類游戲之一，具有高度的文化色彩.它的棋盤是由縱橫各19條線交叉組成的，下棋時每個交叉點可能出現放黑子、放白子或放空三種情況，因此，整個棋盤的放子情況共種.則數字是______位數，它的個位數字是______.（參考數據：）【答案】①.173②.3【解析】因為，所以，因為，則，所以為位數，由，其個位數分別為以為周期循環往復，因為，故的個位數與的個位數相同，即的個位數為.故答案為：；四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，已知是與的等比中項，且是與的等差中項.（1）探究的形狀；（2）求的值.解：（1）由題設得：，由正、余弦定理得：，即，又，所以，即，故是以角為直角的直角三角形.（2）由（1）得，，設，則，由得：，即，解得或（舍去），又由余弦定理，，于是，故.16.已知函數，其中、.（1）當、時，求曲線在點處的切線的方程；（2）判斷命題“、，在處取得極值3”的真假，并說明理由.解：（1）函數的定義域為，當、時，，所以，由題設得：，，故所求切線方程是：，即；（2）假設命題為真，由得：，又，所以，，此時，令所以，由得：，列表得：1－0＋↘↗所以，從而在定義域上遞增，這與有極值點矛盾，故假設不成立，命題為假.17.已知橢圓的左、右頂點分別為、，離心率，為橢圓上異于、的動點.（1）求直線、的斜率的積；（2）過作直線，過作直線，設，證明：存在兩定點與，使得為常數.（1）解：設，則，即，因為雙曲線的離心率，所以，所以，設直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以直線、的斜率的積為；（2）證明：設，則直線的方程為，①直線的方程為，②①②得，即，所以動點在橢圓上，故存在兩定點與，使得.18.不透明的袋子中裝有大小相同的白球和彩球各1個，將“連續兩次從袋子中有放回地摸出1個小球”記為一次試驗，若兩次均摸到彩球，則試驗成功并終止試驗，否則在袋子中添加一個相同的白球，然后進行下一次試驗．（1）若最多只能進行3次試驗，設試驗終止時進行的次數為隨機變量，求的分布列與數學期望；（2）若試驗可以一直進行下去，第次試驗成功的概率記為，求證：．（1）解：的可能值有，；；．所以隨機變量的分布列為123．（2）證明：因為，，，所以，，經檢驗也滿足上式，所以．19.如圖，棱長為1的正方體中，、、分別為棱、、的中點，為底面正方形的中心.（1）求四面體的體積；（2）求四面體的外接球半徑；（3）定義：在兩條異面直線上各取一點，這兩點的最短距離稱為異面直線的距離.①求異面直線與的距離；②請另外寫出一個異面直線距離的定義.解：（1）如圖，以為原點，以直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，所以、、，設為平面的法向量，則，取，得，，所以，所以點到平面的距離為，又，，所以三角形的面積為，故；（2）設為三角形的外心，為四面體的外接球球心，為中點，為中點，為中點，則，所以，從而，由得：，所以，，進而，設，可得，，由得：，所以，，故；（3）①分別在異面直線與上各取一點、，則，其中、，所以，當且僅當、時，；②由①得：，所以，，即，，故可定義異面直線的距離為與兩條異面直線都垂直相交的線段的長.廣東省汕頭市2025屆高三下學期4月教學測量與評價數學試題一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.以為漸近線的雙曲線可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；對于B，由得漸近線方程為，故B正確；對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.故選：B.2.若復數滿足，則（）A B. C.5 D.8【答案】B【解析】，所以.故選：B．3.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D4.在平面直角坐標系中，角、的頂點與原點重合，它們的始邊與軸的非負半軸重合，它們的終邊關于原點對稱.若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為角、的頂點與原點重合，它們的始邊與軸的非負半軸重合，它們的終邊關于原點對稱，所以，由誘導公式知，,又，所以，所以，即的最大值為.故選：A.5.用二分法求函數在內的零點近似值，若精確度要求為，則需重復相同步驟的次數至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原始區間長度為，第一次，區間長度減半，為，第二次，區間長度減半，為，第三次，區間長度減半，，第四次，區間長度減半，為，故至少需要重復四次.故選：B.6.已知，，，則的最小值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號.故選：C7.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，顯然，則，又，所以，即，解得或；當時，不符合題意；所以，則，所以.故選：C8.鄭國渠是秦王贏政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅固的堤壩．如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點A，B分別在堤壩斜面與地面上，過點A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為C，D，若，二面角的大小為，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以．故選：D二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調查者中，下列說法正確的是（）A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人C.經常鍛煉者中男生的頻率是不經常鍛煉者中男生的頻率的1.6倍左右D.在犯錯誤的概率不大于0.01的條件下，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關【答案】BCD【解析】設男生人數為，則女生人數為，由題得，解得，即在被調查者中，男?女生人數為80，100，可得到如下列聯表，性別鍛煉情況合計經常鍛煉不經常鍛煉男483280女4060100合計8892180由表可知，A顯然錯誤，男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多B正確；在經常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經常鍛煉者中是男生的頻率為C正確；零假設：假期是否經常鍛煉與性別無關，則，根據小概率值獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為假期是否經常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01，D正確，故選：BCD．10.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.是周期函數B.的圖象有對稱中心C.方程有解D.方程在內解的個數為偶數【答案】ABD【解析】對于A中，由，所以函數是周期函數，所以A正確；對于B中，由，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，所以函數的圖象有對稱中心，所以B正確；對于C中，由，令，可得，則，令，可得，當時，；當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，又由，，所以的最大值為因為，即，所以方程無解，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，所以函數的圖象關于對稱，而，當時，直線與在上的圖象有交點，交點個數必為偶數，或0個交點；當時，由時，解得或，有兩個解，所以方程在內解的個數為偶數，D正確.故選：ABD.11.已知曲線，則（）A.曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里B.曲線上存在與點的距離小于1的點C.曲線關于軸對稱D.曲線所圍成區域的面積大于4【答案】ACD【解析】由，所以，，所以曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里，故A對；設為曲線上任一點，所以P到的距離為：，故B錯；對于曲線上任意點，其關于x軸對稱點為，把代入成立，曲線關于軸對稱，故C對；如圖四邊形在曲線C內部，根據圖像的對稱性可得，又曲線位于直線、和圍成的矩形框（含邊界）里，所以，故曲線C所圍成區域的面積大于，故D對.故選：ACD.三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設等差數列的前項和為，若，則__________.【答案】24【解析】是等差數列，∴，，．故答案為：24.13.如圖所示是放在平面直角坐標系中的太極圖，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為______.【答案】【解析】依題意，表示點與定點確定直線的斜率，令，得直線：，觀察圖形知，當與半圓相切于第一象限時，最小，此時，因此，解得，所以的最小值為.故答案為：14.圍棋是中華民族發明世界上最古老的棋類游戲之一，具有高度的文化色彩.它的棋盤是由縱橫各19條線交叉組成的，下棋時每個交叉點可能出現放黑子、放白子或放空三種情況，因此，整個棋盤的放子情況共種.則數字是______位數，它的個位數字是______.（參考數據：）【答案】①.173②.3【解析】因為，所以，因為，則，所以為位數，由，其個位數分別為以為周期循環往復，因為，故的個位數與的個位數相同，即的個位數為.故答案為：；四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，已知是與的等比中項，且是與的等差中項.（1）探究的形狀；（2）求的值.解：（1）由題設得：，由正、余弦定理得：，即，又，所以，即，故是以角為直角的直角三角形.（2）由（1）得，，設，則，由得：，即，解得或（舍去），又由余弦定理，，于是，故.16.已知函數，其中、.（1）當、時，求曲線在點處的切線的方程；（2）判斷命題“、，在處取得極值3”的真假，并說明理由.解：（1）函數的定義域為，當、時，，所以，由題設得：，，故所求切線方程是：，即；（2）假設命題為真，由得：，又，所以，，此時，令所以，由得：，列表得：1－0＋↘↗所以，從而在定義域上遞增，這與有極值點矛盾，故假設不成立，命題為假.17.已知橢圓的左、右頂點分別為、，離心率，為橢圓上異于、的動點.（1）求直線、的斜率的積；（2）過