高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市2025屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】，所以的虛部為,故選：B.2.已知雙曲線的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個端點(diǎn)為，若為直角三角形，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，不妨取，，，因?yàn)闉橹苯侨切?，且，則為等腰直角三角形，所以，所以，則，所以，雙曲線的離心率.故選：A3.在的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則的系數(shù)為（）A.10 B.40 C.80 D.120【答案】C【解析】依題意，，解得，則二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，取，即得的系數(shù)為.故選：C.4.以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，正三角形繞所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個同底的圓錐，圓錐的底面半徑為，所得幾何體的底面積為，則體積為.故選：D.5.在梯形中，，，，，，則（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】由題可知，所以，因，則故選：C6.廈門某會場座位共有20排，第一排有15個座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個座位．現(xiàn)有一個200人的代表團(tuán)來該會場參加會議，主辦方需預(yù)留前排座位給該代表團(tuán)，則的最小值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】由題知,前n排座位數(shù)依次構(gòu)成以15為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故前n排座位數(shù)之和，解得：，故的最小值為9,故選：C.7.已知函數(shù)部分圖象如下，將沿翻折至，使得二面角為．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，；記點(diǎn)為，翻折后，連接，，，即為二面角的平面角，，，，軸，，，又，平面，平面，又平面，，，，的最小正周期，.故選：B.8.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時，恒成立，即恒成立，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.甲、乙兩名籃球運(yùn)動員連續(xù)5場比賽的得分如圖所示，則（）A.甲得分的極差大于乙得分的極差B.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BC【解析】甲場比賽得分由低到高分別為，乙場比賽得分由低到高分別為，則甲的極差為，乙的極差為，故甲得分的極差小于乙得分的極差，故A錯誤；甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，則甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)，故B正確；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲的方差，乙的方差，故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯誤.故選：BC10.如圖，一個漏斗的上面部分可視為長方體，下面部分可視為正四棱錐，為正方形的中心，兩部分的高都是該正方形邊長的一半，則（）A. B.平面C.平面平面 D.與為相交直線【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)正方形邊長為2，由正四棱錐性質(zhì)可得平面，故，因?yàn)槊妫试诘酌娴纳溆盀?，又不與垂直，故不與垂直，故A不正確；對于B，由題且，故四邊形是平行四邊形，所以不在平面內(nèi)，平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)?，平面，故平面，平面即為平面，因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故C正確；對于D，由C可知與都在平面中且不平行，故與為相交直線，故D正確.故選：BCD.11.已知是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若對任意的，總存在，使得，則稱是“可分等比數(shù)列”，則（）A.不是“可分等比數(shù)列” B.是“可分等比數(shù)列”C.若是“可分等比數(shù)列”，則 D.若是“可分等比數(shù)列”，則【答案】ACD【解析】對于A，若，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以不存在正整?shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)A正確：對于B，若，則，所以，當(dāng)時，，所以不存在正整數(shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)B錯誤；對于C，若，則有，所以不存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．下證：對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時，．反證法：假設(shè)存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，取滿足條件的最小正整數(shù)，此時有，使得且，則，即，即與矛盾．所以對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以選項(xiàng)C正確；對于D，下證：．由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，①當(dāng)時，因?yàn)楹愠闪?，所以符合要求；②?dāng)時，因，當(dāng)時，，不符合題設(shè)要求．綜上，，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)若，則________．【答案】8【解析】，所以，因?yàn)闀r，，所以，，解得，故答案為：13.四個人排成一排，當(dāng)相鄰時，必須在的右邊，那么不同的排法共有________種．【答案】【解析】當(dāng)A，B不相鄰時，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有種排法；當(dāng)A，B相鄰時，將看作一個整體，并且在的右邊，相當(dāng)于個人排隊(duì)，則不同的排法有種；所以共有種.故答案為：.14.已知直線：與圓：相切于點(diǎn)T，A是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，且以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)，則，直線：與圓：相切于點(diǎn)T，則，以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則可得，化簡可得，且，從而可設(shè)，且，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量，，且．（1）求A；（2）若，求周長的最大值．解：（1），，，根據(jù)正弦定理，，，，即，，所以，則，；（2）由余弦定理，得，根據(jù)基本不等式，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，周長最大值是6.16.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證明，只需證明，即證明，令，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，可得，即．17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，四邊形是正方形，是正三角形，，．（1）證明：平面；（2）若直線與底面的交點(diǎn)為，直線上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為60°?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．（1）證明：取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭钦切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：因?yàn)榍?，所以四邊形為梯形，延長交的延長線于．平面，所以平面．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得，則，解得，故．18.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且不垂直于y軸的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，直線與E交于點(diǎn)C（異于A）．（i）證明：為等腰三角形；（ii）若點(diǎn)M是的外心，求面積的最大值．解：（1）依題意可得，解得，所以，所以橢圓方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，由，整理得，所以，則，所以，，若軸，由，解得，則，此時的斜率，即（不合題意），所以、的斜率均存在，所以，又，所以，即，又因?yàn)?、均在橢圓上，由橢圓的對稱性可知，即為等腰三角形；（ii）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，所以的垂直平分線為，令可得，所以，所以的面積，令，設(shè)，，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值，所以面積的最大值為.19.在一個不透明口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個小球，將它們分別編號為．每次從口袋中隨機(jī)抽取一個小球，記錄編號后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．記總的摸球次數(shù)為，其期望為．（1）求與；（2）求；（3）證明：．附：①若隨機(jī)變量的可能取值為，則②若隨機(jī)變量，則．（1）解：表示袋中共兩個球，前3次摸出同一個球，第4次才摸出另一個球，故，表示袋中共3個球，前4次摸出的是兩個不同編號的球，第5次才摸出最后一個編號的球，第5次才摸出第三個編號的球，則前4次摸球中，另外兩個編號球各至少摸到一次，則．（2）解：依題意可得：，則，所以設(shè)，，作差可得，所以，所以（3）證明：設(shè)隨機(jī)變量表示，恰好記錄了個不同的編號下，繼續(xù)摸球直到記錄到第個新的編號所需要的摸球次數(shù)，則，其中，則，，設(shè)，作差可得：，所以，所以，即，令，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以．福建省廈門市2025屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】，所以的虛部為,故選：B.2.已知雙曲線的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個端點(diǎn)為，若為直角三角形，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，不妨取，，，因?yàn)闉橹苯侨切危?，則為等腰直角三角形，所以，所以，則，所以，雙曲線的離心率.故選：A3.在的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則的系數(shù)為（）A.10 B.40 C.80 D.120【答案】C【解析】依題意，，解得，則二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，取，即得的系數(shù)為.故選：C.4.以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，正三角形繞所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個同底的圓錐，圓錐的底面半徑為，所得幾何體的底面積為，則體積為.故選：D.5.在梯形中，，，，，，則（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】由題可知，所以，因，則故選：C6.廈門某會場座位共有20排，第一排有15個座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個座位．現(xiàn)有一個200人的代表團(tuán)來該會場參加會議，主辦方需預(yù)留前排座位給該代表團(tuán)，則的最小值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】由題知,前n排座位數(shù)依次構(gòu)成以15為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故前n排座位數(shù)之和，解得：，故的最小值為9,故選：C.7.已知函數(shù)部分圖象如下，將沿翻折至，使得二面角為．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，；記點(diǎn)為，翻折后，連接，，，即為二面角的平面角，，，，軸，，，又，平面，平面，又平面，，，，的最小正周期，.故選：B.8.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時，恒成立，即恒成立，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.甲、乙兩名籃球運(yùn)動員連續(xù)5場比賽的得分如圖所示，則（）A.甲得分的極差大于乙得分的極差B.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BC【解析】甲場比賽得分由低到高分別為，乙場比賽得分由低到高分別為，則甲的極差為，乙的極差為，故甲得分的極差小于乙得分的極差，故A錯誤；甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，則甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)，故B正確；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲的方差，乙的方差，故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯誤.故選：BC10.如圖，一個漏斗的上面部分可視為長方體，下面部分可視為正四棱錐，為正方形的中心，兩部分的高都是該正方形邊長的一半，則（）A. B.平面C.平面平面 D.與為相交直線【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)正方形邊長為2，由正四棱錐性質(zhì)可得平面，故，因?yàn)槊妫试诘酌娴纳溆盀椋植慌c垂直，故不與垂直，故A不正確；對于B，由題且，故四邊形是平行四邊形，所以不在平面內(nèi)，平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)?，平面，故平面，平面即為平面，因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故C正確；對于D，由C可知與都在平面中且不平行，故與為相交直線，故D正確.故選：BCD.11.已知是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若對任意的，總存在，使得，則稱是“可分等比數(shù)列”，則（）A.不是“可分等比數(shù)列” B.是“可分等比數(shù)列”C.若是“可分等比數(shù)列”，則 D.若是“可分等比數(shù)列”，則【答案】ACD【解析】對于A，若，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以不存在正整?shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)A正確：對于B，若，則，所以，當(dāng)時，，所以不存在正整數(shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)B錯誤；對于C，若，則有，所以不存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椋裕矗伦C：對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時，．反證法：假設(shè)存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，取滿足條件的最小正整數(shù)，此時有，使得且，則，即，即與矛盾．所以對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以選項(xiàng)C正確；對于D，下證：．由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，①當(dāng)時，因?yàn)楹愠闪ⅲ苑弦?；②?dāng)時，因，當(dāng)時，，不符合題設(shè)要求．綜上，，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)若，則________．【答案】8【解析】，所以，因?yàn)闀r，，所以，，解得，故答案為：13.四個人排成一排，當(dāng)相鄰時，必須在的右邊，那么不同的排法共有________種．【答案】【解析】當(dāng)A，B不相鄰時，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有種排法；當(dāng)A，B相鄰時，將看作一個整體，并且在的右邊，相當(dāng)于個人排隊(duì)，則不同的排法有種；所以共有種.故答案為：.14.已知直線：與圓：相切于點(diǎn)T，A是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，且以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)，則，直線：與圓：相切于點(diǎn)T，則，以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則可得，化簡可得，且，從而可設(shè)，且，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量，，且．（1）求A；（2）若，求周長的最大值．解：（1），，，根據(jù)正弦定理，，，，即，，所以，則，；（2）由余弦定理，得，根據(jù)基本不等式，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，周長最大值是6.16.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證明，只需證明，即證明，令，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，可得，即．17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，四邊形是正方形，是正三角形，，．（1）證明：平面；（2）若直線與底面的交點(diǎn)為，直線上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為60°?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．（1）證明：取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭钦切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面．?）解：因?yàn)榍?，所以四邊形為梯形，延長交的延長線于．平面，所以平面．以為原點(diǎn)，所