高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省莆田市2025屆高三下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以．故選：A．2.小明所在的學(xué)校每周都要進(jìn)行數(shù)學(xué)周測，他將近8周的周測成績統(tǒng)計(jì)如下：112，101，93，99，106，105，114，119，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（）A.99 B.100 C.101 D.113【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為93，99，101，105，106，112，114，119，由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是.故選：B3.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)樗裕裕趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．4.已知向量滿足，，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，在上的投影向量為，則，所以，又，所以，即與的夾角為．故選：D．5.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置．現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過分鐘時剩余的細(xì)沙量為，且（為常數(shù)），經(jīng)過分鐘時，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開始時的，需經(jīng)過的時間為（）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘【答案】C【解析】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，所以，得到，當(dāng)容器上方細(xì)沙只有開始時的時，則有，所以，兩邊取對數(shù)得，所以，即需要經(jīng)過的時間為分鐘．故選：C6.已知某圓臺下底面半徑為2，高與上底面半徑均為1，則該圓臺外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意分析可得球心應(yīng)該在線段的延長線上，如圖，設(shè)為圓臺外接球的球心，，分別為上、下底面圓的圓心，為外接球半徑，則，解得，所以外接球的表面積為．故選：C．7.已知，，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕氲茫獾没颍颍裕裕蔬x：D．8.已知函數(shù)，，若對區(qū)間內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】假設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故，即；令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．綜上所述，．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，則（）A.滿足的點(diǎn)恰有兩個B.滿足面積為的點(diǎn)恰有三個C.的最小值為3D.的最小值為【答案】BCD【解析】滿足的點(diǎn)位于線段的垂直平分線上，其直線方程為，與僅有一個交點(diǎn)，故A錯誤；設(shè)到直線的距離為，，則，所以在直線或軸上，這樣的點(diǎn)有三個，故B正確；如圖1，點(diǎn)在拋物線外，，故的最小值為，故C正確；如圖2，過作軸平行線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義，，此時有最小值，故D正確．故選：BCD．10.某校教研會上，共有3位統(tǒng)考科目（語文、數(shù)學(xué)、外語）教師，2位首選科目（物理、歷史）教師，4位再選科目（化學(xué)、生物、政治、地理）教師進(jìn)行發(fā)言，現(xiàn)用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，用事件（，）分別表示第位發(fā)言的是統(tǒng)考科目教師、首選科目教師、再選科目教師，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】或，故A正確；，或，故B錯誤；或，所以，故C正確；因?yàn)椋裕珼正確．故選：ACD．11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，且，，若，其中，則（）A B.C. D.的最小值為【答案】ACD【解析】在中，令，得，即，又是偶函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又，所以，將替換為可得①，將替換為可得②，可得，即，所以是的一個周期，又，，，，，所以，故B錯誤；因?yàn)椋躁P(guān)于中心對稱，又是偶函數(shù)，所以關(guān)于中心對稱，所以，即，，，，，令，得，，即，所以，解得，故C正確；由，得，且，當(dāng)時，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立；當(dāng)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，又，所以的最小值為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與雙曲線有共同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為______．【答案】【解析】設(shè)雙曲線方程為，雙曲線過點(diǎn)，，，故所求雙曲線方程為：，即，故答案為：13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，又，所以，即，因?yàn)椋捶项}意，則，因?yàn)椋裕曰颍曰颍驗(yàn)椋捶项}意，綜上.故答案為：.14.從1，2，…，2024中任取兩數(shù)（可以相同），則的個位是7的概率為______．【答案】【解析】從1，2，…，2024中任取兩數(shù)（可以相同），共有種不同取法，因?yàn)榈膫€位數(shù)字隨著從1開始，依次是7，9，3，1，7，…，周期變化，的個位數(shù)字隨著從1開始，則依次是8，4，2，6，8，…，周期變化，故它們的周期均為4，所以1～2024中，共有，，，（），4種數(shù)型，且每種數(shù)型的個數(shù)是相同的，都是506個．又和的尾數(shù)中只有，，三種情形中個位數(shù)字是7，即，；，；，時，的個位數(shù)字是7．又，；，，所以滿足的個位數(shù)字是7的取法有種取法，所以所求概率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，，的面積為．（1）求的大小；（2）若外接圓的面積為，求的周長．解：（1）在中，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜芍海忠驗(yàn)榈拿娣e，所以．所以，因?yàn)椋裕?）設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)榈拿娣e，所以，由余弦定理得，所以，即，所以，所以的周長為．16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，．因?yàn)榈酌媸橇庑危裕允堑冗吶切危譃榈闹悬c(diǎn)，所以，且，．在中，，，，由余弦定理，得，又，所以，即．因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫?）解：在平面內(nèi)，過作，與的延長線交于點(diǎn)，連接．在中，，，，所以，．在中，，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫制矫妫裕磧蓛纱怪保运谥本€分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，．所以，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，即平面的一個法向量為．設(shè)平面一個法向量為，則，即，令，則，，即平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．17.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，求面積的最大值．解：（1）由橢圓的離心率為，得，①由，知，即，②由①②，解得，，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖，由題意知直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，由，得，由于直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故必有，設(shè)，，則，，又，，易知與同號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)滿足時，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時，，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）（i），則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，所以是的零點(diǎn)，由，得．設(shè)，則，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合的圖象的變化趨勢可知，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（ii）由條件可知，，，則，且．不妨令，將代入中，得，則．設(shè)，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以在上單調(diào)遞減．由得，，所以，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，于是，所以，則，又，令，由（ⅰ）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，解得，故實(shí)數(shù)的最大值為．19.若無窮數(shù)列滿足：對于，，其中A為常數(shù)，則稱數(shù)列為“A數(shù)列”．（1）若等比數(shù)列為“A數(shù)列”，求的公比q；（2）若數(shù)列為“A數(shù)列”，且，．①求證：；②若，且是正項(xiàng)數(shù)列，，求滿足不等式的的最小值．解：（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列為“A數(shù)列”，則，即，可得，若上述方程對任意恒成立，則，且為定值，所以的公比.（2）由題意可知：，且，則數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，可得，即.①因?yàn)椋簦瑒t；若，則；若，則，可得；綜上所述：；②因?yàn)椋沂钦?xiàng)數(shù)列，則，即，可得，若對任意恒成立，即，令，可得，可得，且，則，若，可得，又因?yàn)椋傻茫苑项}意；若對任意恒成立，即，令，可得，可得，若，可得，又因?yàn)椋傻茫傻茫苑项}意；綜上所述：的最小值1.福建省莆田市2025屆高三下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以．故選：A．2.小明所在的學(xué)校每周都要進(jìn)行數(shù)學(xué)周測，他將近8周的周測成績統(tǒng)計(jì)如下：112，101，93，99，106，105，114，119，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（）A.99 B.100 C.101 D.113【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為93，99，101，105，106，112，114，119，由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是.故選：B3.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)樗裕裕趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．4.已知向量滿足，，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，在上的投影向量為，則，所以，又，所以，即與的夾角為．故選：D．5.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置．現(xiàn)有一個沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過分鐘時剩余的細(xì)沙量為，且（為常數(shù)），經(jīng)過分鐘時，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開始時的，需經(jīng)過的時間為（）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘【答案】C【解析】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，所以，得到，當(dāng)容器上方細(xì)沙只有開始時的時，則有，所以，兩邊取對數(shù)得，所以，即需要經(jīng)過的時間為分鐘．故選：C6.已知某圓臺下底面半徑為2，高與上底面半徑均為1，則該圓臺外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意分析可得球心應(yīng)該在線段的延長線上，如圖，設(shè)為圓臺外接球的球心，，分別為上、下底面圓的圓心，為外接球半徑，則，解得，所以外接球的表面積為．故選：C．7.已知，，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕氲茫獾没颍颍裕裕蔬x：D．8.已知函數(shù)，，若對區(qū)間內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】假設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故，即；令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．綜上所述，．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，則（）A.滿足的點(diǎn)恰有兩個B.滿足面積為的點(diǎn)恰有三個C.的最小值為3D.的最小值為【答案】BCD【解析】滿足的點(diǎn)位于線段的垂直平分線上，其直線方程為，與僅有一個交點(diǎn)，故A錯誤；設(shè)到直線的距離為，，則，所以在直線或軸上，這樣的點(diǎn)有三個，故B正確；如圖1，點(diǎn)在拋物線外，，故的最小值為，故C正確；如圖2，過作軸平行線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義，，此時有最小值，故D正確．故選：BCD．10.某校教研會上，共有3位統(tǒng)考科目（語文、數(shù)學(xué)、外語）教師，2位首選科目（物理、歷史）教師，4位再選科目（化學(xué)、生物、政治、地理）教師進(jìn)行發(fā)言，現(xiàn)用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，用事件（，）分別表示第位發(fā)言的是統(tǒng)考科目教師、首選科目教師、再選科目教師，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】或，故A正確；，或，故B錯誤；或，所以，故C正確；因?yàn)椋裕珼正確．故選：ACD．11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，且，，若，其中，則（）A B.C. D.的最小值為【答案】ACD【解析】在中，令，得，即，又是偶函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又，所以，將替換為可得①，將替換為可得②，可得，即，所以是的一個周期，又，，，，，所以，故B錯誤；因?yàn)椋躁P(guān)于中心對稱，又是偶函數(shù)，所以關(guān)于中心對稱，所以，即，，，，，令，得，，即，所以，解得，故C正確；由，得，且，當(dāng)時，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立；當(dāng)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，又，所以的最小值為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與雙曲線有共同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為______．【答案】【解析】設(shè)雙曲線方程為，雙曲線過點(diǎn)，，，故所求雙曲線方程為：，即，故答案為：13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則______．【答案】【解析】設(shè)，由題意，由圖象可知，則，又，所以，即，因?yàn)椋捶项}意，則，因?yàn)椋裕曰颍曰颍驗(yàn)椋捶项}意，綜上.故答案為：.14.從1，2，…，2024中任取兩數(shù)（可以相同），則的個位是7的概率為______．【答案】【解析】從1，2，…，2024中任取兩數(shù)（可以相同），共有種不同取法，因?yàn)榈膫€位數(shù)字隨著從1開始，依次是7，9，3，1，7，…，周期變化，的個位數(shù)字隨著從1開始，則依次是8，4，2，6，8，…，周期變化，故它們的周期均為4，所以1～2024中，共有，，，（），4種數(shù)型，且每種數(shù)型的個數(shù)是相同的，都是506個．又和的尾數(shù)中只有，，三種情形中個位數(shù)字是7，即，；，；，時，的個位數(shù)字是7．又，；，，所以滿足的個位數(shù)字是7的取法有種取法，所以所求概率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，，的面積為．（1）求的大小；（2）若外接圓的面積為，求的周長．解：（1）在中，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜芍海忠驗(yàn)榈拿娣e，所以．所以，因?yàn)椋裕?）設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)榈拿娣e，所以，由余弦定理得，所以，即，所以，所以的周長為．16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，．因?yàn)榈酌媸橇庑危裕允堑冗吶切危譃榈闹悬c(diǎn)，所以，且，．在中，，，，由余弦定理，得，又，所以，即．因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫?）解：在平面內(nèi)，過作，與的延長線交于點(diǎn)，連接．在中，，，，所以，．在中，，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫制矫妫裕磧蓛纱怪保运谥本€分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，．所以，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，即平面的一個法向量為．設(shè)平面一個法向量為，則，即，令，則，，即平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．17.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，求面積的最大值．解：（1）由橢圓的離心率為，得，①由，知，即，②由①②，解得，