高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2025屆高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，由得，，即，則，故.故選：B2已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故選：B3.已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由題可得，所以的離心率為.故選：D4.已知平行六面體的體積為4，若將其截去三棱錐，則剩余幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，四邊形的面積為，顯然有，所以，因此剩余部分幾何體的體積為，故選：C5.若，則（）A.0或 B.或1 C.1 D.0【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)?，，所以即，或（舍去），所?故選：D6.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋覍?duì)任意的，都有成立，所以，所以.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)、三個(gè)對(duì)稱中心，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)、三個(gè)對(duì)稱中心，故，解得.故選：A8.設(shè)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，則方程解的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)和的圖象如圖所示：由圖可知函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.方程解的個(gè)數(shù)為5.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為2，由這組數(shù)據(jù)得到乙組數(shù)據(jù)，其中，則（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B.乙組數(shù)據(jù)的方差為11C.數(shù)據(jù)的方差小于2D.甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍【答案】AC【解析】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，數(shù)據(jù)，對(duì)于A，由題，，，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由題乙組數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，所以數(shù)據(jù)的方差為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第二大數(shù)據(jù)設(shè)為，則乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是，甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)則下列說法中正確的是（）A.為奇函數(shù)B.任意，存在，使得恒成立C.若方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則D.若方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，即，所以不為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由對(duì)恒成立，得，可得對(duì)恒成立，故，當(dāng)，由對(duì)恒成立，得，所以對(duì)恒成立，故，所以對(duì)任意，存在，使得恒成立，故B正確；對(duì)于C，若方程恰有兩個(gè)不等正實(shí)根，則有兩個(gè)不等的正根，所以有兩個(gè)不等的正根，則，解得時(shí)有兩不等的實(shí)根，且，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以只有一個(gè)根，故時(shí)，恰有兩個(gè)不等的正根時(shí)，有三個(gè)不等的實(shí)根，由C可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的正根，不妔設(shè)此兩正根為，且，所以，若第三個(gè)根為，由題意可得，所以，解得，所以，故D正確；故選：BCD.11.已知向量滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，與的夾角為 B.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為C.的最大值為 D.的最小值為4【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，可得，又，所以，故A錯(cuò)誤；由，可得，又，所以，所以，所以在上的投影向量為，故B正確；設(shè)的夾角為，所以，，所以，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列中，，，則_______.【答案】7【解析】由題意，．故答案為：7．13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，則______.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，聯(lián)立得：，則，所以.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________，此時(shí)___________.【答案】①.；②..【解析】由題可以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，為異面直線和的公垂線段，所以此時(shí)且，故，所以取得最小值時(shí)，，，所以的最小值為，此時(shí).故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：為等邊三角形；（2）點(diǎn)分別在直線兩側(cè)，且，求四邊形的面積.（1）證明：因?yàn)椋?，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，所以為等邊三角形；?）解：由余弦定理得，所以，所以四邊形的面積為.16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.（1）解：由題函數(shù)定義域?yàn)镽，，令，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1），所以在上恒成立，所以函數(shù)即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即.17.建甌挑幡是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，常見動(dòng)作招式有手舞東風(fēng)轉(zhuǎn)、肩扛南天松、肘擎中軍令、牙咬北海塔.現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行挑幡比賽，規(guī)則如下：①比賽至多4局，每局比賽獲勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局；②若一方先多得2分，則贏得比賽，比賽終止；③若4局后一方未多得2分，比賽也終止.假設(shè)每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求比賽局?jǐn)?shù)為的概率；（2）已知比賽終止時(shí)甲隊(duì)得2分，求甲隊(duì)贏得比賽的概率；（3）將（1）中作為某區(qū)挑幡愛好者完成常見動(dòng)作招式的概率的值.現(xiàn)從該區(qū)挑幡愛好者中隨機(jī)調(diào)查20人，設(shè)其中能完成動(dòng)作招式的人數(shù)為，求使得最大的的值.解：（1）依題意比賽局?jǐn)?shù)為或，又比賽局?jǐn)?shù)為的概率，比賽局?jǐn)?shù)為的概率，（2）記比賽終止時(shí)甲隊(duì)得2分為事件，甲隊(duì)贏得比賽為事件，則，，所以.（3）依題意，所以，且，令，即，即，解得，又，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為2.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作斜率之積為1的兩條不同的直線，若交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).①證明：為的中點(diǎn)；②求面積的最大值.解：（1）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為，不妨設(shè)焦點(diǎn)為，將代入橢圓方程，可得，即，那么弦長(zhǎng)為.把代入，可得.所以橢圓的方程為.（2）①根據(jù)條件知道，兩直線斜率存在且不為.設(shè)直線方程，，與橢圓聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程.根據(jù)韋達(dá)定理，可得，.因?yàn)槭茿B中點(diǎn)，所以，，即.同理可得CD中點(diǎn).聯(lián)立直線MT與直線CD方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)坐標(biāo)相同，所以為CD中點(diǎn).②已知，的面積，則.對(duì)其化簡(jiǎn)：先通分.分子分母同時(shí)除以得，因?yàn)椋?令，則.根據(jù)基本不等式，對(duì)于，有，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，的面積取最大值.19.若簡(jiǎn)單多面體可以被分割成個(gè)完全相同的小多面體，則稱該簡(jiǎn)單多面體為“等和多面體”，其中分別表示簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù).記每個(gè)小多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為，，，，（為與分割方式有關(guān)的正整數(shù)）.（1）已知長(zhǎng)方體是“等和多面體”，按分割方式：過長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)，各作一個(gè)與該棱垂直的平面，將長(zhǎng)方體分割成若干個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方體，求該分割方式下的值；（2）判斷正四面體是否為“等和多面體”.若是，請(qǐng)先描述一種分割方式，再求出該分割方式下的值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）若簡(jiǎn)單多面體是“等和多面體”，求分割后小多面體的個(gè)數(shù)與的等量關(guān)系.參考公式：多面體歐拉定理可表示為“頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)”，即.解：（1）已知過長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)，各作一個(gè)與該棱垂直的平面，將長(zhǎng)方體分割.在長(zhǎng)方體每個(gè)維度上都被分割成兩份，所以小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為；原長(zhǎng)方體頂點(diǎn)數(shù)，每個(gè)小長(zhǎng)方體頂點(diǎn)數(shù)，，又，所以；原長(zhǎng)方體棱數(shù)，每個(gè)小長(zhǎng)方體棱數(shù)，，又因?yàn)?，所以；原長(zhǎng)方體面數(shù)，每個(gè)小長(zhǎng)方體面數(shù)，，又因?yàn)?，所?（2）正四面體，，，，正四面體是“等和多面體”.分割方式：將正四面體的每條棱三等分，連接各分點(diǎn)，可將正四面體分割成個(gè)完全相同的小正四面體，所以.每個(gè)小正四面體頂點(diǎn)數(shù)，，又，所以；每個(gè)小正四面體棱數(shù)，，又因?yàn)椋?；每個(gè)小正四面體面數(shù)，，又因?yàn)椋?（3）利用歐拉公式建立等式：根據(jù)歐拉公式，對(duì)于原多面體有，對(duì)于每個(gè)小多面體有，對(duì)每個(gè)小多面體的歐拉公式兩邊同時(shí)乘以有，兩式相減得，即.福建省南平市2025屆高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，由得，，即，則，故.故選：B2已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故選：B3.已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由題可得，所以的離心率為.故選：D4.已知平行六面體的體積為4，若將其截去三棱錐，則剩余幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，四邊形的面積為，顯然有，所以，因此剩余部分幾何體的體積為，故選：C5.若，則（）A.0或 B.或1 C.1 D.0【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以或，因?yàn)?，，所以即，或（舍去），所?故選：D6.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且?duì)任意的，都有成立，所以，所以.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)、三個(gè)對(duì)稱中心，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)、三個(gè)對(duì)稱中心，故，解得.故選：A8.設(shè)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，則方程解的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)和的圖象如圖所示：由圖可知函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.方程解的個(gè)數(shù)為5.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為2，由這組數(shù)據(jù)得到乙組數(shù)據(jù)，其中，則（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B.乙組數(shù)據(jù)的方差為11C.數(shù)據(jù)的方差小于2D.甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍【答案】AC【解析】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，數(shù)據(jù)，對(duì)于A，由題，，，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由題乙組數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，所以數(shù)據(jù)的方差為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋约捉M數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第二大數(shù)據(jù)設(shè)為，則乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是，甲組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)的2倍，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)則下列說法中正確的是（）A.為奇函數(shù)B.任意，存在，使得恒成立C.若方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則D.若方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，即，所以不為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由對(duì)恒成立，得，可得對(duì)恒成立，故，當(dāng)，由對(duì)恒成立，得，所以對(duì)恒成立，故，所以對(duì)任意，存在，使得恒成立，故B正確；對(duì)于C，若方程恰有兩個(gè)不等正實(shí)根，則有兩個(gè)不等的正根，所以有兩個(gè)不等的正根，則，解得時(shí)有兩不等的實(shí)根，且，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以只有一個(gè)根，故時(shí)，恰有兩個(gè)不等的正根時(shí)，有三個(gè)不等的實(shí)根，由C可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的正根，不妔設(shè)此兩正根為，且，所以，若第三個(gè)根為，由題意可得，所以，解得，所以，故D正確；故選：BCD.11.已知向量滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，與的夾角為 B.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為C.的最大值為 D.的最小值為4【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，可得，又，所以，故A錯(cuò)誤；由，可得，又，所以，所以，所以在上的投影向量為，故B正確；設(shè)的夾角為，所以，，所以，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列中，，，則_______.【答案】7【解析】由題意，．故答案為：7．13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，則______.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，聯(lián)立得：，則，所以.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________，此時(shí)___________.【答案】①.；②..【解析】由題可以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，為異面直線和的公垂線段，所以此時(shí)且，故，所以取得最小值時(shí)，，，所以的最小值為，此時(shí).故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：為等邊三角形；（2）點(diǎn)分別在直線兩側(cè)，且，求四邊形的面積.（1）證明：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，所以為等邊三角形；?）解：由余弦定理得，所以，所以四邊形的面積為.16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.（1）解：由題函數(shù)定義域?yàn)镽，，令，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1），所以在上恒成立，所以函數(shù)即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即.17.建甌挑幡是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，常見動(dòng)作招式有手舞東風(fēng)轉(zhuǎn)、肩扛南天松、肘擎中軍令、牙咬北海塔.現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行挑幡比賽，規(guī)則如下：①比賽至多4局，每局比賽獲勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局；②若一方先多得2分，則贏得比賽，比賽終止；③若4局后一方未多得2分，比賽也終止.假設(shè)每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求比賽局?jǐn)?shù)為的概率；（2）已知比賽終止時(shí)甲隊(duì)得2分，求甲隊(duì)贏得比賽的概率；（3）將（1）中作為某區(qū)挑幡愛好者完成常見動(dòng)作招式的概率的值.現(xiàn)從該區(qū)挑幡愛好者中隨機(jī)調(diào)查20人，設(shè)其中能完成動(dòng)作招式的人數(shù)為，求使得最大的的值.解：（1）依題意比賽局?jǐn)?shù)為或，又比賽局?jǐn)?shù)為的概率，比賽局?jǐn)?shù)為的概率，（2）記比賽終止時(shí)甲隊(duì)得2分為事件，甲隊(duì)贏得比賽為事件，則，，所以.（3）依題意，所以，且，令，即，即，解得，又，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為2.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作斜率之積為1的兩條不同的直線，若交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).①證明：為的中點(diǎn)；②求面積的最大值.解：（1）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為，不妨設(shè)焦點(diǎn)為，將代入橢圓方程，可得，即，那么弦長(zhǎng)為.把代入，可得.所以橢圓的方程為.（2）①根據(jù)條件知道，兩直線斜率存在且不為.設(shè)直線方程，，與橢圓聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程.根據(jù)韋達(dá)定理，可得，.因?yàn)槭茿B中點(diǎn)，所以，，即.同理可得CD中點(diǎn).聯(lián)立直線MT與直線CD方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)