高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2025屆高三下學期5月教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，且向量與的夾角為，則（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因為向量，，且向量與的夾角為，所以，化簡所以，則.故選：B.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，由，所以，所以，所以，所以.故選：C3.甲、乙、丙三家公司生產同一種產品．三家公司的市場占有率如圖所示，且甲、乙、丙三家公司產品的次品率分別為、和．若市場上該產品的次品率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設從出廠產品中任取一件，它是次品為事件，則，解得.故選：C4.若函數的圖像向左平移后得到一個奇函數的圖像，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函數的圖像向左平移后得，為奇函數，所以，又，所以，故選：A．5.已知正四棱臺的上，下底面邊長分別為和．若該棱臺的體積為，則該棱臺的外接球表面積為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱臺中，，，體積為，高為，故，則，，連接、相交于點，、相交于點，設外接球的球心為，若在臺體外，設到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點重合，若在臺體內，到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點重合，綜上所述，，故，所以.故選：C.6.已知，當時，有，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象：對于A，不能同時成立，因為時，函數單調遞減，得不到，故A錯誤；對于B，如圖，當時，有，則可能小于零，也可能大于零，故B錯誤；對于C，如圖，當時，，故C錯誤；對于D，由圖象可知，，所以，又，所以，所以，故D正確故選：D.7.已知橢圓的左，右焦點分別為，，為坐標原點．若橢圓上的點滿足，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，過點作，垂足為，由，知，所以，而，所以，則，由橢圓定義知，，即，所以橢圓的離心率為.故選：A8.已知函數（且），是自然對數的底數，函數的導函數為．實數，滿足，，當時，實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分別為的極大值點和極小值點，所以在上單調遞減，在上單調遞增.，，則當時，，若且時，，與矛盾，不符合題意，故.令，該方程有兩個不同的解，則函數圖象在R上有兩個不同的交點，作出函數圖象，如圖，設過原點且與曲線相切的直線為，切點為，則，所以，解得，此時切線的斜率為，要使函數圖象在R上有兩個不同的交點，需，由，解得．故選：B．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，則（）A.復數的模長為2B.復數在復平面內對應的點在第二象限C.復數是方程在復數集內的解D.若復數滿足，則【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，復數在復平面內對應的點坐標為，在第四象限，故B錯誤；對于C，將代入方程，得，故C正確；對于D，設復數對應向量為，復數對應的向量為，由得，，對應點在圓心為半徑為1的圓上，所以，即，故D正確；故選：ACD．10.已知數列的前項和為，則（）A.若是等差數列，則，，成等差數列B.若是等比數列，則，，成等比數列C.若，且，則存在數列，使得D.若，且，則存在，使得【答案】AC【解析】對于選項A：是等差數列，設其公差為d，因為，，則所以，，，成等差數列，故A正確；對于選項B：例如，則，可得，，不成等比數列，故B錯誤；對于選項C：例如周期數列，滿足，且，此時，故C正確；對于選項D：因為，且，所以該數列的項奇偶交替，且為整數，而前項包含個奇數，個偶數，這些項的和為奇數，而為偶數，矛盾，故D錯誤；故選：AC11.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，左、右頂點分別為，．為雙曲線在第一象限上的點，設，的斜率分別為，，且．過點作雙曲線的切線與雙曲線的漸近線交于，兩點，則（）A.的值隨著的增大而減小 B.雙曲線的離心率為C. D.【答案】ABD【解析】對于A，雙曲線的左頂點為，右頂點為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然，均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即，隨著的增大分別減小與增大且均為正數，的值隨著的增大而減小，故A正確；對于B，由，則，因為左頂點為，右頂點為，即，所以，，故B正確；對于C，顯然，且，，故C錯誤；對于D，可設雙曲線，在點處的切線方程為，聯立可得，聯立可得，點為線段的中點，即，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，各二項式系數的和與含的項系數之比為，則的值為______．【答案】【解析】由題可知各二項式系數的和為，由的展開式中的，根據它們的比為可得：，故答案為：13.在中，，為邊上的點，且滿足，，則______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，則．故答案為：14.棱長均為的四面體的頂點分別在四個互相平行的平面上．若相鄰兩平行平面的距離都為，則的值為______．【答案】【解析】在正方體中作出正四面體，作其中過，，三個頂點的互相平行的平面，如圖:由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面與平面間的距離，其中，，，為正方體棱上的中點，過作于，則即為兩平行平面間的距離，因為，所以，所以，即相鄰平行平面間的距離為.故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某項科研活動共進行了5次試驗，其數據如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根據表中的數據，計算相關系數；（2）求特征量關于的線性回歸方程，并預測當特征量為12時特征量的值．參考公式：相關系數，．參考數據：，，．解：（1）由題意得，，，，，相關系數．（2）由（1）知，，，所求的線性回歸方程是．當特征量為12時，可預測特征量．16.已知數列的前項和為，且滿足，，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．解：（1）由，，得，又，數列是首項為，公差的等差數列，，即，當時，，且也滿足，，則數列的通項公式為；（2）由（1）得，.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點．（1）設，且，，，四點共面，求實數的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值為，求三棱錐的體積．解：（1）方法一：坐標法（利用共面向量基本定理）在平面內作，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，又，分別為，的中點，，，，，，共面，存在實數，，使得，即，，解得；方法二：坐標法（利用法向量）在平面內作，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，，又，分別為，的中點，，，設平面的法向量為，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：幾何法：延長交于，連接，，分別為，的中點，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四邊形是平行四邊形，，，過作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，設平面的法向量為，，解得，令得，，設平面和平面所成的角為，，整理得，，，即；方法一：利用向量法求三棱錐的高，平面的法向量為，，設點到平面的距離為，，平面，又平面，，又，，、平面，平面，又，分別為，的中點，，，平面，又平面，，又，，，則，所以；方法二：幾何法：，分別為，的中點，，平面，平面，平面，，，平面，，.18.已知曲線，點為曲線的焦點，點為曲線上一點，且．（1）求曲線的方程；（2）設曲線，若過點的直線與曲線，從左到右依次相交于點，，，．（i）證明：為定值；（ii）若直線，（為坐標原點）分別交直線于點，，求的最小值．解：（1）因，設，則，即化簡得：，解得或（舍），拋物線的方程為．（2）（i）由得，圓心，半徑為1，拋物線的焦點與的圓心重合，即為，顯然，直線斜率存在，設直線方程為，設點、，聯立方程，消去并整理得，，由韋達定理得，．由拋物線的定義可知，，，．，即為定值1；（ii）由（i）可知：．，則直線的方程為，由可得，同理直線的方程為，由可得，，設，，，當，即，即時，的最小值是．19.已知函數，，，…，．（1）若，，，…，，求的值；（2）若，集合，集合，為的子集，它們各有個元素，且．設，，，，…，，且，，證明：．（1）解：，當時，，當時，在上單調遞減，在上單調遞增．的最小值為，又設，，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，，又，，當且僅當時取等號，又，則，，故．（2）證明：，有一個零點，記，而，，則．又，且，故在上還有一個零點，記為，由的單調性知，恰有兩個零點，，且，而，為的子集，它們各有個元素，且，則至少有個元素．而的元素只可能在，，，，…，，之中，這表明它們兩兩不等，且，所以包含個正數，個負數．而，為的子集，它們各有個元素，且，則，．設包含個負數，個正數，則包含個負數，個正數，，，，.，，從而．，．設，則，設，則，單調遞增，，又，，所以．由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增．，即，，.福建省龍巖市2025屆高三下學期5月教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，且向量與的夾角為，則（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因為向量，，且向量與的夾角為，所以，化簡所以，則.故選：B.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，由，所以，所以，所以，所以.故選：C3.甲、乙、丙三家公司生產同一種產品．三家公司的市場占有率如圖所示，且甲、乙、丙三家公司產品的次品率分別為、和．若市場上該產品的次品率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設從出廠產品中任取一件，它是次品為事件，則，解得.故選：C4.若函數的圖像向左平移后得到一個奇函數的圖像，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函數的圖像向左平移后得，為奇函數，所以，又，所以，故選：A．5.已知正四棱臺的上，下底面邊長分別為和．若該棱臺的體積為，則該棱臺的外接球表面積為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱臺中，，，體積為，高為，故，則，，連接、相交于點，、相交于點，設外接球的球心為，若在臺體外，設到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點重合，若在臺體內，到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點重合，綜上所述，，故，所以.故選：C.6.已知，當時，有，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象：對于A，不能同時成立，因為時，函數單調遞減，得不到，故A錯誤；對于B，如圖，當時，有，則可能小于零，也可能大于零，故B錯誤；對于C，如圖，當時，，故C錯誤；對于D，由圖象可知，，所以，又，所以，所以，故D正確故選：D.7.已知橢圓的左，右焦點分別為，，為坐標原點．若橢圓上的點滿足，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，過點作，垂足為，由，知，所以，而，所以，則，由橢圓定義知，，即，所以橢圓的離心率為.故選：A8.已知函數（且），是自然對數的底數，函數的導函數為．實數，滿足，，當時，實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分別為的極大值點和極小值點，所以在上單調遞減，在上單調遞增.，，則當時，，若且時，，與矛盾，不符合題意，故.令，該方程有兩個不同的解，則函數圖象在R上有兩個不同的交點，作出函數圖象，如圖，設過原點且與曲線相切的直線為，切點為，則，所以，解得，此時切線的斜率為，要使函數圖象在R上有兩個不同的交點，需，由，解得．故選：B．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，則（）A.復數的模長為2B.復數在復平面內對應的點在第二象限C.復數是方程在復數集內的解D.若復數滿足，則【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，復數在復平面內對應的點坐標為，在第四象限，故B錯誤；對于C，將代入方程，得，故C正確；對于D，設復數對應向量為，復數對應的向量為，由得，，對應點在圓心為半徑為1的圓上，所以，即，故D正確；故選：ACD．10.已知數列的前項和為，則（）A.若是等差數列，則，，成等差數列B.若是等比數列，則，，成等比數列C.若，且，則存在數列，使得D.若，且，則存在，使得【答案】AC【解析】對于選項A：是等差數列，設其公差為d，因為，，則所以，，，成等差數列，故A正確；對于選項B：例如，則，可得，，不成等比數列，故B錯誤；對于選項C：例如周期數列，滿足，且，此時，故C正確；對于選項D：因為，且，所以該數列的項奇偶交替，且為整數，而前項包含個奇數，個偶數，這些項的和為奇數，而為偶數，矛盾，故D錯誤；故選：AC11.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，左、右頂點分別為，．為雙曲線在第一象限上的點，設，的斜率分別為，，且．過點作雙曲線的切線與雙曲線的漸近線交于，兩點，則（）A.的值隨著的增大而減小 B.雙曲線的離心率為C. D.【答案】ABD【解析】對于A，雙曲線的左頂點為，右頂點為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然，均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即，隨著的增大分別減小與增大且均為正數，的值隨著的增大而減小，故A正確；對于B，由，則，因為左頂點為，右頂點為，即，所以，，故B正確；對于C，顯然，且，，故C錯誤；對于D，可設雙曲線，在點處的切線方程為，聯立可得，聯立可得，點為線段的中點，即，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，各二項式系數的和與含的項系數之比為，則的值為______．【答案】【解析】由題可知各二項式系數的和為，由的展開式中的，根據它們的比為可得：，故答案為：13.在中，，為邊上的點，且滿足，，則______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，則．故答案為：14.棱長均為的四面體的頂點分別在四個互相平行的平面上．若相鄰兩平行平面的距離都為，則的值為______．【答案】【解析】在正方體中作出正四面體，作其中過，，三個頂點的互相平行的平面，如圖:由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面與平面間的距離，其中，，，為正方體棱上的中點，過作于，則即為兩平行平面間的距離，因為，所以，所以，即相鄰平行平面間的距離為.故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某項科研活動共進行了5次試驗，其數據如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根據表中的數據，計算相關系數；（2）求特征量關于的線性回歸方程，并預測當特征量為12時特征量的值．參考公式：相關系數，．參考數據：，，．解：（1）由題意得，，，，，相關系數．（2）由（1）知，，，所求的線性回歸方程是．當特征量為12時，可預測特征量．16.已知數列的前項和為，且滿足，，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．解：（1）由，，得，又，數列是首項為，公差的等差數列，，即，當時，，且也滿足，，則數列的通項公式為；（2）由（1）得，.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點．（1）設，且，，，四點共面，求實數的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值為，求三棱錐的體積．解：（1）方法一：坐標法（利用共面向量基本定理）在平面內作，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，又，分別為，的中點，，，，，，共面，存在實數，，使得，即，，解得；方法二：坐標法（利用法向量）在平面內作，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，，又，分別為，的中點，，，設平面的法向量為，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：幾何法：延長交于，連接，，分別為，的中點，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四邊形是平行四邊形，，，過作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，設平面的法向量為，，解得，令得，，設平面和平面所成的角為，，整理得，，