高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜荊荊隨恩2024屆高三5月聯考（二模）數學試題一、單項選擇題1.已知復數，則（）A.1 B. C. D.i【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A2.設l，m，n是不同的直線，m，n在平面內，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若且，當時，直線可以與平面平行，此時，不能推出，若，m，n是平面內兩條不同的直線，則，，所以“且”是“”的必要不充分的條件.故選：B3.有一組樣本數據：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數據的上四分位數是（）A.11 B.13 C.16 D.17【答案】D【解析】將樣本數據由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因為，所以這組數據的上四分位數為.故選：D4.函數，當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，而，等號成立當且僅當，此時.故選：B.5.已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若在上單調遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當時，所以在上有定義，再由知在上單調遞增，所以在上單調遞增.故選：C.6.已知非零向量，的夾角為，，，則的最小值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因為，的夾角為，，所以，.故的最小值為1.故選：C.7.今天的課外作業是從6道應用題中任選2題詳細解答，則甲、乙兩位同學的作業中恰有一題相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，所有的基本事件個數為，“恰有一題相同”包含的基本事件數為，所以.故選：D8.已知，，與y軸平行的直線l與和的圖象分別交于A，B兩點，則的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由題意設，，則，令，下證：，設，，，當時，，為減函數，當時，，為增函數，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，記，則，所以在上為增函數，又，，故存，使得，所以，即最小值為1.故選：A.二、多選題9.已知，則下列不等式正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設，則，在單調遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；則在時取得最小值，即，C正確；設，則，所以在上是增函數，所以由得，即，D正確.故選：ACD10.無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BC【解析】，時，等比數列單調遞減，故只有最大值，沒有最小值；，時，等比數列為擺動數列，此時為大值，為最小值；，時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，所以等比數列有最大值，也有最小值；，時，因為，所以無最大值，奇數項為負無最小值，偶數項正無最大值.故選：BC11.正方體中，，P在正方形內（包括邊界），下列結論正確有（）A.若，則P點軌跡的長度為B.三棱錐外接球體積的最小值是C.若Q為正方形的中心，則周長的最小值為D.【答案】BCD【解析】因為，且，，所以，取，的中點E，F，則，所以P點軌跡為圓弧EF，因為，所以，A不正確；由球的性質知，三棱錐外接球的球心在過外接圓圓心的垂線上，的外接圓的圓心為的中點，且半徑為，當外接球半徑最小時，的外接圓是球的大圓，所以球半徑R最小值為，外接球體積最小值是，B正確；設Q關于平面的對稱點為，則，又，所以的周長，C正確；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，，所以，，，所以.D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知，則________．【答案】21【解析】對兩邊求導可得：，令，可得，即，又，令，可得，所以故答案為：.13.已知，且，，，則方程的解的組數為______.【答案】15【解析】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有種方法，即方程的解的組數為15.故答案為：1514.已知函數（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是________．【答案】【解析】函數（，）的周期為，又，所以，所以，即，因為，所以，解得，所以，因為，所以，要使在內恰有10個零點，則.所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題15.在五面體中，四邊形為等腰梯形，，，，．（1）求證、、三線交于一點．（2）若，，，求平面與平面所成角的大小．（1）證明：因為四邊形是等腰梯形，，所以延長，必相交于一點，設，因為，平面，所以平面同理可得：平面，又因為平面平面，所以，即，，交于一點；（2）解：由，，，平面，所以平面，又平面，，同理可得，所以、、兩兩垂直，以B為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為是等腰梯形，所以是等腰三角形，所以，因為，所以，因為，所以，過作于，可得，，所以，所以，，，，，，，，設平面的一個法向量為，，取，得，，所以面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成角為．16.已知數列前n項和為，，，，設（1）是否存在常數k，使數列為等比數列，若存在，求k值，若不存在，說明理由．（2）求的表達式，并證明．解：（1）當時，所以，整理得（，），法一：假設存在常數k使數列為等比數列，設，則，即，令，解得或，故當時，，所以為首項為2，公比為3的等比數列，當時，，所以為首項為1，公比為2的等比數列．（解法二）：假設存在常數k使數列為等比數列，則有，由已知得，，所以，，，所以，解得或，當時，，當時，，結論同解法一；（2）法一：由（1）知，解得，所以，則，又也滿足上式，所以，因為，，所以，所以，所以，故證畢.法二：同法一得到，由二項式定理得，當時；，即，所以，所以時，當時，，所以.17.數學多選題的得分規則是：每小題的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對按比例得分，有選錯得0分，小明根據大量的多選題統計得到：多選題正確的選項共有四個的概率為0，正確選項共有兩個的概率為p（）（1）現有某個多選題，小明完全不會，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個選項中任選一個選項；策略二：在A、B、C、D四個選項中任選兩個選項，求小明分別采取這兩個策略時小明得分的期望；（2）若有一個多選題，小明發現A正確，B、C、D選項他不會判斷，現在他也有兩個策略，策略一：．選A和B、C、D中的任一個，策略二：選A和B、C、D中的任意2個，在的條件下，判斷小明該選擇哪個策略.解：（1）設小明分別采用策略一和策略二的得分分別為，，，；;∴,;；∴所以小明分別采取策略一和策略二的得分的期望分別為和（2）設小明選擇策略一和策略二的得分分別為，；;；;,；∵∴小明應選擇策略一18.設函數，（1）討論單調性．（2）若函數存在極值，對任意的，存在正實數，使得（ⅰ）證明不等式．（ⅱ）判斷并證明與的大小．（1）解：，，若，則，在上單調遞增，若，由得，當時；當時，，∴在單調遞增，在單調遞減.（2）（ⅰ）證明：∵存在極值，由（1）知，，由題設得，∵，設，要證明即證明，設，（），則，∴在上單調遞增，，∴，即得證，（ⅱ）解：，，∴，∵在上是減函數，∴.19.已知橢圓的離心率為，，是C的左、右焦點，直線是其右準線，P是l上的一動點，Q點在C上.（1）求C的方程.（2）若直線OQ、PQ的斜率之積為，平面內是否存在定點T滿足恒成立.若存在求出T的坐標，若不存在說明理由.（3）若，過P的動直線與C交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于M，N的點H，滿足，證明H恒在一條直線上并求出這條直線的方程.解：（1）由題意，且，解得，，所以，，所以橢圓C的方程為；（2）設，，則，因為直線OQ、PQ的斜率之積為，所以，所以，根據對稱性可知定點T存在時一定在x軸上，設，則，，因為恒成立，所以恒成立，所以恒成立，因為，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，即存在定點，滿足恒成立；（3）設，由可設，則，所以，所以①，②，③，④，①×②得，③×④得，因為，，所以相減得，即，所以，即，所以H恒在直線上.湖北省宜荊荊隨恩2024屆高三5月聯考（二模）數學試題一、單項選擇題1.已知復數，則（）A.1 B. C. D.i【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A2.設l，m，n是不同的直線，m，n在平面內，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若且，當時，直線可以與平面平行，此時，不能推出，若，m，n是平面內兩條不同的直線，則，，所以“且”是“”的必要不充分的條件.故選：B3.有一組樣本數據：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數據的上四分位數是（）A.11 B.13 C.16 D.17【答案】D【解析】將樣本數據由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因為，所以這組數據的上四分位數為.故選：D4.函數，當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，而，等號成立當且僅當，此時.故選：B.5.已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若在上單調遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當時，所以在上有定義，再由知在上單調遞增，所以在上單調遞增.故選：C.6.已知非零向量，的夾角為，，，則的最小值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因為，的夾角為，，所以，.故的最小值為1.故選：C.7.今天的課外作業是從6道應用題中任選2題詳細解答，則甲、乙兩位同學的作業中恰有一題相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，所有的基本事件個數為，“恰有一題相同”包含的基本事件數為，所以.故選：D8.已知，，與y軸平行的直線l與和的圖象分別交于A，B兩點，則的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由題意設，，則，令，下證：，設，，，當時，，為減函數，當時，，為增函數，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，記，則，所以在上為增函數，又，，故存，使得，所以，即最小值為1.故選：A.二、多選題9.已知，則下列不等式正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設，則，在單調遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；則在時取得最小值，即，C正確；設，則，所以在上是增函數，所以由得，即，D正確.故選：ACD10.無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BC【解析】，時，等比數列單調遞減，故只有最大值，沒有最小值；，時，等比數列為擺動數列，此時為大值，為最小值；，時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，所以等比數列有最大值，也有最小值；，時，因為，所以無最大值，奇數項為負無最小值，偶數項正無最大值.故選：BC11.正方體中，，P在正方形內（包括邊界），下列結論正確有（）A.若，則P點軌跡的長度為B.三棱錐外接球體積的最小值是C.若Q為正方形的中心，則周長的最小值為D.【答案】BCD【解析】因為，且，，所以，取，的中點E，F，則，所以P點軌跡為圓弧EF，因為，所以，A不正確；由球的性質知，三棱錐外接球的球心在過外接圓圓心的垂線上，的外接圓的圓心為的中點，且半徑為，當外接球半徑最小時，的外接圓是球的大圓，所以球半徑R最小值為，外接球體積最小值是，B正確；設Q關于平面的對稱點為，則，又，所以的周長，C正確；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，，所以，，，所以.D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知，則________．【答案】21【解析】對兩邊求導可得：，令，可得，即，又，令，可得，所以故答案為：.13.已知，且，，，則方程的解的組數為______.【答案】15【解析】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有種方法，即方程的解的組數為15.故答案為：1514.已知函數（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是________．【答案】【解析】函數（，）的周期為，又，所以，所以，即，因為，所以，解得，所以，因為，所以，要使在內恰有10個零點，則.所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題15.在五面體中，四邊形為等腰梯形，，，，．（1）求證、、三線交于一點．（2）若，，，求平面與平面所成角的大小．（1）證明：因為四邊形是等腰梯形，，所以延長，必相交于一點，設，因為，平面，所以平面同理可得：平面，又因為平面平面，所以，即，，交于一點；（2）解：由，，，平面，所以平面，又平面，，同理可得，所以、、兩兩垂直，以B為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為是等腰梯形，所以是等腰三角形，所以，因為，所以，因為，所以，過作于，可得，，所以，所以，，，，，，，，設平面的一個法向量為，，取，得，，所以面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成角為．16.已知數列前n項和為，，，，設（1）是否存在常數k，使數列為等比數列，若存在，求k值，若不存在，說明理由．（2）求的表達式，并證明．解：（1）當時，所以，整理得（，），法一：假設存在常數k使數列為等比數列，設，則，即，令，解得或，故當時，，所以為首項為2，公比為3的等比數列，當時，，所以為首項為1，公比為2的等比數列．（解法二）：假設存在常數k使數列為等比數列，則有，由已知得，，所以，，，所以，解得或，當時，，當時，，結論同解法一；（2）法一：由（1）知，解得，所以，則，又也滿足上式，所以，因為，，所以，所以，所以，故證畢.法二：同法一得到，由二項式定理得，當時；，即，所以，所以時，當時，，所以.17.數學多選題的得分規則是：每小題的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對按比例得分，有選錯得0分，小明根據大量的多選題統計得到：多選題正確的選項共有四個的概率為0，正確選項共有兩個的概率為p（）（1）現有某個多選題，小明完全不會，他有兩種策略，策略一：在A、B、C、D四個選項中任選一個選項；策略二：在A、B、C、D四個選項中任選兩個選項，求小明分別采取這兩個策略時小明得分的期望；（2）若有一個多選題，小明發現A正確，B、C、D選項他不會判斷，現在他也有兩個策略，策略一：．選A和B