第1課時(shí)

三角形的內(nèi)角和13.3.1三角形的內(nèi)角第十三章

三角形1.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.(重、難點(diǎn))2.三角形內(nèi)角和定理及其運(yùn)用.(重點(diǎn))3.學(xué)會(huì)解決與求角度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.4.體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理.泰勒斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派測(cè)量推測(cè)出內(nèi)角和為180°，后通過(guò)過(guò)頂點(diǎn)作平行線(xiàn)的方法完成了證明.歐幾里得更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐ㄟ^(guò)一組同位角和一組內(nèi)錯(cuò)角對(duì)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行了證明.三角形內(nèi)角和定理證明發(fā)展簡(jiǎn)軸公元前6世紀(jì)約公元前560-480年約公元前330-270年

我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.

如圖，我們是通過(guò)度量或剪拼得出這一結(jié)論的.48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°度量法剪拼法思考：通過(guò)剪拼法拼成了一個(gè)什么角？如何用推理的方法去驗(yàn)證呢？探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明探究：通過(guò)活動(dòng)一的啟發(fā)，我們?cè)诩埳先我猱?huà)一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起，就得到一個(gè)平角.從這個(gè)操作過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？BBCCA問(wèn)題1：想一想，直線(xiàn)

l

與△ABC

的邊BC

有什么關(guān)系？45BBCCA231探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明依據(jù)平角定義，得到180°證明思路:過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l，使得l∥BC利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，將∠B和∠C進(jìn)行轉(zhuǎn)移證明：過(guò)點(diǎn)

A作直線(xiàn)

l，使

l∥BC.∵l∥BC，∴∠2

=∠4(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).同理∠3

=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∵∠1+∠4+∠5

=180°(平角的定義).∴∠1

+∠2

+∠3

=180°(等量代換).23451求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于

180°.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.幾何語(yǔ)言：三角形內(nèi)角和定理CBA探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明問(wèn)題2：觀察下圖拼圖方法，模仿前面的證明過(guò)程，還可以怎樣證明三角形內(nèi)角和定理？證法2：延長(zhǎng)

BC到

D，過(guò)點(diǎn)

C作

CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B=∠2(兩直線(xiàn)平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3：過(guò)

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線(xiàn)平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角相補(bǔ)).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明依據(jù)平角定義，得到180°添加平行線(xiàn)（輔助線(xiàn)）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角思考

以上多種方法的證明思路是什么？CAB12lACB12345lP6m45231探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？ABCF1423DEABC思路②有其他添加輔助線(xiàn)的方案嗎？l用下列方法證明三角形內(nèi)角和定理.依據(jù)平角定義，得到180°添加平行線(xiàn)（輔助線(xiàn)）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明ABCl21ABCF1423DE證明：過(guò)點(diǎn)A作線(xiàn)段

l，使

l∥BC.∵

l∥BC∴∠2

=∠C，∠1+∠2+∠B

=180°.∴∠1+∠C+∠B

=180°.證明:過(guò)點(diǎn)B任意作一條直線(xiàn)BD，分別過(guò)點(diǎn)A、C作B的平行線(xiàn)AE、CF，

則

CF∥AE∥BD.∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠DBC+∠BCF=180°，即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4=180°.∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明依據(jù)平角定義，得到180°添加平行線(xiàn)（輔助線(xiàn)）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．輔助線(xiàn)：為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線(xiàn)叫作輔助線(xiàn).在平面幾何里，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn).思路轉(zhuǎn)化:思路①思路②探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明【歸納總結(jié)】例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求∠ADB的度數(shù).∠BAC=40°∠DAB=20°∠ADB=85°在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-

75°-

20°=85°.解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分線(xiàn)，得分析：∠BAD=∠BAC=20°.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明例2

如圖，C島在

A島的北偏東

50°方向，B島在

A島的北偏東

80°方向，C島在

B島的北偏西

40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？北AD北CB.E..分析：求

∠ACB，需先求

∠CAB、∠CBA.探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明解：由題意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°

-

50°=30°.由

AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°

-∠BAD=180°-

80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-

∠ABC-∠CAB

=180°-60°-30°

=90°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B

兩島的視角∠ACB是90°.北AD北CB.E..探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明你還能給出其他解法嗎？解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE.∠1＝∠3，∠2＝∠4，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代換）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°..北AD北CB.E.F1234探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明【練一練】1.如圖，在

△ABC

中，CD

平分∠ACB

交

AB

于點(diǎn)

D，過(guò)點(diǎn)

D

作

DE∥BC

交

AC

于點(diǎn)

E.若∠A

=

54°，∠B

=

48°，則

∠CDE

的大小為

(

)A.44°

B.40°

C.39°

D.38C∠A=54°，∠B

=48°∠ACB

=78°

∠DCB=39°∠CDE

=∠DCB=39°

分析：

DE∥BC探究點(diǎn)：

三角形內(nèi)角和定理的證明1.[串題進(jìn)階]在△

ABC

中，(1)已知∠

A

＝87°，∠

B

＝25°，則∠

C

的度數(shù)為

.70°(2)∠

C

＝30°，∠

A

與∠

B

的度數(shù)比是1∶2，則∠

A

的度數(shù)是

；50°(3)已知∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C

的度數(shù)；解：(3)∵∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，∴∠A＝∠B＋20°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋2∠B＝180°.∴∠B＝40°.∴∠A＝60°，∠C＝80°.(4)[補(bǔ)圖作答]若

AD

是△ABC的角平分線(xiàn)，已知∠BAC＝68°，∠B＝36°，求∠ADB

的度數(shù).(4)∵AD

是△ABC

的角平分線(xiàn)，

∵∠B＝36°，∴∠ADB＝180°－34°－36°＝110°.2.小明想探究三角形內(nèi)角和的度數(shù)，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你幫他把探究過(guò)程補(bǔ)充完整.在△ABC

邊

BC

上任取一點(diǎn)

E，作

DE∥AC

交

AB于點(diǎn)D，作EF∥AB

交

AC

于點(diǎn)

F.∵DE∥AC，AB∥EF，∴∠1＝

，∠3＝

.∵AB∥EF，∴∠4＝

().∠C∠B∠A兩直線(xiàn)平行，同位角相等∵DE∥AC，∴∠4＝

(