蘇教版高一下冊數學必修第二冊-13.2.3第2課時直線與平面垂直－同步練習[A基礎達標]1．在空間中，下列命題正確的是()①平行于同一條直線的兩條直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③平行于同一個平面的兩條直線平行；④垂直于同一個平面的兩條直線平行．A．①③④ B．①④C．① D．①②③④2．過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的()A．垂心 B．外心C．內心 D．重心3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于()A．AC B．B1D1C．A1D D．A1A5．如圖，下列4個正方體中，點A，B，M，N，Q分別為正方體的頂點或所在棱的中點，則在這4個正方體中，滿足直線AB⊥平面MNQ的個數為()A．1 B．2C．3 D．46.如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________．7.如圖所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在圖中與AC垂直的直線有________條．8.如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC邊上存在點Q，使得PQ⊥QD，則a的最小值為________．9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M為AC的中點．(1)求證：PM⊥平面ABC；(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值．10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.(1)求證：CD⊥PD；(2)求證：BD⊥平面PAB；(3)在棱PD上是否存在點M，使CM∥平面PAB，若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．[B能力提升]11．(多選)已知α是一個平面，m，n是兩條直線，有下列四個結論，正確的是()A．如果m∥α，m∥n，那么n∥αB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．若直線m垂直于平面α內的無數條直線，則m⊥αD．如果m⊥α，m∥n，那么n⊥α12．(多選)如圖所示，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C為圓上異于點A，B的任意一點，則下列關系中正確的是()A．PA⊥BC B．AC⊥PBC．BC⊥平面PAC D．PC⊥PB13．(多選)如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F分別是G1G2，G2G3的中點，現在沿著SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點記為G.給出下列關系，其中成立的為()A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFGC．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG[C拓展探究]14．劉徽注《九章算術?商功》“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣．”如圖一解釋了由一個長方體得到“塹堵”“陽馬”“鱉臑”的過程．塹堵是底面為直角三角形的直棱柱；陽馬是一條側棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉臑是四個面都為直角三角形的四面體．在如圖二所示由正方體得到的塹堵ABC-A1B1C1中，當點P在下列三個位置：A1A中點、A1B中點、A1C中點時，分別形成的四面體P-ABC中，鱉臑有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個15．如圖，在三棱錐P-ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°.(1)求證：BC⊥PC；(2)若PA＝AB＝2，直線PC與平面ABC所成的角的正切值為eq\r(2)，求直線AB與平面PBC所成的角的正弦值．參考答案[A基礎達標]1．答案：B2．解析：選B．因為PO⊥α，PA＝PB＝PC，可由射影定理得OA＝OB＝OC.即點O是△ABC的外心．3．解析：選C．如圖，取BC的中點E，連接AE，ED，AD，則AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角．設各棱長為a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a．所以tan∠ADE＝eq\r(3)，所以∠ADE＝60°.4．解析：選B．如圖，直線CE垂直于直線B1D1.因為AC1為正方體，所以A1B1C1D1為正方形，連接B1D1，又因為E為A1C1的中點，所以E∈B1D1.所以B1D1⊥C1E，CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，又CC1∩C1E＝C1，所以B1D1⊥平面CC1E，而CE?平面CC1E，所以直線CE垂直于直線B1D1；故選B．5．解析：選B．對于題圖1，如圖，連接BC.因為BC⊥MN，AC⊥MN，BC，AC?平面ABC，BC∩AC＝C，所以MN⊥平面ABC，從而MN⊥AB.同理可得NQ⊥AB.因為MN，NQ?平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.對于題圖2，因為NQ⊥AB，MN⊥AB，MN，NQ?平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.對于題圖3，因為AB與MQ不垂直，所以AB與平面MNQ不垂直．對于題圖4，因為AB與NQ不垂直，所以AB與平面MNQ不垂直．故滿足直線AB⊥平面MNQ的個數為2.故選B．6.解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案：47.解析：因為PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD內的4條直線PB，PD，PO，BD都與AC垂直，所以圖中共有4條直線與AC垂直．答案：48.解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC邊上存在一點Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，則有QD⊥平面PAQ，從而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，當AD＝a<2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q，使PQ⊥DQ.所以當a≥2時，才存在點Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值為2.答案：29．解：(1)證明：因為PA＝PC，M為AC的中點，所以PM⊥AC，①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，所以AM＝MC＝MB＝eq\f(1,2)AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5.PM＝eq\r(PC2－MC2)＝eq\r(132－52)＝12.所以PB2＝MB2＋PM2，所以PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)因為PM⊥平面ABC，所以MB為BP在平面ABC內的射影，所以∠PBM為BP與底面ABC所成的角．在Rt△PMB中，tan∠PBM＝eq\f(PM,MB)＝eq\f(12,5).10.解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PA.因為CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因為PD?平面PAD，所以CD⊥PD.(2)證明：因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA.在直角梯形ABCD中，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，由題意可得AB＝BD＝eq\r(2)BC，所以AD2＝AB2＋BD2，所以BD⊥AB.因為PA∩AB＝A，所以BD⊥平面PAB.(3)在棱PD上存在點M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中點．證明如下：取PA的中點N，連接MN，BN，因為M是PD的中點，所以MNeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(＝))eq\f(1,2)AD.因為BCeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(＝))eq\f(1,2)AD，所以MNeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(＝))BC.所以MNBC是平行四邊形，所以CM∥BN.因為CM?平面PAB,BN?平面PAB.所以CM∥平面PAB.[B能力提升]11．解析：選BD．對于A中，如果m∥α，m∥n，那么n∥α或n?α，所以不正確；對于B中，根據線面垂直的性質，可得若m⊥α，n∥α，那么m⊥n，所以是正確的；對于C中，根據線面垂直的定義，直線m垂直于平面α內的任意直線，則m⊥α，而直線m垂直于平面α內的無數條直線，則m與α不一定垂直，所以不正確；對于D中，平行線中的一條垂直一個平面，另一條也垂直于這個平面，可得若m⊥α，m∥n，那么n⊥α，所以是正確的．故選BD．12．解析：選AC．由題意知，PA⊥平面ABC，因為BC?平面ABC，所以PA⊥BC，故A對；而AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，故C對；若AC⊥PB，因為AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，則AC⊥PC，與題目矛盾，故B錯；由BC⊥平面PAC可得，BC⊥PC，則△PBC為直角三角形，若PC⊥PB，則BC，PB重合，與已知矛盾，故D錯；故選AC．13.解析：選AC．對于A，SG⊥GE，SG⊥GF，GE?平面GEF，GF?平面GEF，GE∩GF＝G，SG⊥平面GEF，故A正確．對于B，若SE⊥平面EFG，結合選項A，則SE∥SG，顯然矛盾，故B錯誤．對于C，FG⊥GE，SG⊥GF，GE?平面GES，GS?平面GES，GE∩GS＝G，所以FG⊥平面GES，又SE?平面GES，所以GF⊥SE,故C正確．對于D，若EF⊥平面SEG，因為FG⊥平面GES(C項已經證明)，則FE∥FG，顯然矛盾，故D錯誤．故選AC．[C拓展探究]14．解析：選C．設正方體的棱長為a，則由題意知，A1C1＝AC＝eq\r(2)a，A1B＝eq\r(2)a，A1C＝eq\r(3)a，當P為A1A的中點時，因為PA⊥平面ABC，則∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°，則PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(\f(a2,4)＋a2)＝eq\f(\r(5),2)a，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(\f(a2,4)＋2a2)＝eq\f(3,2)a，又BC＝a，則BC2＋PB2＝PC2，則△PBC是直角三角形，即此時P-ABC是鱉臑；當P為A1B的中點時，因為BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC為直角三角形，因為ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，則△PAB是直角三角形，則PA＝eq\f(\r(2),2)a，PC＝eq\r(BC2＋PB2)＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(6),2)a，又BC＝a，由勾股定理可知，△PAC是直角三角形，則此時P-ABC是鱉臑；當P為A1C的中點時，此時PA＝PC＝eq\f(1,2)A1C＝eq\f(\r(3)a,2)，又AC＝eq\r(2)a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，則此時P-ABC不是鱉臑；故選C．15．解：(1)證明：因為∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA,又因為PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.(2)如圖所示，過A作AH⊥PC于H，因為BC⊥平面PAC，AH?平面PAC，所以BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，所以AH⊥平面PBC，所以∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角．因為PA⊥平面