案例二十四——橢圓濾波器設計內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟橢圓低通濾波器設計驗證濾波器幅頻特性思考題總結報告要求案例設置目的通過step-by-step模式設計模擬橢圓濾波器，掌握該類模擬濾波器設計方法與步驟，理解橢圓濾波的通帶、阻帶特性，理解MATLAB關于橢圓濾波器設計函數的算法原理。相關基礎理論Cauer濾波器通常又稱為橢圓濾波器，其特點是通帶和阻帶都是等波紋波動的，進一步降低了所設計濾波器與目標濾波器之間的指標富余量。事實證明，在階數一定的情況下，橢圓濾波器與Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器相比，過渡帶最窄，另外在所有能滿足指標要求的三種濾波器中，橢圓濾波器的階數最低。而且與同階數的Chebyshev濾波器相比，同為有波動的頻帶內，橢圓濾波器的波動要小。橢圓濾波器也是由平方幅度函數描述的：（24.1）其中，RN(

)(

=

/

p)

為雅克比（Jacobi）橢圓函數。RN(

)有兩個非常重要的性質：（1）RN(

)是階數N的有理函數，且滿足RN(1/

)=1/RN(

)。（2）分子多項式的根均落在0<λ<1的區間內，分母多項式的根均落在區間1<λ<∞內。對于低通濾波器而言，通帶內（0≤λ<1）都是盡可能地保留對應頻率分量信號，所以RN(

)都是非常小的數。性質（1）表明，1/λ>1或阻帶內，1/RN(1/

)取值非常大，因此使得幅頻響應曲線在阻帶衰減很快。相關基礎理論N階橢圓濾波器的歸一化系統函數H(j

)中既包含零點，又包含極點。因雅克比橢圓函數涉及更多純數學理論，這里就不再給出零極點表達式，而是直接給出歸一化傳遞函數H(j

)的表達式：（24.2）中

zk、

pk分別是歸一化傳遞函數的零點和極點；K為增益調節系數。歸一化傳遞函數H(j

)確定后，通過去歸一化得到模擬低通濾波器的傳遞函數Ha(s)：（24.3）相關基礎理論橢圓濾波器的設計方法（AnalogCauer-typefilterDesign--ACD）與步驟與Butterworth濾波器、Chebyshev濾波的相同，包括以下幾個步驟。ACDStep1：求解濾波器的階數N。ACDStep2：確定歸一化傳遞函數Ha(

j

)。ACDStep3：去歸一化確定傳遞函數的Ha(s)。情境任務及步驟設計一橢圓低通濾波器，具體指標為：通帶范圍為0～40Hz，通帶最大衰減為1dB（

p=1dB），150Hz以上為阻帶，最小衰減為60dB（

st=60dB）。1．橢圓低通濾波器設計1）確定橢圓濾波器階數N調用MATLAB函數ellipord確定模擬橢圓濾波器的階數N，注意函數輸入參數和選項要求。該函數還會返回截止頻率Wn，對比查看Wn與題目中哪個濾波器指標一致。與式（24.1）給出的用于進行歸一化的頻率一致嗎？并將兩個結論記于報告中。2）確定濾波器的歸一化傳遞函數H(j

)基于MATLAB函數確定歸一化傳遞函數時有兩種方式，分別是按照先求極點再確定多項式系數的方法和直接調用一個函數實現的方法，通過這種方式來拆解ellip函數的功能。（1）分步實現。首先調用MATLAB函數ellipap確定歸一化傳遞函數Ha(j

)的零極點，繼而調用函數zp2tf直接獲得H(j

)的分子、分母多項式的系數矩陣，分別記為b1和a1。情境任務及步驟（2）一步到位。調用MATLAB函數ellip，邊界頻率Wn=1，確定模擬橢圓濾波器歸一化傳遞函數H(

j

)

的分子、分母多項式的系數矩陣，分別記為b2和a2。分別比較兩種方法得到的H(

j

)

的分子分母多項式系數矩陣的異同，并將結論記于報告中。3）對歸一化傳遞函數H(j

)去歸一化，得到濾波器的傳遞函數Ha(s)基于MATLAB函數確定傳遞函數時有三種方式，前兩種方式延續了2）中的步驟，第三種方式基于H(j

)通過調用lp2lp函數實現。先來看前兩種方式。方式一和方式二上述情況類似，只是輸入參數不同。重復2）中的步驟，只是有兩點區別：步驟（1）內zp2tf函數所使用的極點均需乘以

p。步驟（2）內調用MATLAB函數ellip，邊界頻率Wn=

p。兩種方法所得Ha(s)

分母多項式系數分別記為as3和as4，分子多項式系數分別記為bs3和bs4，并計算系數差as3-as4，通過差值分析兩種方法的異同，并將結論記于報告中。方式三：由模擬歸一化傳遞函數H(j

)轉化為去歸一化的傳遞函數Ha(s)，在MATLAB環境下，更簡單的方法是調用lp2lp函數。情境任務及步驟2．驗證濾波器幅頻特性這里的驗證主要是考察所設計濾波器的幅頻響應在邊界頻率處是否滿足指標要求。1）傳遞函數頻域分析調用MATLAB函數freqs分析bs3和as3決定的系統的頻率響應H1、bs4和as4決定的系統的頻率響應H2，分析的頻率范圍f為0～300Hz，步進為10Hz。2）確定幅頻響應調用函數abs計算H1的幅頻響應AH1和H2的幅頻響應AH2，調用函數max計算AH1的最大值maxAH1、AH2的最大值maxAH2。3）畫出歸一化對數比例幅頻特性圖用maxAH1對AH1進行歸一化處理，并畫出20lg(AH1/maxAH1)和f的關系曲線，即縱軸顯示對數形式。在同一幅圖中用紅虛線顯示20lg(AH2/maxAH2)和f的關系曲線。4）畫出比較基準線調用line函數在圖上分別畫(

1,0)

(

1,250)、(

60,0)

(

60,250)、(40,

60)

(40,0)、(200,

60)

(200,0)四條直線，比較設計出濾波器指標的富余度，比較H1和H2的異同，并將結論記于總結報告中。思考題（1）橢圓濾波器是以哪個頻率為標準進行頻率歸一化的？（2）橢圓濾波器的幅頻特性函數的特點有哪些？（3）在熟悉橢圓低通濾波器設計思路的基礎上，結合上述情境任務進行總結，借助MATLAB函數最少通過幾步才能完成橢圓低通濾波器的設計？其中又分別調用了哪幾個函數？總結報告要求（1）情境任務總結報告中原理部分要簡要描述橢圓低通濾波器的設計步驟，書寫情境任務時可適當進行歸納和總結，但至少要列出【情境任務及步驟】相關內容的各級標題。（2）情境任務的程序清單除在報告中出現外，還必須以獨立的m文件