四川省宜賓市2023-2024學年高一下學期期末學業質量監測數學試題1．已知復數z=1?i1+i，則A．?i B．?1 C．0 D．12．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．e1=(0,0),eC．e1=(?3,5),e3．某超市在兩周內的藍莓每日促銷量如圖所示，根據此折線圖，下面結論錯誤的是（）A．這14天日促銷量的眾數是214B．這14天日促銷量的中位數是196.5C．這14天日促銷量的極差為195D．這14天日促銷量的第80百分位數是2434．已知向量a=(1,?1)，b=1，若a⊥a?2A．π4 B．π3 C．3π4 D．5．如圖所示，四等分切割圓柱，再將其重新組合成一個新的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了100（單位：m2），則原圓柱的側面積是（）（單位：mA．100π B．200π C．100 D．2006．在△ABC中，BC=2AB，∠ABC=60°，∠ABC的角平分線交AC于點D，BD=2，則△ABC的面積為（）A．34 B．32 C．3 7．鐘鼓樓是宜賓市老城區中山街的一座標志性建筑，某同學為測量鐘鼓樓的高度MN，在鐘鼓樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為15m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鐘鼓樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得鐘鼓樓頂部M的仰角為15°，則鐘鼓樓的高度約為（）A．21m B．26m C．30m D．45m8．已知菱形ABCD沿對角線BD向上折起，得到三棱錐A?BCD，E,F分別是棱AB,BC的中點，AB=BD=2，Q為棱CD上的一點，且DE//平面AFQ，則DQQCA．13 B．12 C．19．已知直線a，b和平面α，β，下列說法正確的是（）A．若a⊥b，a⊥α，則b∥αB．若a∥b，a⊥α，則b⊥αC．若α⊥β，a?α，則a⊥βD．若a∥α，a?β，α∩β=b，則a∥b10．先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，事件A=“兩次擲出的點數之和是5”，事件B=“第一次擲出的點數是奇數”，事件C=“兩次擲出的點數相同”，則下列結論正確的是（）A．A與B互斥 B．PC．PB=12 D．11．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，下列說法正確的是（）A．若A=45°，a=2，b=B．若acosBC．若△ABC為銳角三角形，則sinD．若△ABC的外接圓的圓心為O，且2AO=AB+AC，AO=12．已知正方體ABCD?A1BA．當點P為DD1的中點時，直線CP與BB．當點P在棱C1D1上時，C．當點P在正方形CDD1C1內時，若BD．該正方體被過AA1，CC1，C1D1中點的平面α分割成兩個空間幾何體Ω113．已知在復平面內，向量AB對應的復數是2+i，AC對應的復數是3?2i，則向量BC對應的復數為．14．已知事件A與事件B相互獨立，且PA=0.5，PB=0.215．著名數學家歐幾里得《原本》中曾談到：任何一個大于1的整數要么是質數，要么可以寫成一系列質數的積，例如60=2×2×3×5．已知2310=a1×a2×?×a16．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB=4，AD=BC=2，BABA?BCBC=17．已知a=2，b=1，a與b的夾角為（1）求a?2（2）當實數k為何值時，ka+b18．2024年全國城市節約用水宣傳主題為“推進城市節水，建設美麗城市”．某市為了鼓勵居民節約用水，減少水資源的浪費，計劃在全市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準x（單位：噸），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費，且該市政府希望有92%的居民月用水量不超過標準x噸．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了200戶居民某年的月均用水量（單位：噸），并將數據制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中m的值，并估計月用水量標準x的值；（2）若從月平均用水量在第一組和第二組的樣本居民中按比例分配的分層抽樣隨機抽取6戶，再從這6戶中任意選取兩戶，求這兩戶來自同一組的概率．19．如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E為側棱SC的中點．（1）求證：SA//平面EDB；（2）求點C到平面EDB的距離．20．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acos（1）求A；（2）若a=7．再從條件①、條件②條件①：中線AD長為192；條件②：△ABC的面積為3注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．21．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，BC=22，A1B=（1）求證：A1D⊥平面（2）若1≤a≤2，求直線AC與平面BCC22．依據《宜賓市城市總體規劃（2018~2035）》規劃戰略定位，擬將我市建設成“長江生態首城、中華美酒之都、華夏最美竹海”．若將宜賓臨港經濟開發區某地段（如圖所示）中的四邊形區域ACEF建成生態園林公園，AC，CE，EF，AF為主要道路（不考慮寬度）．已知（1）求道路AC的長度；（2）若在道路AC的另一側規劃一塊四邊形ABDC的商業用地，使∠ABC=60°，且△BCD為等邊三角形，求四邊形ABDC面積的最大值．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：z=1?i1+故答案為：B.【分析】利用復數代數形式的乘除運算法則結合虛部的定義求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、因為e1=0，所以eB、易知e1=?e2，則C、易知e2=2e1，則D、若e1∥e2，則存在實數λ使得則?λ=52λ=7，方程組無解，即e故答案為：D.【分析】根據基底向量的定義結合向量共線的判定定理逐項判斷即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、藍莓每日促銷量數據從小到大排列為：80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275，則這14天藍莓每日促銷量的眾數是214，故A正確；B、這14天藍莓每日促銷量的中位數是第7和8個平均值，即179+2142C、這14天藍莓每日促銷量的極差是275?80=195，故C正確；D、14天藍莓每日促銷量的第80百分位數，14×0.8=11.2，則取第12個，即260，故D錯誤.故答案為：D．【分析】將數據從小到大排序，根據眾數，中位數，極差，百分位數概念求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：向量a=(1,?1)，a若a⊥a?2b，則a?a?2設a與b的夾角為θ，則cosθ=a?ba?b故答案為：A.

【分析】由a⊥a?2b，可得5．【答案】A【解析】【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，高為?，由題意可得：2r?=100，則圓柱的側面積S側故答案為：A.【分析】設圓柱的底面半徑為r，高為?，由題意可得2r?=10，再根據圓柱得側面積公式計算即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，設AB=t,BC=2t，S△ABC即23t2則S故答案為：D.【分析】利用角平分線表示面積求出邊長t，再根據三角形面積公式計算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，在△AMC中，∠MAC=15°+30°由正弦定理得CMsin45°在等腰直角三角形MNC中，MN=302故答案為：C.【分析】在Rt△ABC中，求出AC，在△AMC中，利用三角形內角和求∠MAC和∠AMC，利用正弦定理求得CM，再在等腰直角三角形MNC中求MN即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：連接CE，交AF于點M，連接QM，如圖所示：

因為DE//平面AFQ，DE?平面CDE，平面CDE∩平面AFQ=QM，所以DE//QM，又因為E，F分別為AB，BC的中點，所以點M為△ABC的重心，所以|EM||MC|在△CDE中，DE//QM，根據三角形一邊的平行線性質定理可得：|DQ||QC|故答案為：B.【分析】連接CE，交AF于點M，連接QM，再利用線面平行的性質、三角形重心的性質以及三角形一邊的平行線性質定理求解即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、如圖所示：

若a⊥b，a⊥α，但b?α，故A錯誤；B、若a∥b，a⊥α，則a,b都可為面α的法向量，C、如圖所示：α⊥β，a?α，但a?β，故C錯誤；D、若a∥α，a?β，α∩β=b，直接根據線面平行的性質：線面平行，則線與過交線的面與另外一個面的交線平行，得到a∥b，故D正確．故答案為：BD．【分析】根據線面平行，垂直的判斷和性質定理，結合長方體模型舉反例判斷即可.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意可知：先后兩次擲一枚質地均勻的骰子的樣本空間為Ω=(i,j)|i,j∈{1,2,3,4,5,6}，A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，n(A)=4B=(i,j)|i∈{1,3,5,},j∈{1,2,3,4,5,6}，n(B)=18C=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，n(C)=6A、A∩B=(1,4),(3,2)，即事件A與事件B能同時發生，則事件A與事件BB、P(A)=n(A)C、P(B)=n(B)D、B∩C=(1,1),(3,3),(5,5)，n(B∩C)=3，P(B∩C)=P(C)=n(C)n(Ω)=即事件B與事件C相互獨立，故D正確.故答案為：BCD.【分析】根據互斥事件的定義即可判斷A；根據古典概型的概率計算公式計算P(A)與P(B)即可判斷BC；根據相互獨立事件的定義即可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、若A=45°，a=2由正弦定理asinA=因為b>a，所以B=60°或B=120B、若acosB=b可得sinAcosA=因為2A,2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，則A=B或A+B=π2，即C、若△ABC為銳角三角形，則A+B>π2，即因為y=cosx在0,π上單調遞減，所以D、若△ABC的外接圓的圓心為O，且2AO=AB+AC，

則O是BC易知AO=BO=CO，因為∠BAC=π2，∠ABO=π3，則向量CA在向量CB上的投影向量為CAcos故答案為：ACD.【分析】利用正弦定理解三角形判斷解的個數即可判斷A；已知條件結合正弦定理化簡得sin2A=sin2B，判斷三角形形狀即可判斷B；若△ABC為銳角三角形，有B>π2?A，可得cos12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、Q為AD中點，連接PQ,CQ,AD1，如圖所示：在正方體ABCD?A1B1C所以四邊形ABC1D又因為P為DD1中點，Q為AD中點，所以PQ//AD直線CP與BC1所成角為CP=CQ=22+cos∠CPQ=則直線CP與BC1所成角的余弦值為B、當點P在棱C1D1上時，將平面ABC1則AP+PB1的最小值為展開圖中的B1C、連接C1因為當點P在正方形CDD1C1內，B1C1⊥平面CDD1C1，所以所以C1P=B1C則點P的軌跡長度為14D、P,Q,M,N,R,S分別為所在棱的中點，如圖所示：該正方體被過AA1，CC1，C1D1平面α在正方體上的截面為正六邊形PQMNRS，某球能被整體放入Ω1或Ω是以B1為頂點，底面為正六邊形PQMNRS正六邊形PQMNRS的邊長為2，面積為6×1正六棱錐B1?PQMNRS中，側棱長為5，每個側面面積為32設內切球半徑為R，由體積法可得13×33×3=1故答案為：ACD.【分析】求異面直線所成角的余弦值即可判斷A；將平面ABC1D13．【答案】1?3i【解析】【解答】解：由題意可知：AB?=2,1由BC=AC?AB，則向量故答案為：1?3i.【分析】根據復數的幾何意義結合向量的線性運算求解即可.14．【答案】0.6【解析】【解答】解：事件A與事件B相互獨立，P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(AB)=0.2×0.5=0.1，則P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.2+0.5?0.1=0.6.故答案為：0.6.【分析】利用任意兩個事件的和事件的概率計算公式以及相互獨立事件的概率乘法公式求解即可.15．【答案】2【解析】【解答】解：由題意可得：2310=2×3×5×7×11，則a1從a12,3,其中兩個數之和小于10的基本事件包括2,3,則這兩個數之和小于10的概率為410故答案為：25【分析】由題意可得a116．【答案】12【解析】【解答】解：過C,D作AB的垂線，垂足分別為M,N，BABA?BC以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：

在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，AD=BC=2，∠ABC=∠BAD=60則B4,0，BM=1=AN，D設Fm,3，m∈1,3令BE=λBC=λ?1,3，得E有AE?AF=m則AE?故答案為：12.【分析】以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，寫出AE,17．【答案】（1）解：a=2，b=1，a與b的夾角為60°，

故a?2（2）解：若ka+b與a即k|a又由（1）知a?b=1，則4k+2k+1+2=0【解析】【分析】（1）根據向量的數量積公式求a?（2）由(ka+b)⊥(a+2b（1）根據題意，a?所以a?2（2）根據題意，(ka即k|a又由（1）知a?所以4k+2k+1+2=0解得k=?118．【答案】（1）解：根據頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得：40.0125+0.0250+m+0.1000+0.0375+0.0125解得m=0.0625．因為(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000)×4=0.80<0.92，(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000+0.0375)×4=0.95>0.92，所以x=16+4×0.92?0.80（2）解：由題意可得：月平均用水量在第一組居民有0.05×200=10戶，月平均用水量在第二組居民有0.1×200=20戶，分層抽樣隨機抽取6戶，第一組抽取了2戶，第二組抽取了4戶記第一組抽取的兩戶分別為a，b，第二組抽取的四戶分別為A，B，C，D，從這6戶中任意選取兩戶，樣本點有a,b,b,C,記兩戶來自同一組為事件M，事件M包含的樣本點為：a,b,根據古典概型可得：PM【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖各矩形面積和為1列式求出m，再根據百分位數定義求解即可；（2）利用列舉法，結合古典概型概率公式求解即可.（1）由4解得m=0.0625．∵(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000)×4=0.80<0.92，∵(0.0125+0.0250+0.0625+0.10000+0.0375)×4=0.95>0.92∴x=16+4×0.92?0.80（2）根據題意得，月平均用水量在第一組居民有0.05×200=10戶，月平均用水量在第二組居民有0.1×200=20戶，分層抽樣隨機抽取6戶，第一組抽取了2戶，第二組抽取了4戶記第一組抽取的兩戶分別為a，b，第二組抽取的四戶分別為A，B，C，D，從這6戶中任意選取兩戶，樣本點有a,b,b,C,記兩戶來自同一組為事件M，事件M包含的樣本點為：a,b,根據古典概型可得，PM19．【答案】（1）證明：連接AC交BD于O，連接OE，如圖所示：

則O為AC的中點，

因為E為側棱SC的中點，所以OE//SA，

又因為SA?平面EDB，OE?平面EDB；所以SA//平面EDB；（2）解：因為E為側棱SC的中點，所以E到平面ABCD的距離等于S到平面ABCD的距離的一半，

E到平面ABCD的距離?=12SD=2，

所以VE?BCD=13S△BCD??=13×12×2×2?2=43，

因為SD⊥底面ABCD，BC,CD?面ABCD，所以SD⊥BC,SD⊥CD，

又因為SD=4，BC=CD=2，所以SC=25,DE=5,BD=22，

因為BC⊥CD,SD∩CD=D,SD,CD?平面SCD，所以BC⊥平面SCD，

又因為SC?平面SCD，所以BC⊥CE,BE=3，

則cos【解析】【分析】（1）連接AC交BD于O，連接OE，證明OE//SA，再根據線面平行的判定定理證明即可；（2）利用等體積法求解即可.（1）連接AC交BD于O，連接OE，則O為AC的中點，∵E為側棱SC的中點，∴OE//SA，∵SA?平面EDB，OE?平面EDB；∴SA//平面EDB；（2）∵E為側棱SC的中點，∴E到平面ABCD的距離等于S到平面ABCD的距離的一半，E到平面ABCD的距離?=1∴V∵SD⊥底面ABCD，BC,CD?面ABCD，∴SD⊥BC,SD⊥CD，又∵SD=4，BC=CD=2，∴SC=25∵BC⊥CD,SD∩CD=D,SD,CD?平面SCD，∴BC⊥平面SCD，又SC?平面SCD，∴BC⊥CE,∴BE=3，∴cos∠BDE=8+5?9∴S設點C到平面EDB的距離為d，由VE?BCD=VC?BDE，得即點C到平面EDB的距離為4320．【答案】（1）解：acosC+3asinC?b?c=0，由正弦定理可得則3sin因為C∈0,π，sinC≠0，所以3sinA?又因為0<A<π，所以?π6<A?π6（2）解：若選擇條件①：A=π3,a=由AD=12AB+由b2+c2?bc=7c2+b若選擇條件②；A=π3,a=則△ABC的面積S=12bcsinA=由b2+c2?bc=7bc=6，解得b=3，【解析】【分析】（1）利用正弦定理，結合兩角和的正弦公式化簡求A即可；（2）由選擇的條件結合余弦定理，列方程組求b，c即可．（1）△ABC中，已知acosC+3由正弦定理得sinAcosC+3又sinB=則有3sin由C∈0,π，sinC≠0，得3則有sinA?由0<A<π，有?π6<A?π6（2）若選擇條件①：由A=π3,a=由AD=12AB+由b2+c2?bc=7c2+b若選擇條件②；由A=π3,a=△ABC的面積S=12bcsinA=由b2+c2?bc=7bc=6，解得：b=3，21．【答案】（1）證明：因為AD⊥平面A1BC，A1D?平面因為A1C=A1B，BD=CD，所以A所以AD⊥平面ABC；（2）解：取B1C1中點D1，連接A所以四邊形A1因為BC⊥AD，BC⊥A1D，AD∩A1所以BC⊥平面AA1D1D，又BC?平面B作A1E⊥D1D于E，平面BB1則A1E⊥平面連接CE，如圖所示：

則∠A1CE為直線A1由∠BAC=π2，BD=CD，BC=22又由（1）知A1所以A1D=4A1則sin∠A由于1≤a≤2，所以14≤1故直線A1C與平面BCC【解析】【分析】