28.4垂徑定理（培優(yōu)篇）一、單選題1．已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（

）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm2．如圖，在半圓中，直徑，是半圓上一點，將弧沿弦折疊交于，點是弧的中點．連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，點在弦上移動，連接過點作交于點．若則的最大值是（

）A． B． C． D．4．已知銳角，如圖，（1）在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作，交射線于點，連接；（2）分別以點，為圓心，長為半徑作弧，交于點，；（3）連接．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中正確的個數(shù)為的（

）①；②若．則；③；④；⑤；A．1個 B．2個 C．3 D．4個5．如圖，AB為⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙OO于點F，若AC=12，AE=3，則⊙O的直徑長為（）A．10 B．13 C．15 D．166．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA+PB的最小值是（）．A．20 B． C．14 D．7．⊙O中，弦AB所對的弧為120°，圓的半徑為2，則圓心到弦AB的距離OC為（

）A． B．1 C． D．8．一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖．將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，如圖．將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N，如圖．連結(jié)AE、AF、BE、BF，如圖．經(jīng)過以上操作，小芳得到了以下結(jié)論：；四邊形MEBF是菱形；為等邊三角形；：：．以上結(jié)論正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，下列結(jié)論中正確的有（）①CE＝OE②∠C＝50°

③＝④AD＝2OEA．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空題10．如圖，已知A為半徑為3的上的一個定點，B為上的一個動點（點B與A不重合），連接AB，以AB為邊作正三角形ABC．當點B運動時，點C也隨之變化，則O、C兩點之間的距離的最大值是______．11．如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點C是上的一個動點（不與點B，G重合），CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，點E與點F關于點O中心對稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為__________cm212．如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，點E為弧AB的中點，C為半徑OA上一點，將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，若點E′恰好落在半徑OB上，則OE′＝_____．13．如圖，在半徑為3的中，B是劣弧AC的中點，連接AB并延長到D，使，連接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．14．如圖，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個動點（點C、D不與A、B重合），M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD＝3，AB＝5，則PM的范圍是__________________．15．如圖，為半圓弧的中點，為弧上任意一點，且與交于點，連接．若，則的最小值為_________16．如圖所示，在內(nèi)有折線，其中，則的長為__________．17．如圖，已知是半圓O的直徑，，點C，D在半圓上，，，點P是上的一個動點，則的最小值為_______．18．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，半徑OB＝5cm，圓心O到BC的距離為3cm，則AB的長為_____cm．19．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，則的周長為_____________（結(jié)果保留）．20．如圖，是的內(nèi)接正三角形，點是圓心，點，分別在邊，上，若，則的度數(shù)是____度．三、解答題21．如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上(不與點A、B重合)的任一點，點C、D為⊙O上的兩點，若∠APD＝∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”．(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；(2)若的長為π，求“回旋角”∠CPD的度數(shù)；(3)若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24+13，直接寫出AP的長．22．如圖所示，的半徑是2，直線與相交于、兩點，、是上的兩個動點，且在直線的異側(cè)，若，求四邊形面積的最大值.23．小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點，直線于點，則．請證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點，直線于點，則．可以通過延長、相交于點，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，，組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點，直線于點，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關系？請寫出證明過程．

參考答案1．B【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進而可得出結(jié)論．解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），如圖1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝14（cm），∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC＝＝＝80（cm）；如圖2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；綜上所述，AC的長為80cm或60cm，故選：B．【點撥】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應用，根據(jù)題意畫出圖形、利用垂徑定理和勾股定理求解是解答此題的關鍵．2．D【分析】把弧AEC的圓補全為⊙F，可知點F與點O關于AC對稱，求出∠F=90°，CE長，OE的最小值為EC-OC．解：把弧AEC的圓補全為⊙F，可知點F與點O關于AC對稱，半徑為2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中點，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值為，故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱、垂徑定理、勾股定理和圓的有關知識，解題關鍵是通過作輔助線,根據(jù)三角形三邊關系確定OE的取值范圍．3．D【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，再求出CD即可．解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC最小，此時D.

B兩點重合，∴CD=CB=AB=×2=1．即CD的最大值為1．故答案為：D．【點撥】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點，求出點C的位置是解題的關鍵．4．C【分析】由作圖知，OM=OC=OD，再利用對稱的性質(zhì)逐一判斷可得．解：由作圖知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故①正確；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正確；∵所對的圓心角是，所對的圓周角是∴，故③不正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM=∴∠MCD=180°-∠COD，又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故④正確；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故⑤錯誤；①②④正確故選C【點撥】本題考查作圖-復雜作圖，弧、圓心角和弦之間的關系，平行線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．5．C【分析】連接OF，根據(jù)DE⊥AB，AB為⊙O的直徑，推出，由D是弧AC的中點，推出，得到AC=DF=12，求出EF=6，設OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.解：如圖，連接OF，∵DE⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴.∵D是弧AC的中點，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=6，設OA=x，∵OF2=OE2+EF2，∴x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，∴⊙O的直徑長為15，故選：C.【點撥】此題考查圓的垂徑定理，弧、弦、圓心角定理，勾股定理，將求直徑長轉(zhuǎn)化為求半徑長由此利用勾股定理解答是解題的關鍵.6．B【分析】連接OA、OB，根據(jù)AC⊥MN，BD⊥MN，經(jīng)勾股定理計算得到OC、OD；延長BD與⊙O相交于點G，推導得當點P在直線AG上時，取最小值；過G作GH⊥AC于點H，經(jīng)證明四邊形是矩形，并經(jīng)勾股定理計算即可得到AG的值，即可完成求解．解：如圖，連接OA、OB∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，∵MN＝20，A、B是⊙O上的兩點∴∴，∴，∴延長BD與⊙O相交于點G∵MN為⊙O的直徑，BD⊥MN∴，∴當點P在直線AG上時，取最小值，且最小值過G作GH⊥AC于點H又∵AC⊥MN，BD⊥MN∴，，∴四邊形是矩形∴，∴∴∴PA+PB的最小值是：故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理、圓的垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的知識；解題的關鍵是熟練掌握勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．7．B【分析】根據(jù)弧的度數(shù)求得弧所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得∠A的度數(shù)，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進行求解．解：∵弦AB所對的劣弧為120°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，又OC⊥AB，∴OC=OA=1；故選：B．【點撥】本題主要考查垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．8．D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行可得CD∥EF，從而判定①正確；根據(jù)垂徑定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，從而得到BM、EF互相垂直平分，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求出四邊形MEBF是菱形，從而得到②正確；根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根據(jù)等邊對等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AEM=30°，從而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠EAF=60°，從而判定△AEF是等邊三角形，③正確；設圓的半徑為r，求出EN=，則可得EF=2EN=，即可得S四邊形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正確．解：∵紙片上下折疊A、B兩點重合，∴∠BMD=90°，∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，∴∠BNF=90°，∴∠BMD=∠BNF=90°，∴CD∥EF，故①正確；根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF，又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，∴BN=MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；∵ME=MB=2MN，∴∠MEN=30°，∴∠EMN=90°-30°=60°，又∵AM=ME（都是半徑），∴∠AEM=∠EAM，∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，同理可求∠AFE=60°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，故③正確；設圓的半徑為r，則EN=，∴EF=2EN=，∴S四邊形AEBF：S扇形BEMF=故④正確，綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個．故選：D．【點撥】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，平行線的判定，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對應關系是關鍵．9．B【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系以及直角三角形邊的關系進行判斷即可．解：∵AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，∴CE＝DE，，，∴∠BOC＝2∠A＝40°，，即，故③正確；∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，∴∠C＝50°，故②正確；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①錯誤；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP＝90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④錯誤；故選：B．【點撥】此題考查圓的垂徑定理，圓心角、弧、弦的定理，直角三角形兩銳角互余及邊的關系，平行線的性質(zhì).10．【分析】連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點N，使得AN=AO．證明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得結(jié)論．解：如圖，連接OB，OC，OA，在優(yōu)弧AB上取點N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等邊三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值為6，故答案為：6．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的相關性質(zhì)，垂徑定理，利用兩地之間線段最短是本題的解題關鍵．11．2【分析】連接OC，設OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．根據(jù)S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，當xy的值最大時，△DEF的面積最大；根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過判定四邊形ODCE是矩形，得；根據(jù)勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)分析，可得結(jié)論．解：連接OC，設OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．∵∴OG⊥AB，∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，∴xy的值最大時，△DEF的面積最大，∵CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴2xy≤4，∴xy≤2，∴xy的最大值為2，∴△DEF的面積的最大值為2cm2故答案為：2．【點撥】本題考查了圓、勾股定理、中心對稱、矩形、完全平方公式的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓的對稱性、勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．12．【分析】過點作于，過點作于，連接，如圖，設，利用得到，，再利用點為弧的中點得到，所以，，接著證明△，則，，則可列方程，然后解方程求出，從而得到的長．解：過點作于，過點作于，連接，如圖，設，，，，點為弧的中點，，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，在和△中，△，，，，，解得，．故答案為4．【點撥】本題考查了圓心角、弧、弦的關系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．13．【分析】如圖，連OA，OB．利用垂徑定理和勾股定理求BE，利用中位線定理求CD．解：如圖，連OA，OB，∵B是弧AC的中點，AB＝BC＝BD，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，由垂徑定理知，OB⊥AC，點E是AC的中點，設,則,由勾股定理知，，，∴,∵AB＝2，AO＝BO=3，∴,解得，，即∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵點B是AD的中點，所以BE是△ACD的中位線，所以CD＝2BE＝．故答案為：【點撥】本題利用了垂徑定理，勾股定理求解14．【分析】延長CP交⊙O于N，連接DN，易證PM＝DN，所以當DN為直徑時，PM的值最大，當DN＝AC時，PM最小，即可求得PM的取值.解：如圖：延長CP交⊙O于N，連接DN．∵AB⊥CN，∴CP＝PN，∵CM＝DM，∴PM＝DN，∴當DN為直徑時，PM的值最大，最大值為，當DN＝NC時，PM最小，最小值為0，∴PM的范圍是≤PM≤．故答案為：【點撥】本題考查的是圓的綜合題，垂徑定理，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.15．【分析】設半圓弧所在圓的圓心為，連接，分別過點作的垂線，兩垂線交于點，延長至點，使得，連接，先根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后判斷出點四點共圓，且所在圓的圓心為點，由此可得，最后根據(jù)三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短求出最小值即可得．解：如圖，設半圓弧所在圓的圓心為，連接，分別過點作的垂線，兩垂線交于點，延長至點，使得，連接，為半圓弧的中點，，又，四邊形是正方形，，在中，，，，是等腰直角三角形，，由圓周角定理得：，，即，，，又，點四點共圓，且所在圓的圓心為點，，由三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短得：，即，當且僅當點共線時，等號成立，則的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓心角定理等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造出點四點共圓是解題關鍵．16．【分析】過點O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點D、E，延長DO交BC于點H，連接OB，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求OD的長，進而可得BD，然后利用勾股定理及垂徑定理可求解問題．解：過點O分別作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分別為點D、E，延長DO交BC于點H，如圖所示：∴BE=CE，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴OH=4，∵∠HDB=90°，∴∠HOE=30°，∴，∴，∴；故答案為．【點撥】本題主要考查垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．17．【分析】如圖，連接AD，PA，OD．先證明PA＝PB，再根據(jù)PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解決問題．解：如圖，連接AD，PA，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴PA＝PB，∠COB＝90°，∵2，∴∠DOB90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB?cos∠ABD＝3，∵PB+PD＝PA+PD≥AD，∴PD+PB≥3，∴PD+PB的最小值為3，故答案為：3【點撥】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關系，三角函數(shù)等知識，根據(jù)OC為AB的垂直平分線得到AD為的最小值是解題的關鍵．18．或【分析】根據(jù)A點所在的位置分類討論：①若等腰三角形的頂點A在優(yōu)弧BC上時，連接AO并延長交BC于點D，利用A、O都在BC中垂線上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，從而求出AB；②若等腰三角形的頂點A在劣弧BC上時，連接AO交BC于點D，原理同上．解：①若等腰三角形的頂點A在優(yōu)弧BC上時，如圖，連接AO并延長交BC于點D，連接OB，∵AB=AC∴點A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為5cm,點O到BC的距離為3cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=8根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；②若等腰三角形的頂點A在劣弧BC上時，連接AO交BC于點D，連接OB，∵AB=AC∴點A在BC的中垂線上∵圓心O也在BC中垂線上，根據(jù)兩點確定一條直線∴AO垂直平分BC∵⊙O的半徑為6cm,點O到BC的距離為2cm∴OA=OB=5，OD=3∴AD=2根據(jù)勾股定理：∴再根據(jù)勾股定理：；綜上所述：或．【點撥】此題考查的是垂徑定理的應用，勾股定理，利用等腰三角形的頂點在圓上的不同位置分類討論是解決此題的關鍵．19．【分析】連接OD、OC，求出∠AOD=∠COD=∠BOC=，證得△AOD、△COD、△BOC都是等邊三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圓的周長公式求出答案.解：如圖，連接OD、OC，∵，是的直徑，∴∠AOD=∠COD=∠BOC=,∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD、△COD、△BOC都是等邊三角形，∴OA=OB=BC=4cm，∴的周長=（cm），故答案為：.【點撥】此題考查了弧、弦、圓心角定理：等弦所對的圓心角相等，等邊三角形的判定定理及性質(zhì)定理，圓的周長計算公式.20．120【分析】本題可通過構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角等，繼而利用SAS定理證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換結(jié)合同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解本題．解：連接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下圖所示：因為等邊三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂徑定理得：AH=AM，又因為OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本題答案為：120．【點撥】本題考查圓與等邊三角形的綜合，本題目需要根據(jù)等角的互換將所求問題進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助線是本題難點，全等以及垂徑定理的應用在圓綜合題目極為常見，圓心角、弧、圓周角的關系需熟練掌握．21．(1)∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由見分析；(2)“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°；(3)滿足條件的AP的長為3或23．【分析】（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直徑AB的“回旋角”；（2）利用CD弧長公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，利用∠CPD為直徑AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即點D，P，E三點共線，∠CED＝∠COD＝22.5°，得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，則∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情況P在OA上或者OB上的情況，在OA上時，同理（2）的方法得到點D，P，F(xiàn)在同一條直線上，得到△PCF是等邊三角形，連接OC，OD，過點O作OG⊥CD于G，利用sin∠DOG，求得CD，利用周長求得DF，過O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，進而得到AP；在OB上時，同理OA計算方法即可解：∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直徑AB的“回旋角”；(2)如圖1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，設∠COD＝n°，∵的長為π，∴∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD為直徑AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴點D，P，E三點共線，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°，(3)①當點P在半徑OA上時，如圖2，過點C作CF⊥AB交⊙O于F，連接PF，∴PF＝PC，同(2)的方法得，點D，P，F(xiàn)在同一條直線上，∵直徑AB的“回旋角”為120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，連接OC，OD，∴∠COD＝120°，過點O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝∴CD＝，∵△PCD的周長為24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，過O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴