第1頁/共1頁2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1.下列各數(shù)中比小的數(shù)是（）A. B. C. D.2.科技創(chuàng)新型企業(yè)不斷涌現(xiàn)，促進(jìn)了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)中，為中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，小誼將兩根長度不等的木條的中點(diǎn)連在一起，記中點(diǎn)為，即．測得兩點(diǎn)之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上兩點(diǎn)之間的距離．圖中與全等的依據(jù)是（）A. B. C. D.5.不等式組解集是（）A. B. C. D.無解6.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接．下列兩條線段的數(shù)量關(guān)系中一定成立的是（）A B.C. D.7.下表記錄了某市連續(xù)五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（）日期氣溫2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高1261098最低102A.日最高氣溫的波動大 B.日最低氣溫的波動大C.一樣大 D.無法比較8.如圖，為的直徑，點(diǎn)是上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實(shí)踐小組通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫氣的質(zhì)量與分解的水的質(zhì)量滿足我們學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系．下表是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）水的質(zhì)量氫氣的質(zhì)量A. B. C. D.10.如圖，在中，，分別以點(diǎn)為圓心、的長為半徑畫弧，與的延長線分別交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：________．12.近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加了________元（用含a的代數(shù)式表示）．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．14.如圖是創(chuàng)新小組設(shè)計(jì)的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點(diǎn)擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機(jī)移動到相鄰的一個格子．當(dāng)“”位于格子A時，小明連續(xù)點(diǎn)擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是________．15.如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)在邊上，，連接，且．點(diǎn)在的延長線上，連接若，則線段的長為______．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計(jì)算：（2）解方程組：17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）連接，請直接寫出四邊形的面積．18.近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學(xué)時段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團(tuán)中午放學(xué)后在校門口隨機(jī)選取300名接送孩子的家長，針對接送孩子的方式和時段進(jìn)行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖），所有問卷全部收回且有效，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．請認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問題：（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“公共交通”所在扇形圓心角度數(shù)為_________；本次調(diào)查的家長中騎電動自行車接送孩子的有__________人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若該校共有1500名家長中午放學(xué)后接送孩子，請估計(jì)用私家車接送孩子的家長人數(shù)；（3）假如你是愛心社團(tuán)的成員，請根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖中的信息，寫出一個造成放學(xué)后校門口交通擁堵的原因，并給家長提出一條緩解擁堵的建議．19.我國自主研發(fā)的型快速換軌車，采用先進(jìn)的自動化技術(shù)、能精準(zhǔn)高效地完成更換鐵路鋼軌的任務(wù)．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數(shù)是一個工作隊(duì)人工更換鋼軌的2倍，它更換116公里鋼軌比一個工作隊(duì)人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌多少公里．20.項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測量與計(jì)算”開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動，形成了如下活動報告．項(xiàng)目主題景物的測量與計(jì)算驅(qū)動問題如何測量內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑活動內(nèi)容利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識進(jìn)行測量與計(jì)算活動過程方案說明圖為該景，點(diǎn)俯視圖的示意圖，點(diǎn)，是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，為圓的直徑圖中點(diǎn)在同一條直線上．圖為測量方案示意圖，直徑所在水平直線與外欄墻分別交于，點(diǎn)，，外欄墻與均與水平地面垂直，且．，均表示步道的寬，．圖中各點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．?dāng)?shù)據(jù)測量在點(diǎn)處測得，點(diǎn)和點(diǎn)的俯角分別為，，米．圖中墻的厚度均忽略不計(jì)計(jì)算……交流展示……請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑的長（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．21.閱讀與思考下面是小宣同學(xué)數(shù)學(xué)筆記中的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．雙關(guān)聯(lián)線段【概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關(guān)聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關(guān)聯(lián)線段．例如，下列各圖中的線段與所在直線形成的夾角中有一個角是，若，則下列各圖中的線段都是相應(yīng)線段的雙關(guān)聯(lián)線段．【問題解決】問題1：如圖，在矩形中，，若對角線與互雙關(guān)聯(lián)線段，則________．問題2：如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，且，連接．求證：線段是線段的雙關(guān)聯(lián)線段．證明：延長交于點(diǎn)F．是等邊三角形，．，（依據(jù)）．，，；…任務(wù)：（1）問題1中的________，問題2中的依據(jù)是________________；（2）補(bǔ)全問題2的證明過程；（3）如圖，點(diǎn)C在線段上，請?jiān)趫D3中作線段的雙關(guān)聯(lián)線段．（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．22.綜合與實(shí)踐問題情境：青蛙騰空階段的運(yùn)動路線可看作拋物線．我國某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)青蛙的生物特征和運(yùn)動機(jī)理設(shè)計(jì)出了仿青蛙機(jī)器人，其起跳后的運(yùn)動路線與實(shí)際情況中青蛙騰空階段的運(yùn)動路線相吻合．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：仿青蛙機(jī)器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運(yùn)動路線的最高點(diǎn)距地面，起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為．?dāng)?shù)學(xué)建模：如圖，將仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線抽象為拋物線，其頂點(diǎn)為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機(jī)器人在水平地面上的起跳點(diǎn)為O，落地點(diǎn)為M．以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)O與所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）請直接寫出頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；問題解決：已知仿青蛙機(jī)器人起跳后的運(yùn)動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．（2）如圖1，若仿青蛙機(jī)器人從點(diǎn)O正上方的點(diǎn)P處起跳，落地點(diǎn)為Q，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上．求起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離的長；（3）實(shí)驗(yàn)表明：仿青蛙機(jī)器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點(diǎn)在豎直方向上的距離不少于，才能安全通過．如圖，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形，其中，．仿青蛙機(jī)器人從距離左側(cè)處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物．若團(tuán)隊(duì)人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機(jī)器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計(jì)，障礙物的縱切面與仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線在同一豎直平面內(nèi)）．23.綜合與探究問題情境：如圖，在紙片中，，點(diǎn)D在邊上，．沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使的對應(yīng)線段與平行，且折痕與邊交于點(diǎn)E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上，且折痕與邊交于點(diǎn)F，然后展平．連接交邊于點(diǎn)G，連接．①若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；②若，，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析1.下列各數(shù)中比小的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小進(jìn)行比較即可判斷求解，掌握有理數(shù)的大小比較方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正數(shù)大于負(fù)數(shù)，∴比小的數(shù)在，，中，∵兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)反而更小，又∵，∴，∴比小的數(shù)是，故選：．2.科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進(jìn)了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)中，為中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據(jù)此判斷即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、積的乘方等運(yùn)算法則，根據(jù)相應(yīng)法則，逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】A．中的和不是同類項(xiàng)，無法合并，故錯誤．B．，正確．C．應(yīng)展開，選項(xiàng)漏掉，故錯誤．D．，選項(xiàng)中結(jié)果為，計(jì)算錯誤．故選：B．4.如圖，小誼將兩根長度不等的木條的中點(diǎn)連在一起，記中點(diǎn)為，即．測得兩點(diǎn)之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上兩點(diǎn)之間的距離．圖中與全等的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】在與，∵，∴，∴與全等的依據(jù)是，故選：．5.不等式組的解集是（）A. B. C. D.無解【答案】C【解析】【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出兩個不等式的解集，再確定它們解集的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：；解不等式，得：，∴不等式組的解集為：；故選C．6.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接．下列兩條線段的數(shù)量關(guān)系中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，由三角形中位線的性質(zhì)得，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)得，即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，故選：．7.下表記錄了某市連續(xù)五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（）日期氣溫2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高1261098最低102A.日最高氣溫的波動大 B.日最低氣溫的波動大C.一樣大 D.無法比較【答案】A【解析】2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查的是方差的計(jì)算與含義，比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況，需計(jì)算它們的方差或極差，根據(jù)方差越大，波動越大判斷即可.【詳解】解：最高氣溫?cái)?shù)據(jù)：12，6，10，9，8∴平均數(shù)：各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方：，，，，，∴方差：∵最低氣溫?cái)?shù)據(jù)：1，，，0，2∴平均數(shù)：各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方：，，，，，∴方差：，∴最高氣溫方差為4，最低氣溫方差為2，因此日最高氣溫的波動更大，選項(xiàng)A正確；故選：A8.如圖，為的直徑，點(diǎn)是上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，連接，由為的直徑可得，進(jìn)而由得，再根據(jù)圓周角定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：．9.氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實(shí)踐小組通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫氣的質(zhì)量與分解的水的質(zhì)量滿足我們學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系．下表是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）水的質(zhì)量氫氣的質(zhì)量A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，由表格數(shù)據(jù)可得是的正比例函數(shù)，進(jìn)而即可求解，由表格數(shù)據(jù)判斷出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴與成正比例，即是的正比例函數(shù)，∴，故選：．10.如圖，在中，，分別以點(diǎn)為圓心、的長為半徑畫弧，與的延長線分別交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而由解答即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；由平方差公式分解即可．【詳解】解：；故答案為：．12.近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加了________元（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意是關(guān)鍵；求出售出一個布老虎增加的利潤，即可求出售出a個布老虎增加的利潤．【詳解】解：售出一個布老虎增加的利潤為（元），則售出a個布老虎增加的利潤為．故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過作軸于點(diǎn)，則，，，然后通過，，即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過作軸于點(diǎn)，則，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，由題意得，，，∴，，∴點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．14.如圖是創(chuàng)新小組設(shè)計(jì)的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點(diǎn)擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機(jī)移動到相鄰的一個格子．當(dāng)“”位于格子A時，小明連續(xù)點(diǎn)擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率；根據(jù)題意畫出樹狀圖，求出所有可能結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)，利用概率公式即可求解．2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【詳解】解：畫出樹狀圖如下：由圖知，所有可能的結(jié)果數(shù)為4，其中回到回到格子A的可能結(jié)果數(shù)為2，則回到格子A的概率為；故答案為：．15.如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)在邊上，，連接，且．點(diǎn)在的延長線上，連接若，則線段的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，延長交延長線于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，則，由三線合一性質(zhì)可得，然后證明四邊形是矩形，所以，，又，則可證，所以，求出，然后通過平行線的性質(zhì)和等角對等邊可得，設(shè)，則，，最后通過勾股定理求出的值即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長交延長線于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，由勾股定理得：，∴，解得：，即，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計(jì)算：（2）解方程組：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，解二元一次方程組等知識，正確進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；（1）依次計(jì)算絕對值、乘方與括號，最后計(jì)算加減即可；（2）利用加減消元法，兩式相加消去未知數(shù)y，求得未知數(shù)x的值，再求出y的值即可．【詳解】解：（1）原式；（2）解：①+②，得，．將代入②，得，．所以原方程組的解是．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）連接，請直接寫出四邊形的面積．【答案】（1），（2）10【解析】【分析】（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求得k的值，即可求得反比例函數(shù)解析式；由A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，令，求出y的值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2，則可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，利用四邊形的面積等于面積的和即可求解．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且在反比例函數(shù)的圖像上，∴，即，∴反比例函數(shù)的解析式為；設(shè)直線的解析式為，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得：，解得：，即直線的解析式為；上式中，令，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2，∴，解得：；由題意知，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，割補(bǔ)法求四邊形面積等知識，掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是關(guān)鍵．18.近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學(xué)時段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團(tuán)中午放學(xué)后在校門口隨機(jī)選取300名接送孩子的家長，針對接送孩子的方式和時段進(jìn)行了問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖），所有問卷全部收回且有效，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．請認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問題：（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為_________；本次調(diào)查的家長中騎電動自行車接送孩子的有__________人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若該校共有1500名家長中午放學(xué)后接送孩子，請估計(jì)用私家車接送孩子的家長人數(shù)；（3）假如你是愛心社團(tuán)的成員，請根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖中的信息，寫出一個造成放學(xué)后校門口交通擁堵的原因，并給家長提出一條緩解擁堵的建議．【答案】（1）36；135；見解析（2）450人（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體等等，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．（1）用360度乘以“公共交通”的人數(shù)占比可求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)；用300乘以“騎電動自行車”的人數(shù)占比可求出對應(yīng)的人數(shù)，再求出時間段騎電動車的人數(shù)并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）用1500乘以樣本中用私家車接送孩子的家長人數(shù)占比即可得到答案；（3）電動車和私家車接送孩子的人數(shù)占比多，容易造成擁堵；時間段電動車和私家車接送孩子的人數(shù)比較多，容易造成擁堵；建議可從換接送方式和換接送時間段兩個方面闡述．【小問1詳解】2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析解：，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為；人，∴本次調(diào)查家長中騎電動自行車接送孩子的有135人；∴時間段騎電動車的人數(shù)為人，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下所示：【小問2詳解】解；人，答：估計(jì)用私家車接送孩子的家長人數(shù)為450人；【小問3詳解】解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知用電動車和私家車接送孩子的人數(shù)占比為，容易造成放學(xué)后校門口交通擁擠；由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，在時間段內(nèi)，接送孩子的電動車和私家車比較多，容易造成放學(xué)后校門口交通擁擠；建議家長在條件允許的情況下選用公共交通方式接送孩子或者使用電動車或私家車接送孩子時避開時間段．19.我國自主研發(fā)的型快速換軌車，采用先進(jìn)的自動化技術(shù)、能精準(zhǔn)高效地完成更換鐵路鋼軌的任務(wù)．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數(shù)是一個工作隊(duì)人工更換鋼軌的2倍，它更換116公里鋼軌比一個工作隊(duì)人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌多少公里．【答案】一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系并列出分式方程是解題的關(guān)鍵，注意要檢驗(yàn)；設(shè)一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里；根據(jù)等量關(guān)系：快速換軌車更換116公里鋼軌比一個工作隊(duì)人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時，列出分式方程，求解并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里．根據(jù)題意得：．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，且符合題意．答：一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里．20.項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測量與計(jì)算”開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動，形成了如下活動報告．項(xiàng)目主題景物的測量與計(jì)算驅(qū)動問題如何測量內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑活動內(nèi)容利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識進(jìn)行測量與計(jì)算活動過程方案說明圖為該景，點(diǎn)俯視圖的示意圖，點(diǎn)，是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，為圓的直徑圖中點(diǎn)在同一條直線上．圖為測量方案示意圖，直徑所在水平直線與外欄墻分別交于，點(diǎn)，，外欄墻與均與水平地面垂直，且．，均表示步道的寬，．圖中各點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．?dāng)?shù)據(jù)測量在點(diǎn)處測得，點(diǎn)和點(diǎn)的俯角分別為，，米．圖中墻的厚度均忽略不計(jì)計(jì)算……交流展示……請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑的長（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．【答案】內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑的長約為米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，由題意得，四邊形為矩形，則，，所以，，設(shè)米，則米，米，然后通過，，列出方程，解出方程即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，四邊形為矩形，∴，，∴，，設(shè)米，則米，米，在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，解得，∴（米），答：內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑的長約為米．21.閱讀與思考下面是小宣同學(xué)數(shù)學(xué)筆記中的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．雙關(guān)聯(lián)線段【概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關(guān)聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關(guān)聯(lián)線段．例如，下列各圖中的線段與所在直線形成的夾角中有一個角是，若，則下列各圖中的線段都是相應(yīng)線段的雙關(guān)聯(lián)線段．【問題解決】問題1：如圖，在矩形中，，若對角線與互為雙關(guān)聯(lián)線段，則________．問題2：如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，且，連接．求證：線段是線段的雙關(guān)聯(lián)線段．證明：延長交于點(diǎn)F．是等邊三角形，．，（依據(jù)）．，，；…任務(wù)：（1）問題1中的________，問題2中的依據(jù)是________________；（2）補(bǔ)全問題2的證明過程；（3）如圖，點(diǎn)C在線段上，請?jiān)趫D3中作線段的雙關(guān)聯(lián)線段．（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．【答案】（1），等角的補(bǔ)角相等；（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為O，利用矩形的性質(zhì)及已知可證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及矩形性質(zhì)即可求解．利用等角的補(bǔ)角相等即可完成問題2的依據(jù)．（2）利用三角形外角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可，從而問題完成；（3）作一個等邊三角形即可完成．【小問1詳解】解：設(shè)的交點(diǎn)為O，如圖；∵四邊形是矩形，∴；∵對角線與互為雙關(guān)聯(lián)線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；故答案為：；問題2中的依據(jù)是：等角的補(bǔ)角相等；故答案為：等角的補(bǔ)角相等；【小問2詳解】解：是的外角，．是的外角，．，．即線段與線段所在直線形成的夾角中有一個角是．，線段與線段是雙關(guān)聯(lián)線段．【小問3詳解】解：答案不唯一，例如：作法一：作法二：如圖，線段即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．22.綜合與實(shí)踐問題情境：青蛙騰空階段的運(yùn)動路線可看作拋物線．我國某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)青蛙的生物特征和運(yùn)動機(jī)理設(shè)計(jì)出了仿青蛙機(jī)器人，其起跳后的運(yùn)動路線與實(shí)際情況中青蛙騰空階段的運(yùn)動路線相吻合．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：仿青蛙機(jī)器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運(yùn)動路線的最高點(diǎn)距地面，起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為．?dāng)?shù)學(xué)建模：如圖，將仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線抽象為拋物線，其頂點(diǎn)為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機(jī)器人在水平地面上的起跳點(diǎn)為O，落地點(diǎn)為M．以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)O與所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）請直接寫出頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；問題解決：已知仿青蛙機(jī)器人起跳后的運(yùn)動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．（2）如圖1，若仿青蛙機(jī)器人從點(diǎn)O正上方的點(diǎn)P處起跳，落地點(diǎn)為Q，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上．求起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離的長；2025年山西省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析（3）實(shí)驗(yàn)表明：仿青蛙機(jī)器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點(diǎn)在豎直方向上的距離不少于，才能安全通過．如圖，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形，其中，．仿青蛙機(jī)器人從距離左側(cè)處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物．若團(tuán)隊(duì)人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機(jī)器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計(jì)，障礙物的縱切面與仿青蛙機(jī)器人的運(yùn)動路線在同一豎直平面內(nèi)）．【答案】（1），；（2）起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離的長為；（3）【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)起跳點(diǎn)與落地點(diǎn)的距離為，得到對稱軸為直線，根據(jù)運(yùn)動路線的最高點(diǎn)距地面，得到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出頂點(diǎn)式，把代入，求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)拋物線的形狀不變，利用平移思想，寫出新的函數(shù)解析式，令，求出的值，進(jìn)而求出的長即可；（3）設(shè)該平臺的高度為，根據(jù)題意，得到新的拋物線的解析式為：，根據(jù)仿青蛙機(jī)器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物，得到拋物線過點(diǎn)，代入求解即可；【詳解】解：（1）由題意，得：拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為：，∵圖象過原點(diǎn)，∴，解：，∴；（2）∵拋物線的形狀不變，點(diǎn)，故第二次的函數(shù)圖象可以看作由（1）的拋物線向上平移75個單位長度，得到的，∴新拋物線的解析式為：，當(dāng)時，，解得：，（舍去）；故起跳點(diǎn)P與落地點(diǎn)Q的水平距離的長為；（3）設(shè)該平臺的高度為，由題意，設(shè)新的函數(shù)解析式為：，∵，仿青蛙機(jī)器人從距離左側(cè)處的地面起跳，由題意，仿青蛙機(jī)器人經(jīng)過正上方處，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)，即：，∴把代入，得：，解得：；故設(shè)該平臺的高度為．23.綜合與探究問題情境：如圖，在紙片中，，點(diǎn)D在邊上，．沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使的對應(yīng)線段與平行，且折痕與邊交于點(diǎn)E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上，且折痕與邊交于點(diǎn)F，然后展平．連接交邊于點(diǎn)G，連接．①若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；②若，，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析；（2）①．理由見解析；②5或【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，由等角對等邊推出，從而證明，即可四邊形是菱形；（2）①由（1）推出，由折疊的性質(zhì)得到，結(jié)合已知可得，進(jìn)而推出，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出，即可得到與的位置關(guān)系；②分是以為腰為底的等腰三角形和是以為腰為底的等腰三角形兩種情況討論，如圖，延長交于點(diǎn)H，設(shè)交點(diǎn)為，利用三角形相似的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：①，理由如下：由（1）知四邊形是菱形，∴，由折疊的性質(zhì)得到，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；解：②∵，，，∴，當(dāng)是以為腰為底的等腰三角形時，如圖，延長交于點(diǎn)H，設(shè)交點(diǎn)為，則，∵，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，∴；∵，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；當(dāng)是以為腰為底的等腰三角形時，如圖，則，同理得，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵是以為腰為底的等腰三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理作出輔助線，構(gòu)造三角形全等，結(jié)合分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．外在因素則涉及教師的教學(xué)方法、家庭環(huán)境和課程設(shè)置等。其中，教師的教學(xué)策略對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起著關(guān)鍵性的引導(dǎo)作用。三、初中數(shù)學(xué)思維方法策略研究針對概念理解，教師應(yīng)采用"概念形成"策略，通過具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。例如，在教授函數(shù)概念時，可以從生活中的變化關(guān)系入手，幫助學(xué)生建立變量對應(yīng)的思維模式。在問題解決方面，"啟發(fā)式教學(xué)"策略尤為有效。教師可通過示范解題思維過程，展示如何分析問題、制定計(jì)劃和驗(yàn)證結(jié)果。同時，鼓勵學(xué)生采用多種解題方法，培養(yǎng)其思維靈活性。課堂實(shí)踐表明，"思維可視化"策略能顯著提升教學(xué)效果。通過思維導(dǎo)圖、流程圖等工具，將抽象的思維過程具象化，有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思維方法。此外，"合作學(xué)習(xí)"策略也能促進(jìn)學(xué)生間的思維碰撞，拓展思考角度。四、培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維能力的策略建議教師專業(yè)發(fā)展是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。學(xué)校應(yīng)定期組織教師參加思維教學(xué)培訓(xùn)，更新教學(xué)理念和方法。同時，建立教師交流平臺，分享成功的思維培養(yǎng)案例和經(jīng)驗(yàn)。在課程設(shè)計(jì)方面，建議采用"螺旋式課程"模式，將重要的數(shù)學(xué)思維方法貫穿于不同年級的教學(xué)內(nèi)容中。通過反復(fù)接觸和深化理解，幫助學(xué)生逐步掌握高階思維技能。此外，可開設(shè)數(shù)學(xué)思維拓展課程，為有興趣的學(xué)生提供深入學(xué)習(xí)的機(jī)會。家校合作也不容忽視。學(xué)校應(yīng)通過家長會、專題講座等形式，幫助家長了解數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要性，并提供家庭輔導(dǎo)建議。例如，鼓勵家長與孩子一起解決生活中的數(shù)學(xué)問題，在實(shí)踐中鍛煉思維能力。五、結(jié)論本研究系統(tǒng)探討了初中數(shù)學(xué)思維方法策略的理論與實(shí)踐。研究表明，科學(xué)有效的思維方法策略能顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和問題解決能力。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，靈活運(yùn)用多種教學(xué)策略，創(chuàng)造有利于思維發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境。未來的研究可進(jìn)一步探討信息技術(shù)在數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)中的應(yīng)用，以及不同文化背景下數(shù)學(xué)思維發(fā)展的差異性。同時，需要開發(fā)更有效的評估工具，準(zhǔn)確測量學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展水平。總之，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)思維能力是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要教師、學(xué)校和家長的共同努力。只有通過持續(xù)的研究和實(shí)踐，才能不斷提升數(shù)學(xué)思維教學(xué)的質(zhì)量，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。直對稱軸、對應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對稱軸上。折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題.

考查的著眼點(diǎn)日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍偷玫綌?shù)軸。②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。③如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)