第二章數學模型的建立

TheSetUpfortheMathModel第二章數學模型的建立

TheSetUpfortheMathModel第一節系統和環節的特性

CharacteristicofSystemandLink第二節傳遞函數TransferFunction

第三節脈沖響應和階躍響應

ImpulseResponseandStepResponse第四節環節的聯接方式

TheConnectModeofLink

第一節系統和環節的特性

characteristicofSystemandLink一、靜態特性（Staticcharacteristicistic

）

.靜態

——運動中的自動調節系統（或環節），其輸入信號和輸出信號都不隨時間變化時，稱系統（或環節）處于平衡狀態，或靜態。

.靜態特性——在平衡狀態時，輸出信號和引起它變化的輸入信號之間的關系，稱為系統（或環節）的靜態特性

舉例：

(1)

RC電路輸入量-----電壓u1

輸出量-----電容兩端的電壓uc。靜態特性方程：

uc=u1

(2)

閥門輸入量---閥門前后的差壓△P

輸出量---流量Q

靜態特性方程：式中—閥門局部阻力系數。

(3)閥門輸入量---閥門開度m

輸出量---流量Q

二、動態特性(Dynamiccharacteristicistic)

動態

----運動中的自動調節系統（或環節），當輸入信號和輸出信號隨時間變化時，稱系統（或環節）處于不平衡狀態或動態。動態特性---在不平衡狀態時，輸出信號和引起它變化的輸入信號之間的關系，稱為系統（或環節）的動態特性。

1.數學模型的建立

下面舉例說明推導微分方程的基本方法

例:

RC電路，已知電阻阻值為R，電容為C,當輸入信號為u1，輸出信號為uc時，試寫出該電路的動態特性方程。

解：1、寫出輸入電壓u1與輸出電壓uc的差值變化引起電流i變化的關系式。

2、寫出輸出信號uc與i的關系式

3、消去中間變量i，整理得RC電路的動態特性方程式：

環節的靜態特性方程式：例：試列出圖所示系統的微分方程式，并比較得到的結果。（a）中系統的輸入信號為FA,輸出信號為質量m的位移x;(b)中系統的輸入信號為流經電路的電量q,輸出信號為ur。※解：(a)根據牛頓第二定律式中f—粘性磨擦系數

K—彈簧彈性系數

（b）假定回路電流為i，則：

因此：

電流,q為電量，上式可寫成1．

不同的環節雖然物理結構不同，但是表示動態特性的微分方程形式相同時，可以抽象地認為是同類環節

。

歸納：2．

同一個環節，當取不同的量為輸入信號或輸出信號時，其微分方程是不同的。

3．

對一個具體環節來說，微分方程的階次和各系數值由環節內部的結構和物理參數而決定。

4.靜態特性包含在動態特性之中第二節傳遞函數

TransferFunction

一、拉普拉斯變換(Laplacetransform)復習

1、定義：

拉普拉斯變換存在的條件為：2、基本定理

(1)線性定理

(2)微分定理

(3)位移定理設F(s)=L[f(t)]則L[e-atF(t)]=F(s+a)

(4)遲延定理

設F(s)=L[f(t)]則L[f(t-T)]=e-TSF(s)

(5)初值定理

設F（s）=L[f(t)]，如果下列極限存在的話，則有

(6)終值定理設F（s）=L[f(t)]，并且SF（s）在虛軸上及右半平面內沒有極點，則有：

(7)卷積定理設F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)]

則

3、部分分式法例1

求F(s)的反變換。※解：將F（s）分解為部分分式：求待定常數K1，K2，由式（2-16），得：

進行反變換，求得原函數

f(t)=-e-3t+2e-t所以例2

求的反變換※解：查拉普拉斯變換對照表，得：

f(t)=e-tcost+2e-tsint

R（s）=0有重根設R（s）=0的根中-S1為r階重根，其余（n-r）個根為單根，則F（s）可展開為

（2-18）式中，Kr+1，Kr+2，…，Kn可按式（2-16）計算，而K1，K2，…，Kr則可按下列計算留數的公式求得：

（2-18）例3

求F(S)的拉普拉斯反變換

※解:F(s)可展開成因此，

查拉普拉斯關系對照表，得：二、傳遞函數(TransferFunction)

傳遞函數定義為：線性定常系統在零初始條件下，系統（或環節）輸出信號的拉普拉斯變換與輸入信號的拉普拉斯變換之比。設線性定常系統（或環節）的微分方程是：

（n≥m）

在初始條件為零的情況下，對式（2-47）進行拉普拉斯變換，得：

所以，該系統(或環節)的傳遞函數為：

描述RC電路

描述加熱器傳遞函數具有以下性質：（2）傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系。（3）系統傳遞函數的分母就是系統的特征方程，從而能方便地判斷動態過程的基本特性。(1)傳遞函數是描述動態特性的數學模型，它表征系統（或環節）的固有特性，和輸入信號的具體形式、大小無關。第三節脈沖響應和階躍響應ImpulseResponseandStepResponse一．單位脈沖響應函數(UnitImpulseResponsefunction)當系統（或環節）的輸入信號r(t)為單位脈沖函數

(t)，傳遞函數為G（s），則它的輸出信號c(t)稱為單位脈沖響應，c(t)的數學表達式稱為單位脈沖響應函數。

例

RC電路的傳遞函數，試求其單位脈沖響應函數，并作出單位脈沖響應曲線。※解：單位脈沖響應函數uc(t)為：作單位脈沖響應曲線圖：

二．單位階躍響應函數當系統（或環節）的輸入信號r(t)為單位階躍函數1(t)，傳遞函數為G（s），則它的輸出信號c(t)稱為單位階躍響應，c(t)的數學表達式稱為單位階躍響應函數。由于單位階躍函數1(t)的拉普拉斯變換為：

則它的單位階躍響應函數為：例

RC電路的傳遞函數，試求其單位階躍響應函數，并作出單位階躍響應曲線。

※解：單位階躍響應函數為：作單位階躍響應曲線圖:

第四節環節的聯接方式

TheConnectModeofLink

一、基本環節1．比例(Proportional)環節比例環節的傳遞函數為：作比例環節的階躍響應曲線圖比例環節的微分方程為：

K—環節的傳遞系數或比例系數。2、積分(Integral)環節

積分環節的微分方程為：式中，Ti—積分時間。積分環節的傳遞函數為

作積分環節的階躍響應曲線:

3、慣性(Intertial)環節（非周期環節）式中T—慣性環節的時間常數；

K—慣性環節的傳遞系數或稱靜態放大系數。慣性環節的傳遞函數為它的階躍響應函數，即當時，輸出信號c(t)為：慣性環節的微分方程為階躍響應曲線是一條指數函數曲線。4、微分(Derivative)環節

（1）理想微分環節式中Td—微分時間傳遞函數為微分方程為它的階躍響應函數為

(2)實際微分環節微分方程為式中Td—實際微分環節的時間常數傳遞函數為階躍響應函數為

5、純遲延(Delay)

環節

c(t)=r(t-

)

式中

τ—遲延時間，即輸出信號落后于輸入信號的一段時間。

作階躍響應曲線圖傳遞函數為作階躍響應曲線圖二．環節的基本聯接方式(ConnectMode)1、環節的串聯(Seriesconnection)2、環節的并聯(Parallelconnection)3、環節的反饋聯接(Feedbackconnection)

三、方框圖的等效變換(EquivalentTransform)

必須遵守以下規則：（1)相鄰相加點之間的移動

(2)相鄰引出點之間的移動

(3)相加點的后移

(4)相加點的前移

(5)引出點的后移

(6)引出點的前移舉例說明方框圖的等效變換例

雙容水箱，其輸入信號為流入水流量q1或流出水流量q3，其輸出信號為第二水箱的水位h2，R為線性化流阻，F1和F2分別為水箱的截面積，試寫出其傳遞函數。解：

1、q1