專題16平面向量及其應(yīng)用（六大題型+模擬精練）目錄：01平面向量的有關(guān)概念02平面向量的線性運(yùn)算03平面向量的數(shù)量積04平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示05平面向量的綜合應(yīng)用06三角形的“心”的向量表示01平面向量的有關(guān)概念1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A．零向量沒有方向B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C．只有零向量的模等于0D．向量與的長(zhǎng)度相等2．若向量與為非零向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若非零向量，則與的方向相同D．若，則3．與向量平行的所有單位向量為（

）A． B．C． D．或4．已知兩個(gè)單位向量，的夾角是，則.02平面向量的線性運(yùn)算5．在中，是的中點(diǎn)，在上，且，則（

）A． B．C． D．6．如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點(diǎn)，若，，為AD中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．8．在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．9．如圖所示，（

）

A． B．C． D．10．已知向量不共線，則向量與共線時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．11．已知是邊長(zhǎng)為1的正的邊上靠近C的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．12．在中，且，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（

）A． B．C． D．03平面向量的數(shù)量積13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，是的中點(diǎn)，，則．14．在中，，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是.15．已知向量滿足，，則（

）A．－2 B． C． D．616．已知平面向量，均為單位向量，若，則向量，的夾角（

）A． B． C． D．17．若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．19．已知向量，，，若與的夾角為，且⊥，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．20．在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，Q為邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍為．21．已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B．-2 C．-4 D．22．在平行四邊形中，，點(diǎn)為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．1204平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示23．設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．與C．與 D．與24．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，.向量，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．25．已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（

）A．2 B． C． D．626．已知向量，若不超過(guò)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．27．如圖，在等腰梯形中，，則.

28．如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．29．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．130．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為．31．已知菱形邊長(zhǎng)為1，且為線段的中點(diǎn)，若在線段上，且，則，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的垂線交邊于點(diǎn)，則的最小值為.05平面向量的綜合應(yīng)用32．在中，，，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非直角）三角形33．已知圓錐的底面半徑為2，點(diǎn)P為底面圓周上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面（異于頂點(diǎn)和底面圓周）上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．34．已知圓的半徑為1，過(guò)圓外一點(diǎn)作一條切線與圓相切于點(diǎn)，，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．35．如圖所示，O點(diǎn)在內(nèi)部，分別是邊的中點(diǎn)，且有，則的面積與的面積的比為（

）A． B． C． D．06三角形的“心”的向量表示36．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（

）A．點(diǎn)為的內(nèi)心 B．點(diǎn)為的外心C． D．為等邊三角形37．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心38．在中，角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)分別為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且有，，，，則點(diǎn)分別為的（

）A．垂心，重心，外心，內(nèi)心 B．垂心，重心，內(nèi)心，外心C．外心，重心，垂心，內(nèi)心 D．外心，垂心，重心，內(nèi)心39．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．22．（2024·重慶·三模）已知，向量為單位向量，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．15．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．6．（2024·四川成都·三模）已知正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的點(diǎn)(均不與端點(diǎn)重合)，記的面積分別為.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)，，…，，記，則（

）A．18 B．180 C． D．8．（2024·廣東廣州·三模）設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若且，則；③若，則對(duì)于任意向量，都有；④若，則對(duì)于任意向量，都有；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④二、多選題9．（2020·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說(shuō)法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為210．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部11．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與軸、軸相切于、兩點(diǎn).設(shè)量角器直徑，圓心為，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).下列選項(xiàng)正確的有（

）

A．點(diǎn)坐標(biāo)為 B．C． D．若最小，則三、填空題12．（2024·江西·二模）在中，已知，為線段的中點(diǎn)，若，則．13．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）在，已知，.則.14．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角所對(duì)的邊分別為，，，，若，則的最小值為．四、解答題15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．(1)若，寫出一個(gè)向量，使得．(2)令．若，證明：為偶數(shù)．(3)若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例．成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題16平面向量及其應(yīng)用（六大題型+模擬精練）目錄：01平面向量的有關(guān)概念02平面向量的線性運(yùn)算03平面向量的數(shù)量積04平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示05平面向量的綜合應(yīng)用06三角形的“心”的向量表示01平面向量的有關(guān)概念1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．A．零向量沒有方向B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C．只有零向量的模等于0D．向量與的長(zhǎng)度相等【答案】A【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由相等向量的定義判斷；C.由向量模的定義判斷；D.由相反向量的定義判斷.【解析】A.規(guī)定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故錯(cuò)誤；B.兩個(gè)相等的向量大小相同，方向相同，所以若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同，故正確；C.由向量模的定義可知只有零向量的模等于0，故正確；D.向量與是相反向量，大小相同，方向相反，故正確；故選：A2．若向量與為非零向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若非零向量，則與的方向相同D．若，則【答案】C【分析】利用平面向量不能比大小可判斷選項(xiàng)A；利用平面向量的加法與減法法則可判斷選項(xiàng)B；由平面向量的數(shù)量積和模的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)向量相等的定義判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于向量不能比大小，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕裕裕O(shè)向量又向量與是非零向量，所以，又，所以，故與的方向相同；C正確；若，方向不一定相同，則不一定相等，D錯(cuò)誤；故選：C.3．與向量平行的所有單位向量為（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】首先求出，則與向量平行的單位向量為或，即可判斷.【解析】因?yàn)椋裕耘c向量平行的單位向量為或.故選：D4．已知兩個(gè)單位向量，的夾角是，則.【答案】【分析】利用單位向量模長(zhǎng)以及夾角，將平方即可求得結(jié)果.【解析】由單位向量可知，且；所以可得，即.故答案為：02平面向量的線性運(yùn)算5．在中，是的中點(diǎn)，在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用平面向量基本定理結(jié)合向量的加減法運(yùn)算求解即可.【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)椋裕瑒t.故選：D6．如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點(diǎn)，若，，為AD中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.【解析】故選：A7．如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法法則、向量減法法則及平面向量基本定理即可求解.【解析】對(duì)A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且與方向相同，則，故A正確；對(duì)B：由圖可知，，，所以，故B正確；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：D.8．在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量基本定理將用表示出來(lái)，再用向量的線性運(yùn)算把用表示即可.【解析】由于，所以，故選：D9．如圖所示，（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，由平面向量正交分解和向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【解析】由題意得，，，故.故選：A．10．已知向量不共線，則向量與共線時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，列式計(jì)算即得.【解析】由向量不共線，得向量，由向量與共線，得，于是，所以.故選：B11．已知是邊長(zhǎng)為1的正的邊上靠近C的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【解析】如圖，

，，所以.故選：A12．在中，且，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由條件推得為等腰直角三角形，不妨作正方形，取邊長(zhǎng)為1，結(jié)合圖形依次化簡(jiǎn)等式的左右向量式，計(jì)算即可判斷正誤.【解析】由可知,又由可得，故得為等腰直角三角形.如圖，作正方形，設(shè)邊長(zhǎng)為1，連接.

對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，而，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，而，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，而，故D項(xiàng)正確.故選：C.03平面向量的數(shù)量積13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，是的中點(diǎn)，，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合正弦定理邊化角即可得解.【解析】在中，是的中點(diǎn)，，則，即，因此，所以.故答案為：14．在中，，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是.【答案】【分析】由，得到，從而有，再根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，然后利用基本不等式求解.【解析】解：因?yàn)樵谥校裕忠驗(yàn)椋瑒t，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，結(jié)合題意知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：15．已知向量滿足，，則（

）A．－2 B． C． D．6【答案】A【分析】由條件，兩邊平方可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)可求結(jié)論.【解析】因?yàn)椋裕裕裕郑裕蔬x：A.16．已知平面向量，均為單位向量，若，則向量，的夾角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】?jī)蛇吰椒剑蟪觯孟蛄繆A角余弦公式求出答案.【解析】,因?yàn)椋鶠閱挝幌蛄浚裕獾茫裕郑?故選：C.17．若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由與的夾角為銳角，則，列出不等式解出，要去掉使與同向（與的夾角為0）的的取值.【解析】∵與的夾角為銳角，∴，即，解得，當(dāng)與共線時(shí)，可得，解得，所以當(dāng)時(shí)，與同向，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.18．已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，推理得到，再由投影向量求得，聯(lián)立得到，利用兩向量的夾角公式計(jì)算即得.【解析】因?yàn)槭菃挝幌蛄浚遥瑑蛇吰椒降茫矗?），由在上的投影向量為，可得，所以，即，代入（*）可得，，即，所以，因?yàn)椋裕蔬x：B．19．已知向量，，，若與的夾角為，且⊥，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算得到，再由向量垂直得到方程，求出.【解析】，即，所以，因?yàn)椤停裕獾霉蔬x：A20．在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，Q為邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍為．【答案】【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，引入?yún)?shù)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式將表示成的函數(shù)，由此即可得解.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：由題意，設(shè)，從而，所以的取值范圍是.故答案為：.21．已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B．-2 C．-4 D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)C，結(jié)合垂徑定理與數(shù)量積的運(yùn)算表示出后，借助三角函數(shù)值域即可得解.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為C，∵，，則，∵C為的中點(diǎn)，∴，設(shè)向量與的夾角為，∴，又，∴的最小值為.故選：C.22．在平行四邊形中，，點(diǎn)為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為，由，兩邊平方可表示出，同理可表示，四個(gè)式子相加化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.【解析】設(shè)與的交點(diǎn)為，由，得，同理可得，，，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立.故選：C04平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示23．設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】根據(jù)基底的概念及平面向量基本定理判斷即可.【解析】、是不共線的兩個(gè)非零向量，對(duì)于A，和中，，和不共線，可作基底，A不是；對(duì)于B，與中，，與不共線，可作基底，B不是；對(duì)于C，與中，，與共線，不能作基底，C是；對(duì)于D，與中，，與不共線，可作基底，D不是.故選：C24．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，.向量，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由得到，再利用余弦定理即可得解.【解析】因?yàn)椋裕矗捎嘞叶ɡ砜傻?因?yàn)椋裕蔬x：D.25．已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（

）A．2 B． C． D．6【答案】A【分析】首先由數(shù)量積的定義求出，再由平面向量線性運(yùn)算法則得到，最后根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【解析】因?yàn)橄蛄浚膴A角為，，，所以，又因?yàn)椋?故選：A26．已知向量，若不超過(guò)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再由不超過(guò)求解.【解析】解：因?yàn)椋也怀^(guò)，所以，解得，故選：D．27．如圖，在等腰梯形中，，則.

【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)法求向量數(shù)量積.【解析】在等腰梯形中，，過(guò)作的垂線，垂足為，，，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

依題意可得，由，得，所以，得故答案為：.28．如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)題意，得到且，再由，可得是的四等分點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，求得，求得的值，即可求解.【解析】如圖所示，延長(zhǎng)交于，由已知為的重心，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，且，又由，可得是的四等分點(diǎn)，則，因?yàn)椋裕裕蔬x：C.29．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題意，求得且，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，可得其外接圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在的外接圓上，設(shè)，其中，則，且，又因?yàn)椋傻们遥裕?dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為，所以取得最大值為.故選：C.30．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為．【答案】【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，討論四種情況，即可求出的取值范圍.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，所以，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)的取值范圍為，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.31．已知菱形邊長(zhǎng)為1，且為線段的中點(diǎn)，若在線段上，且，則，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的垂線交邊于點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，由題意可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得所需向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可得，借助向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可得的最小值.【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則有、，

由，則，則，則，，則，，由，即，則，則，，又在線段上，故有，解得，即，；設(shè)，，則，由，則，由，，則，則，則，故，則，，，則，則當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：；.05平面向量的綜合應(yīng)用32．在中，，，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非直角）三角形【答案】A【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可得到，再由數(shù)量積的定義求出，即可判斷.【解析】因?yàn)椋矗矗裕矗瑒t，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以，又，所以，所以，所以是等腰直角三角形．故選：A33．已知圓錐的底面半徑為2，點(diǎn)P為底面圓周上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面（異于頂點(diǎn)和底面圓周）上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式結(jié)合夾角余弦的范圍計(jì)算即可.【解析】如圖所示，延長(zhǎng)交底面圓周于B，過(guò)Q作底面圓于G點(diǎn)，顯然，由題意可知，所以的取值范圍為.故選：A34．已知圓的半徑為1，過(guò)圓外一點(diǎn)作一條切線與圓相切于點(diǎn)，，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)余弦函數(shù)的范圍即可得到數(shù)量積范圍；方法二：根據(jù)數(shù)量積與投影向量之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.【解析】方法一：不妨設(shè)圓心，，，，所以，因?yàn)椋?方法二：如圖，過(guò)圓心作，且與圓交于點(diǎn)M，N，連接，，過(guò)M，N分別作，，垂足分別為G，H，過(guò)作，垂足為，則在方向上的投影向量為，則，，又，所以.故選：B.

35．如圖所示，O點(diǎn)在內(nèi)部，分別是邊的中點(diǎn)，且有，則的面積與的面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知三點(diǎn)共線，且，再由三角形面積公式即可求解.【解析】由可得，又因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，，所以，即，所以三點(diǎn)共線，且，所以到的距離與到的距離之比也為，又的面積與的面積都以為底，所以的面積與的面積的比為．故選：A06三角形的“心”的向量表示36．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（

）A．點(diǎn)為的內(nèi)心 B．點(diǎn)為的外心C． D．為等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積運(yùn)算律，結(jié)合向量加減計(jì)算判斷得解.【解析】在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點(diǎn)為的外心，B正確，無(wú)判斷ACD成立的條件.故選：B37．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【分析】取線段的中點(diǎn)，則，依題可得，即可得答案.【解析】取線段的中點(diǎn)，則.動(dòng)點(diǎn)滿足：，，則，即，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡是直線，一定通過(guò)的重心.故選：A.38．在中，角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)分別為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且有，，，，則點(diǎn)分別為的（

）A．垂心，重心，外心，內(nèi)心 B．垂心，重心，內(nèi)心，外心C．外心，重心，垂心，內(nèi)心 D．外心，垂心，重心，內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)三角形垂心，重心，外心，內(nèi)心的定義和性質(zhì)結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算和共線定理，分別推導(dǎo)即可.【解析】由，得，即，則，所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心；由，得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，，三點(diǎn)共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點(diǎn)，故為的重心；由，得，即，又是的中點(diǎn)，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故是的外心；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)椋c(diǎn)共線，則設(shè)（），且，，代入，得，即①，又因?yàn)榕c共線，與、不共線，則只能當(dāng)且時(shí)，①成立，即，則,由正弦定理得：，又，則，即，又，所以，則是的角平分線，即點(diǎn)在的角平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故是的內(nèi)心；故選：A.39．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.【答案】2【分析】根據(jù)的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點(diǎn)、角平分線的交點(diǎn)、中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進(jìn)而判斷每個(gè)命題的正誤.【解析】①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，則點(diǎn)P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點(diǎn)A到邊的距離，設(shè)為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，的垂心與點(diǎn)A重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)P不滿足公式，所以④不正確；故答案為：2.一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用向量垂直關(guān)系可得向量積為0，然后用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得結(jié)果.【解析】,,由得：，則，所以，故選：B.2．（2024·重慶·三模）已知，向量為單位向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量坐標(biāo)求出模，將，運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算律展開求得，最后利用向量夾角公式計(jì)算即得.【解析】因?yàn)椋桑瑒t，所以.故選：B3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果即可.【解析】因?yàn)椋裕淼茫矗裕怨蔬x：B.4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意得，由三點(diǎn)共線求得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解.【解析】，，且，而三點(diǎn)共線，，即，，所以.故選：A.5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值即得.【解析】由可得，因，故時(shí)，，即的最小值為.故選：B．6．（2024·四川成都·三模）已知正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的點(diǎn)(均不與端點(diǎn)重合)，記的面積分別為.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形的面積公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式求解即可.【解析】設(shè)，則，，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：，，又，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又，即，即，則.故選：D.

7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)，，…，，記，則（

）A．18 B．180 C． D．【答案】B【分析】建立坐標(biāo)系，求出直線的方程，利用坐標(biāo)法表示數(shù)量積即可求解.【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建系，如圖所示：則，，，，直線的方程為：，設(shè)，，則有，，，則，所以.故選：B8．（2024·廣東廣州·三模）設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若且，則；③若，則對(duì)于任意向量，都有；④若，則對(duì)于任意向量，都有；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析①③，舉反例判斷②④.【解析】對(duì)于①：若，，則，所以，故①正確；對(duì)于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對(duì)于④：取，可知，但，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.二、多選題9．（2020·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說(shuō)法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為2【答案】CD【分析】通過(guò)求出，向量在方向上的投影，利用平行關(guān)系結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.【解析】由題意，均為正數(shù)，，A項(xiàng)，∵，∴與的夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，∵，∴向量在方向上的投影為，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，∵，，∴，即，C正確；D項(xiàng)，∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為2，D正確；故選：CD.10．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部【答案】AC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．【解析】，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)椋裕矗蔆正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；故選：AC．11．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）半圓形