專題09函數的圖像函數的零點（八大題型+模擬精練）目錄：01畫函數的變換圖像02識別函數的圖像03函數圖像變換的應用04求函數的零點及個數05二分法求函數的零點06根據函數的零點求參數07函數零點的其他應用08補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用01畫函數的變換圖像1．（2024高三·全國·專題練習）作出下列函數的圖象：(1)；(2)；(3)y＝|log2x－1|；02識別函數的圖像2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的圖象為（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A．B． C． D．4．（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．03函數圖像變換的應用5．（2024·四川南充·二模）已知函數，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱6．（22-23高二上·河南·階段練習）直線過函數圖象的對稱中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．57．（2022高三·全國·專題練習）已知二次函數的圖象的頂點坐標是，且截軸所得線段的長度是4，將函數的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線，則拋物線與軸的交點是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·河南南陽·期末）已知函數的定義域為且滿足，，將的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數的圖象.(1)分別求與的解析式；(2)設函數，若在區間上有零點，求實數的取值范圍.04求函數的零點及個數9．（2023高三·全國·專題練習）已知指數函數為，則函數的零點為（

）A． B．0C．1 D．210．（2023·陜西西安·模擬預測）函數的零點為（

）A． B．2 C． D．11．（2024高三·全國·專題練習）函數f（x）＝2x＋x－2的零點個數是（）A．0 B．1C．2 D．312．（2019高三·山東·學業考試）函數零點個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．013．（2024·廣東湛江·二模）已知函數，，則（

）A．當有2個零點時，只有1個零點B．當有3個零點時，有2個零點C．當有2個零點時，有2個零點D．當有2個零點時，有4個零點14．（2024·全國·模擬預測）函數的圖像關于點中心對稱，將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像，則函數在區間內的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．405二分法求函數的零點15．（2023高三·全國·專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為（）A．5 B．6 C．7 D．816．（2019高三·全國·專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是（

）A．

B．

C．

D．

06根據函數的零點求參數17．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．18．（2023高三·全國·專題練習）函數在區間內有零點，則實數k的取值范圍是.19．（22-23高三·全國·課后作業）已知函數的零點，，則．20．（22-23高三·全國·對口高考）方程在區間上有解，則實數a的取值范圍為．21．（2024·全國·模擬預測）若不等式或只有一個整數解，則稱不等式為單元集不等式．已知不等式為單元集不等式，則實數a的取值范圍是．07函數零點的其他應用22．（23-24高三上·山東威海·期末）已知函數的圖象是連續不斷的，且的兩個相鄰的零點是，，則“，”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件23．（2020·江西贛州·模擬預測）設函數在區間上存在零點，則的最小值為（

）A． B． C．7 D．24．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知是函數的一個零點，若，，則（

）A．， B．，C．， D．，25．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知三個函數，，的零點依次為，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．26．（20-21高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數（其中a∈R），若的四個零點從小到大依次為，則的值是（

）A．16 B．13 C．12 D．1008補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用27．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（

）A． B．C． D．28．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．29．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數據：月份23456…元1.402.565.311121.30…請從模型，模型中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過300元的月份為（

）（參考數據：，）A．8 B．9 C．10 D．1130．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過31．（2024·全國·模擬預測）2024年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球探測兩大任務，其中，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，當空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是（參考數據：，）（

）A．1.587 B．1.442C．0.587 D．0.442（

）32．（23-24高三下·陜西·階段練習）某種生物群的數量Q與時間t的關系近似的符合：（其中e為自然對…），給出下列四個結論，根據上述關系，其中錯誤的結論是（

）A．該生物群的數量不超過10B．該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小C．該生物群的數量的增長速度與種群數量成正比D．該生物群的數量的增長速度最大的時間33．（23-24高三下·甘肅·階段練習）北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅省臨夏州積石山縣發生里氏6.2級地震，震源深度10公里．面對突發災情，社會各界和愛心人士發揚“一方有難、八方支援”的中華民族團結互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災區群眾渡過難關．震級是以地震儀測定的每次地震活動釋放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級．能量E與里氏震級M的對應關系為，試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（

）A．100倍 B．512倍 C．1000倍 D．1012倍34．（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉周期T有如下關系：，其中M為太陽質量，G為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍35．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車．”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據駕駛人員血液、呼氣酒精含量來確定，經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值隨著時間x（小時）的變化規律，可以用函數模型來擬合，則該人喝一瓶啤酒至少經過多少小時后才可以駕車？（

）（參考數據：，）駕駛行為類別酒精含量值（mg/100mL）飲酒駕駛醉酒駕駛A．5 B．6 C．7 D．836．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為．則下列結論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰斗演習勝利D．若，則紅方獲得戰斗演習勝利一、單選題1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的零點是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-12．（2023·陜西西安·模擬預測）函數的零點為（

）A． B．2 C． D．3．（2024·湖南·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式可能為（

）A． B．C． D．4．（2024·山西長治·一模）研究人員用Gompertz數學模型表示治療時長（月）與腫瘤細胞含量的關系，其函數解析式為，其中為參數．經過測算，發現（為自然對數的底數）．記表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的，那么的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江杭州·模擬預測）若函數有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數的零點分別為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·陜西漢中·二模）已知函數，若函數有4個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數的圖象在區間內恰好有對關于軸對稱的點，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫10．（2024·黑龍江·二模）定義在上的偶函數滿足，當時，.設函數，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象在處的切線方程為C．D．的圖象與的圖象所有交點的橫坐標之和為1011．（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數，，則（

）A．若有2個不同的零點，則B．當時，有5個不同的零點C．若有4個不同的零點，則的取值范圍是D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是三、填空題12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數零點所在的一個區間.13．（2024·河南·二模）已知函數是偶函數，對任意，均有，當時，，則函數的零點有個.14．（2024·全國·模擬預測）已知函數，若方程有7個不同的實數根，則實數的取值范圍是．四、解答題15．（2024·山東聊城·二模）對于函數，若存在實數，使，其中，則稱為“可移倒數函數”，為“的可移倒數點”．已知．(1)設，若為“的可移倒數點”，求函數的單調區間；(2)設，若函數恰有3個“可移1倒數點”，求的取值范圍．成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數學同步資源大全QQ群552511468也可聯系微信fjshuxue加入百度網盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題09函數的圖像函數的零點（八大題型+模擬精練）目錄：01畫函數的變換圖像02識別函數的圖像03函數圖像變換的應用04求函數的零點及個數05二分法求函數的零點06根據函數的零點求參數07函數零點的其他應用08補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用01畫函數的變換圖像1．（2024高三·全國·專題練習）作出下列函數的圖象：(1)；(2)；(3)y＝|log2x－1|；【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】(1)去絕對值化簡成分段函數，畫出圖象即可．(2)原式變形為y＝1＋，先作出y＝的圖象，再結合圖象變換，即可得出結論．(3)先作出y＝log2x的圖象，結合圖象變換，即可得出結論．【解析】(1)首先要化簡解析式，y＝利用二次函數的圖象作出其圖象，如圖①所示.(2)原式變形為y＝1＋，先作出y＝的圖象，再將其圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位，即得如圖②所示.(3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方來，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖③所示.【點睛】本題主要考查了絕對值函數圖象的畫法，關鍵是化為分段函數或利用圖象變換來畫圖，屬于中檔題．02識別函數的圖像2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.【解析】因為，所以當時，，故排除ABC，又的圖象可由函數的圖象向右平移一個單位得到，則D正確.故選：D.3．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據時的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解析】，因為當時，都為增函數，所以，在上單調遞增，故B，C錯誤；又因為，所以不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.故選：A4．（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調性排除D，從而得解.【解析】對于B，當時，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯誤；對于C，，定義域為，又，則的圖象關于軸對稱，故C錯誤；對于D，當時，，由反比例函數的性質可知，在上單調遞減，故D錯誤；檢驗選項A，滿足圖中性質，故A正確.故選：A.03函數圖像變換的應用5．（2024·四川南充·二模）已知函數，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】A【分析】首先判斷函數為奇函數，再根據函數平移規則判斷即可.【解析】函數的定義域為，又，所以為奇函數，則函數的圖象關于原點對稱，又的圖象是由的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到，所以函數的圖象關于點對稱.故選：A6．（22-23高二上·河南·階段練習）直線過函數圖象的對稱中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函數圖象平移與奇函數的性質求得的對稱中心，從而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【解析】函數的圖象，可由的圖象向右平移1個單位，再向上2個單位得到，又的定義域為，，所以是奇函數，則其對稱中心為，故的對稱中心為，所以，即，所以，當且僅當，即時,等號成立，所以的最小值為.故選：A.7．（2022高三·全國·專題練習）已知二次函數的圖象的頂點坐標是，且截軸所得線段的長度是4，將函數的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線，則拋物線與軸的交點是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函數的性質，結合待定系數法求得，再利用平移的特征求得，從而得解.【解析】因為二次函數的圖象的頂點為，故的對稱軸為直線，又的圖象截軸所得線段的長度是4，所以的圖象與軸的交點坐標為和，設，將點代入得，解得，所以，因為的圖象為的圖象右移2個單位得到的，所以，令，則，所以與軸交點生標為.故選：B.8．（23-24高一上·河南南陽·期末）已知函數的定義域為且滿足，，將的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數的圖象.(1)分別求與的解析式；(2)設函數，若在區間上有零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用換元法求得的解析式，根據圖象變換的知識求得的解析式.（2）先求得的解析式，然后利用換元法，根據根據函數的零點與方程的解、分離參數法、對鉤函數的性質求得的取值范圍.【解析】（1）令，，則，，所以，則.由題意可得，.（2）.令，當時，，函數有零點等價于關于的方程在上有解.令，則，，所以，由雙勾函數的單調性可知，函數在上單調遞減，當時，該函數取得最小值，即，當時，該函數取得最大值，即，因此，實數m的取值范圍為.【點睛】利用換元法求函數的解析式，要注意函數的定義域在求解過程中的變化.求解函數的零點問題，可轉化為方程的根來進行研究.如果零點問題含有參數，則可以考慮分離參數法、構造函數，轉化為值域問題來進行求解.04求函數的零點及個數9．（2023高三·全國·專題練習）已知指數函數為，則函數的零點為（

）A． B．0C．1 D．2【答案】C【分析】根據給定條件，解指數方程即可作答.【解析】函數，由，即，整理得，解得，所以函數的零點為1.故選：C10．（2023·陜西西安·模擬預測）函數的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據零點的定義即可求解.【解析】令，得，則．故選：A11．（2024高三·全國·專題練習）函數f（x）＝2x＋x－2的零點個數是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上單調遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數的零點個數為1.故選B.12．（2019高三·山東·學業考試）函數零點個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據零點的定義計算即可.【解析】由得：或解得或．因此函數共有2個零點．故選：B.13．（2024·廣東湛江·二模）已知函數，，則（

）A．當有2個零點時，只有1個零點B．當有3個零點時，有2個零點C．當有2個零點時，有2個零點D．當有2個零點時，有4個零點【答案】D【分析】作出函數，圖象，兩個函數的零點個數轉化為它們的圖象與的圖象的公共點的個數，結合圖象可得答案.【解析】兩個函數的零點個數轉化為圖象與的圖象的公共點的個數，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當有2個零點時，無零點或只有1個零點；當有3個零點時，只有1個零點；當有2個零點時，有4個零點.故選：D14．（2024·全國·模擬預測）函數的圖像關于點中心對稱，將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像，則函數在區間內的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】正弦函數的圖像與性質、三角函數圖像的平移變換【解析】函數的圖像關于點中心對稱，，∴,又，則．將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像,令，得∴函數在區間內的零點有，共4個.故選：D．05二分法求函數的零點15．（2023高三·全國·專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于長度等于1區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過次操作后，區間長度變為，若要求精確度為時則，解不等式即可求出所需二分區間的最少次數.【解析】因為開區間的長度等于1，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，所以經過次操作后，區間長度變為，令，解得，且，故所需二分區間的次數最少為7.故選：C.16．（2019高三·全國·專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據零點的存在定理及二分法分析各選項的函數圖象，即可得到答案．【解析】根據二分法的思想，函數在區間上的圖象連續不斷，且，即函數的零點是變號零點，才能將區間一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項的函數圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項C不符合，因為圖象經過零點時函數值的符號沒有發生變化，因此不能用二分法求函數零點．故選：C.06根據函數的零點求參數17．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理列式求出的取值范圍，結合必要不充分條件的意義判斷即得.【解析】函數在上單調遞增，由函數在內有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D18．（2023高三·全國·專題練習）函數在區間內有零點，則實數k的取值范圍是.【答案】【分析】根據題意將問題轉化為與，的圖象有交點，再由在上遞增，可求得結果.【解析】令，則，即，即與，的圖象有交點，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以，即，所以，即實數k的取值范圍是，故答案為：19．（22-23高三·全國·課后作業）已知函數的零點，，則．【答案】2【分析】判斷函數的單調性，結合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.【解析】因為函數為R上單調減函數，故函數為R上單調減函數，又，，故在上有唯一零點，結合題意可知，故答案為：220．（22-23高三·全國·對口高考）方程在區間上有解，則實數a的取值范圍為．【答案】【分析】根據在區間端點的正負列式求解即可.【解析】考查，因為，且開口向上，故在區間上最多有一個零點，結合零點存在性定理可得，若方程在區間上有解，則，即，解得.故答案為：21．（2024·全國·模擬預測）若不等式或只有一個整數解，則稱不等式為單元集不等式．已知不等式為單元集不等式，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】不等式轉化為，引入函數，，分類討論作出函數圖象，利用數形結合思想求解．【解析】根據題意可轉化為滿足的整數x的個數為1．令，，當時，作出函數和的圖象，如圖所示，數形結合得，的解集中整數的個數有無數多個，不符合題意；當時，，所以，解得，只有一個整數解，所以符合題意；當時，作出函數和的圖象，如圖所示，要使的整數解只有一個，只需滿足，即，結合可得．綜上所述，實數a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】方法點睛：根據函數的零點個數求解參數范圍，一般方法：（1）轉化為函數最值問題，利用導數解決；（2）轉化為函數圖像的交點問題，數形結合解決問題；（3）參變分離法，結合函數最值或范圍解決.07函數零點的其他應用22．（23-24高三上·山東威海·期末）已知函數的圖象是連續不斷的，且的兩個相鄰的零點是，，則“，”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結合函數的單調性，由充分必要條件的判斷方法求解即可.【解析】解：由題意知，，對任意，而函數的圖象是連續不斷的，由，，可得，，充分性成立，反之，，顯然可推出，，必要性成立，故“，”是“，”的充要條件，故選：C23．（2020·江西贛州·模擬預測）設函數在區間上存在零點，則的最小值為（

）A． B． C．7 D．【答案】B【分析】設t為在上的零點，可得，轉化為點在直線上，根據的幾何意義，可得，令，利用導數求得函數的單調性和最值，即可得答案.【解析】設t為在上的零點，則，所以，即點在直線，又表示點到原點距離的平方，則，即，令，可得，因為，所以，可得在上為單調遞增函數，所以當t=0是，，所以，即的最小值為.故選：B【點睛】解題的關鍵是根據的幾何意義，將方程問題轉化為求距離問題，再構造新函數，利用導數求解，分析、計算難度大，屬難題.24．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知是函數的一個零點，若，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用數形結合判定函數值大小即可.【解析】令．從而有，此方程的解即為函數的零點．在同一坐標系中作出函數與的圖象，如圖所示．由圖象易知，，從而，故，即．同理．故選：D

25．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知三個函數，，的零點依次為，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的單調性以及零點存在性定理得出結果.【解析】因為，在R上為增函數，在上為增函數，所以由題知函數，，在各自定義域上都為增函數，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故選：D.26．（20-21高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數（其中a∈R），若的四個零點從小到大依次為，則的值是（

）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】C【分析】根據零點的定義，通過轉化法、數形結合思想進行求解即可.【解析】令，設，圖象如下圖所示：所以有，且，因此可得，所以，故選：C08補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用27．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.【解析】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調遞增且單位增長率變快；第三，函數圖象過原點.A選項：函數在定義域內單調遞減，故A錯誤；B選項：函數的單位增長率恒定不變，故B錯誤；C選項：滿足上述三點，故C正確；D選項：函數在處無意義，D錯誤.故選：C28．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．【答案】A【分析】由函數的數據即可得出答案.【解析】由函數的數據可知，函數，偶函數滿足此性質，可排除B，D；當時，由函數的數據可知，函數增長越來越快，可排除C.故選：A.29．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數據：月份23456…元1.402.565.311121.30…請從模型，模型中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過300元的月份為（

）（參考數據：，）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用給出函數的表格法確定自變量與函數值之間的關系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出自變量的范圍.【解析】根據表格提供的數據，畫出散點圖，并畫出函數及的圖象．如圖：

觀察發現，這些點基本上是落在函數圖象上或附近，因此用這一函數模型．當時，，則有.由且，最小值為10.故選：C.30．（2024·北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風面積，是該飛行器相對于空氣的速度，是空氣阻力系數（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當不變，比原來提高時，下列說法正確的是（

）A．若不變，則比原來提高不超過B．若不變，則比原來提高超過C．為使不變，則比原來降低不超過D．為使不變，則比原來降低超過【答案】C【分析】由題意可得，，結合選項，依次判斷即可.【解析】由題意，，所以，，A：當，不變，比原來提高時，則，所以比原來提高超過，故A錯誤；B：由選項A的分析知，，所以比原來提高不超過，故B錯誤；C：當，不變，比原來提高時，，所以比原來降低不超過，故C正確；D：由選項C的分析知，比原來降低不超過，故D錯誤.故選：C31．（2024·全國·模擬預測）2024年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球探測兩大任務，其中，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，當空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是（參考數據：，）（

）A．1.587 B．1.442C．0.587 D．0.442（

）【答案】C【分析】利用指數和對數的運算求解即可.【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，設，當空間站運行周期增加1倍時，設此時半徑為，則，兩式相比得：，即，故，故圓軌道半徑增加的倍數大約是.故選：C.32．（23-24高三下·陜西·階段練習）某種生物群的數量Q與時間t的關系近似的符合：（其中e為自然對…），給出下列四個結論，根據上述關系，其中錯誤的結論是（

）A．該生物群的數量不超過10B．該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小C．該生物群的數量的增長速度與種群數量成正比D．該生物群的數量的增長速度最大的時間【答案】C【分析】對解析式上下同時除以，結合反比例函數模型可判斷A正確；對，求導，即為該生物種群數量的增長速度與時間的關系式，結合導函數特征和對勾函數模型可判斷C錯，BD正確【解析】因為，，故該生物種群的數量不會超過10，故A正確；由，求導得，顯然該生物種群數量的增長速度與種群數量不成正比，故C錯誤；因為為對勾函數模型，故，當且僅當，即時取到等號，當時生物群的數量的增長速度隨時間的增加而增加，當時生物群的數量的增長速度隨時間的增加減小，即該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；且當時，最大，故BD正確.故選：C.33．（23-24高三下·甘肅·階段練習）北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅省臨夏州積石山縣發生里氏6.2級地震，震源深度10公里．面對突發災情，社會各界和愛心人士發揚“一方有難、八方支援”的中華民族團結互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災區群眾渡過難關．震級是以地震儀測定的每次地震活動釋放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級．能量E與里氏震級M的對應關系為，試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（

）A．100倍 B．512倍 C．1000倍 D．1012倍【答案】C【分析】借助能量E與里氏震級M的對應關系計算即可得.【解析】由，設，則，即，.故選：C.34．（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉周期T有如下關系：，其中M為太陽質量，G為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】B【分析】根據已知的公式，由周期的倍數關系求出長半軸長的倍數關系即可.【解析】設火星的公轉周期為，長半軸長為，火星的公轉周期為，長半軸長為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．35．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車．”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據駕駛人員血液、呼氣酒精含量來確定，經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值隨著時間x（小時）的變化規律，可以用函數模型來擬合，則該人喝一瓶啤酒至少經過多少小時后才可以駕車？（

）（參考數據：，）駕駛行為類別酒精含量值（mg/100mL）飲酒駕駛醉酒駕駛A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】可結合分段函數建立不等式，利用指數不等式的求解即可.【解析】對于由，則，函數先增后減，當時，，所以，該人喝一瓶啤酒后的2個小時內，其血液酒精含量可能大于20，則駕車只能在2個小時之后，令，即，解得，，的最小值為6，故至少經過6小時才可以駕車.故選：B.36．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為．則下列結論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰斗演習勝利D．若，則紅方獲得戰斗演習勝利【答案】C【分析】對于A根據已知條件利用作差法比較大小即可得出，對于B，利用A中結論可得藍方兵力先為0，即解得；對于C和D，若要紅方獲得戰斗演習勝利，分別解出紅、藍兩方兵力為0時所用時間、，比較大小即可.【解析】對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當時根據A中的結論可知，所以藍方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數可得，即，所以戰斗持續時長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可，設紅方兵力為時所用時間為，藍方兵力為時所用時間為，即，可得同理可得，即，解得，又因為都為正實數，所以可得，紅方獲得戰斗演習勝利；所以可得C錯誤，D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題給的信息比較多，關鍵是理解題意，然后利用相應的知識（作差法、指數函數的性質）進行判斷.一、單選題1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數的零點是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-1【答案】A【分析】由題意令可得關于的方程，進而求解.【解析】由題意令，因為，所以，即.故選：A.2．（2023·陜西西安·模擬預測）函數的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據零點的定義即可求解.【解析】令，得，則．故選：A3．（2024·湖南·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.【解析】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除C；由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除B；由圖可知，當時，，而對于D選項，當時，，故排除D.故選：A.4．（2024·山西長治·一模）研究人員用Gompertz數學模型表示治療時長（月）與腫瘤細胞含量的關系，其函數解析式為，其中為參數．經過測算，發現（為自然對數的底數）．記表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定信息，列出方程并求解即得.【解析】依題意，，而，則，即，又，解得，所以.故選：D5．（2024·浙江杭州·模擬預測）若函數有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數與方程的思想將函數有兩個零點轉化為函數與函數的圖象有兩個交點，求導并畫出函數的圖象求得切線方程，再由數形結合即可求得的取值范圍.【解析】由可得，則函數與函數的圖象有兩個交點；設，則，令，解得；令，解得；所以在上單調遞增，在上單調遞減；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；函數與函數的圖象如圖所示：切線與在軸上的截距分別為,當時，與函數的圖象有一個交點，故實數的取值范圍為.故選：A6．（2024·新疆烏魯木齊·二模）設，函數的零點分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意分別為函數與函數圖象交點的橫坐標，作出函數的圖象，結合函數圖象即可得解.【解析】分別令，則，則分別為函數與函數圖象交點的橫坐標，分別作出函數的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：A.7．（2024·陜西漢中·二模）已知函數，若函數有4個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知：函數的零點個數即為與的交點個數，利用導數求過原點的切線，結合圖象分析求解.【解析】作出的圖象，如圖所示令，可得，由題意可知：函數的零點個數即為與的交點個數，若，則，可得，設切點坐標為，切線斜率為，則切線方程為，代入點，可得，解得，此時切線斜率為；若，則，可得，設切點坐標為，切線斜率為，則切線方程為，代入點，可得，解得，此時切線斜率為；結合圖象可知的取值范圍為.故選：D.【點睛】易錯點睛：數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題．它包含以形助數和以數解形兩個方面．一般來說，涉及函數、不等式、確定參數取值范圍、方程等問題時，可考慮數形結合法．運用數形結合法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導致錯誤的選擇．8．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數的圖象在區間內恰好有對關于軸對稱的點，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】令，，根據對稱性，問題可以轉化為與的圖象在內有個不同的交點，畫出函數圖象，數形結合即可判斷.【解析】令，，因為與的圖象關于軸對稱，因為函數的圖象在區間內恰好有對關于軸對稱的點，所以問題轉化為與的圖象在內有個不同的交點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示：因為，當時，，結合圖象及選項可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是轉化為與的圖象在內有個不同的交點.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數關系（為常數，是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫【答案】ACD【分析】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數解析式，將代入，即可判斷C；結合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷D.【解析】設，代入，得,解得，A正確，B錯誤．此時，所以，C正確．當時，即，得，所以，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確．故選:ACD．10．（2024·黑龍江·二模）定義在上的偶函數滿足，當時，.設函數，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象在處的切線方程為C．D．的圖象與的圖象所有交點的橫坐標之和為10【答案】ACD【分析】對于A，根據奇偶性和對稱性可得圖象關于對稱；對于B，根據周期性和對稱性可求函數在給定范圍范圍上的解析式，故可求切線方程；對于C，根據周期性可求目標代數式的值；對于D，數形結合后可求交點的橫坐標的和.【解析】對于A，因為為偶函數，故，故，所以，故的圖象關于直線對稱，故A正確.對于B，由A中分析可得是周期函數且周期為，故當時，，故，故當時，，故，故切線方程為：，故B錯誤.對于C，由是周期函數且周期為可得：，故C正確.對于D，因為，故的圖象關于對稱，而，且時，此時在上為增函數，故圖象如圖所示：由圖可得的圖象與的圖象共有10個交點，所有交點的橫坐標之和為10.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：分段函數的性質討論，一般需利用變換的思想探究該函數的周期性、對稱性，如果已知確定范圍上的解析式，那么可利用周期性和對稱性求出其他范圍上的解析式；對于不同函數的交點情況的討論，可結合它們的圖象來分析.11．（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數，，則（

）A．若有2個不同的零點，則B．當時，有5個不同的零點C．若有4個不同的零點，則的取值范圍是D．若有4個不同的零點，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】作出的圖象，由有2個不同的零點，結合圖象，可判