專題04基本不等式（九大題型+模擬精練）目錄：01基本不等式的內容辨析02利用基本不等式比較大小03利用基本不等式求最值04條件等式求最值05基本不等式“1”的妙用06對勾函數、類對勾函數求最值07基本不等式在其他模塊的應用08高考新考法—以生活情境、傳統文化等為背景考查基本不等式09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題01基本不等式的內容辨析1．（21-22高一下·廣東深圳·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．2．（2022高一·全國·專題練習）已知為實數，且，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（22-23高一上·江蘇常州·階段練習）下列說法，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為02利用基本不等式比較大小4．（2023·河南開封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．5．（21-22高三上·河南·階段練習）已知關于的方程有兩個實根，，則下列不等式中正確的有.（填寫所有正確結論的序號）①；

②③；

④.03利用基本不等式求最值6．（23-24高一上·重慶·期末）函數的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．7．（23-24高一上·北京·階段練習）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）函數的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．704條件等式求最值9．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數，滿足，則（

）A． B． C． D．10．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．05基本不等式“1”的妙用11．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．1112．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．06對勾函數、類對勾函數求最值13．（2023高三·全國·專題練習）函數y＝x＋（x≥2）取得最小值時的x值為．14．（2023高三·全國·專題練習）函數f（x）＝＋1的最小值為．15．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知正實數x，y滿足，函數的最小值為，則實數取值的集合為．07基本不等式在其他模塊的應用16．（23-24高三下·北京順義·階段練習）若數列為等比數列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件17．（22-23高三上·寧夏石嘴山·階段練習）下列結論正確的是（）A．當且時，B．當時，的最小值為4C．當時，D．當時，18．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．19．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）已知正實數滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（23-24高一上·山西太原·階段練習）中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．21．（2023·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．3222．（2023·江蘇常州·一模）設為復數，為虛數單位，關于的方程有實數根，則復數的模的范圍是（

）A． B． C． D．23．（2024·河北滄州·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線T于A，B兩點，M為線段的中點，過點M作拋物線T的準線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．24．（20-21高三·北京·強基計劃）在中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且，則的周長為（

）A．17 B．18 C．19 D．前三個選項都不對25．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．26．（2023·上海靜安·二模）已知函數為偶函數，則函數的值域為.27．（22-23高三上·云南曲靖·階段練習）已知，直線與互相垂直，則的最小值為.28．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．29．（2023·河南開封·模擬預測）在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為．30．（20-21高三下·浙江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若點，是該拋物線上的點，，，線段的中點在拋物線的準線上的射影為，則的最大值為．08高考新考法—以生活情境、傳統文化等為背景考查基本不等式31．（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．1081832．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定33．（2024·廣東湛江·二模）當，時，.這個基本不等式可以推廣為當x，時，，其中且，.考慮取等號的條件，進而可得當時，.用這個式子估計可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（

）A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.03934．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．35．（2023·安徽池州·模擬預測）年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人將其稱為“米勒問題”，是載入數學史上的第一個極值問題我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段或直線上兩點，，則上述問題可以轉化為如下的數學模型：如圖，一條直線垂直于一個平面，直線有兩點，位于平面的同側，求平面上一點，使得最大建立如圖所示的平面直角坐標系設，兩點的坐標分別為，，設點的坐標為，當最大時，（

）A． B． C． D．09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題36．（23-24高二下·廣東江門·階段練習）青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義曲線在點處的曲率計算公式為，其中．(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；(2)已知函數，求曲線的曲率的最大值；(3)已知函數，若曲率為0時x的最小值分別為，求證：．一、單選題1．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）已知等比數列滿足，則有（

）A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值4．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數滿足，則有最小值4B．若正實數滿足，則C．的最小值為D．若，則5．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．26．（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）

A． B．C． D．7．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在中，為線段的中點，為線段上一點，，過點的直線分別交直線，于，兩點．設，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．68．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為6，雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，過點向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點構成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3二、多選題9．（2024·河南信陽·一模）已知正數滿足，則（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·模擬預測）若實數a，b滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．11．（2024·浙江·二模）已知正實數，，，且，，，為自然數，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，三、填空題12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為．13．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）《孫子算經》中提到“物不知數”問題.如：被3除余2的正整數按照從小到大的順序排成一列，即，構成數列，記數列的前項和為，則的最小值為.14．（2024·江西上饒·一模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為．四、解答題15．（2024·全國·模擬預測）記的內角所對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)求的最小值．16．（2023·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．17．（2024·四川·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．18．（2024·遼寧·模擬預測）（1）利用雙曲線定義證明：方程表示的曲線是焦點在直線上的雙曲線，記為曲線；（2）設點在曲線上，在曲線上，且滿足，求方程；（3）點在上，過點的直線與的漸近線交于，兩點，且滿足，求（為坐標原點）的面積.19．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數在約束條件的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數，其中為拉格朗日系數．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．補充說明：【例】求函數關于變量的導數．即：將變量當做常數，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的表示分別對進行求導．(1)求函數關于變量的導數并求當處的導數值．(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數滿足，求的最大值．(3)①若為實數，且，證明：．②設，求的最小值．成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數學同步資源大全QQ群552511468也可聯系微信fjshuxue加入百度網盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題04基本不等式（九大題型+模擬精練）目錄：01基本不等式的內容辨析02利用基本不等式比較大小03利用基本不等式求最值04條件等式求最值05基本不等式“1”的妙用06對勾函數、類對勾函數求最值07基本不等式在其他模塊的應用08高考新考法—以生活情境、傳統文化等為背景考查基本不等式09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題01基本不等式的內容辨析1．（21-22高一下·廣東深圳·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值判斷A、C，利用重要不等式判斷B，作差可判斷D；【解析】解：對于A：若、時，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，故B錯誤；對于C：若、時，，故C錯誤；對于D：因為，所以，即，當且僅當時取等號，故D正確；故選：D2．（2022高一·全國·專題練習）已知為實數，且，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對于A，利用基本不等式判斷，對于B，由已知結合完全平方式判斷，對于C，舉例判斷，對于D，利用基本不等式判斷【解析】對于A，由基本不等式可知當時，，當且僅當時取等號，所以A正確，對于B，因為，，所以，且，所以，當且僅當時取等號，所以B正確，對于C，若，則，所以C錯誤，對于D，因為，，所以，且，所以，，所以且，所以D正確，故選：C3．（22-23高一上·江蘇常州·階段練習）下列說法，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】B【分析】利用重要不等式判斷A、B、利用特殊值判斷C，利用對勾函數的性質判斷D.【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，故B正確；對于C：當時，滿足，但是，故C錯誤；對于D：令，因為在上單調遞增，所以，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，故D錯誤；故選：B02利用基本不等式比較大小4．（2023·河南開封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.【解析】，∵，∴等號不成立，故；，∵，∴等號不成立，故，綜上，.故選：A.5．（21-22高三上·河南·階段練習）已知關于的方程有兩個實根，，則下列不等式中正確的有.（填寫所有正確結論的序號）①；

②③；

④.【答案】①【分析】解方程得到，，，再利用作差法和基本不等式得解.【解析】因為，所以或，所以或，因為關于的方程有兩個實根，，所以，，對于①②，，所以，所以①正確，②錯誤.對于③④，，因為.,所以或者.所以③④錯誤.故答案為：①03利用基本不等式求最值6．（23-24高一上·重慶·期末）函數的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可得解.【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.則的最小值是.故選：D.7．（23-24高一上·北京·階段練習）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】用基本不等式求解即可.【解析】因為，所以，當且僅當即時取等號；故選：B8．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）函數的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【解析】由可得，所以，當且僅當，即時等號成立，故選:D04條件等式求最值9．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據基本不等式直接計算即可.【解析】由題意得，，則，，即，當且僅當，即時等號成立.故選：C10．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解析】，，由得，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：A05基本不等式“1”的妙用11．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用基本不等式計算即可.【解析】易知，則，當且僅當，即時取得等號.故選：B12．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【解析】實數，，由，得，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：B06對勾函數、類對勾函數求最值13．（2023高三·全國·專題練習）函數y＝x＋（x≥2）取得最小值時的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，當t＝3時，即可求解.【解析】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設x＋1＝t(t≥3)．因為f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，所以當t＝3，即x＝2時，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.14．（2023高三·全國·專題練習）函數f（x）＝＋1的最小值為．【答案】＋1【分析】先對函數進行化簡，然后利用對勾函數的單調性可求出有最小值.【解析】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數f（x）可轉化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數f（x）的最小值為；故答案為：.15．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知正實數x，y滿足，函數的最小值為，則實數取值的集合為．【答案】【分析】根據基本不等式求得的最大值，結合對勾函數單調性，即可求得結果.【解析】，∴，，令，，當時，，與已知矛盾；當時，在單調遞減，∴，解得或（舍去），∴的取值集合．故答案為：.07基本不等式在其他模塊的應用16．（23-24高三下·北京順義·階段練習）若數列為等比數列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】設出公比，先由得到，利用基本不等式可得，得到“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，故得結論.【解析】因數列為等比數列，不妨設公比為，則，由可得，故，而，由知，當且僅當時取等號，而，故，此時，故“”是“”的充分條件；由可得，則，而，故不一定能得到.如時，滿足，但是，故“”不是“”的必要條件.即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.17．（22-23高三上·寧夏石嘴山·階段練習）下列結論正確的是（）A．當且時，B．當時，的最小值為4C．當時，D．當時，【答案】C【分析】對AD，舉反例判斷即可；對B，根據基本不等式成立的條件判斷即可；對C，根據基本不等式判斷即可.【解析】對A，當時，，故A錯誤；對B，當時，，當且僅當，即時取等號，但當時，，故B錯誤；對C，當時，，當且僅當，即時取等號，故C正確；對D，當時，故D錯誤.故選：C18．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式，將等式左邊轉化為因式表示，求解即可.【解析】因為，得：（當且僅當時成立），即得：，則，得：，所以的最小值為，故選：A.19．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習）已知正實數滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明，然后證明對總存在相應的使得，即可說明的取值范圍是.【解析】一方面有，及.另一方面，對，存在滿足，，.所以的取值范圍是.故選：C.20．（23-24高一上·山西太原·階段練習）中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】，．可得．代入，利用基本不等式的性質即可得出．【解析】，．．，當且僅當時取等號．，即三角形面積的最大值為．故選：A．21．（2023·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】運用對數運算及換底公式可得，運用基本不等式可求得的最小值.【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當且僅當即時取等號，即：，當且僅當時取等號，故的最小值為16.故選：C.22．（2023·江蘇常州·一模）設為復數，為虛數單位，關于的方程有實數根，則復數的模的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設是方程的實數根，易知，則，根據復數的幾何意義可得，結合基本不等式計算即可求解.【解析】由題意知，設是方程的實數根，則，若，則，等式不成立，所以，有，所以，當且僅當即時等號成立.所以的取值范圍為.故選：B.23．（2024·河北滄州·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線T于A，B兩點，M為線段的中點，過點M作拋物線T的準線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】設，，如圖，根據拋物線的定義和梯形的中位線的性質可得，結合基本不等式的應用即可求解.【解析】設，，因為，所以，所以，過點A，B分別作，垂直準線于點G，W，

由拋物線的定義可知，，由梯形的中位線可知．因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以所以，故的最大值為．故選：B24．（20-21高三·北京·強基計劃）在中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且，則的周長為（

）A．17 B．18 C．19 D．前三個選項都不對【答案】C【分析】利用基本不等式可得，從而可求三角形的周長.【解析】注意到，結合均值不等式，可得且，因此的周長為．故選：C.25．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【分析】是的邊長，所以它們是正數，利用乘“1”法結合基本不等式即可求解.【解析】因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．故答案為：.26．（2023·上海靜安·二模）已知函數為偶函數，則函數的值域為.【答案】【分析】利用偶函數的定義求出，則，設，利用基本不等式，即可求出結果．【解析】函數（）是偶函數，，，易得，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以，所以函數的值域為．故答案為：．27．（22-23高三上·云南曲靖·階段練習）已知，直線與互相垂直，則的最小值為.【答案】【分析】根據，由兩直線垂直的充要條件，可得，所以，再利用基本不等式的性質即可得出．【解析】根據，直線與直線互相垂直，，所以，所以，當且僅當時取等號．則ab的最小值等于，故答案為:.28．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值.【解析】.于是，當且僅當時取等號，則的最小值為.故選：D.29．（2023·河南開封·模擬預測）在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積為．【答案】【分析】根據棱錐體積公式及基本不等式可得體積最大，然后利用長方體的性質及球的體積公式即得.【解析】由題可知三棱錐的體積為：，當且僅當時等號成立，此時，，將三棱錐補成長方體，則三棱錐外接球的直徑為，則，因此，三棱錐外接球的體積為.故答案為：.30．（20-21高三下·浙江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若點，是該拋物線上的點，，，線段的中點在拋物線的準線上的射影為，則的最大值為．【答案】【分析】設，由勾股定理可得，根據拋物線的性質可得，再利用基本不等式可得，即可求出的最大值；【解析】解：如圖所示，設，，則，而根據拋物線的性質可得結合平方平均值與算術平均值的關系式當且僅當時取等號，因此，，所以，即的最大值為故答案為：【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．08高考新考法—以生活情境、傳統文化等為背景考查基本不等式31．（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【分析】設矩形場地的長為米，則，結合基本不等式計算即可求解.【解析】設矩形場地的長為米，則寬為米，，當且僅當，即時，等號成立.所以平整這塊場地所需的最少費用為元.故選：C32．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定【答案】B【分析】由題意求出的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【解析】由題意得，，因為，故，，即，故選：B33．（2024·廣東湛江·二模）當，時，.這個基本不等式可以推廣為當x，時，，其中且，.考慮取等號的條件，進而可得當時，.用這個式子估計可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（

）A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039【答案】C【分析】根據給定的信息，求出的近似值，進而求出的近似值.【解析】依題意，，則.故選：C34．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數形結合計算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結論．【解析】設，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當且僅當時取等號．故選：D.35．（2023·安徽池州·模擬預測）年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人將其稱為“米勒問題”，是載入數學史上的第一個極值問題我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段或直線上兩點，，則上述問題可以轉化為如下的數學模型：如圖，一條直線垂直于一個平面，直線有兩點，位于平面的同側，求平面上一點，使得最大建立如圖所示的平面直角坐標系設，兩點的坐標分別為，，設點的坐標為，當最大時，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意可得，然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到結果.【解析】由題意可知是銳角，且，而，所以，而，當且僅當，即時取等號，因為是銳角，所以當時，最大，此時最大.故選：09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題36．（23-24高二下·廣東江門·階段練習）青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義曲線在點處的曲率計算公式為，其中．(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；(2)已知函數，求曲線的曲率的最大值；(3)已知函數，若曲率為0時x的最小值分別為，求證：．【答案】(1)1(2)(3)證明見解析；【分析】（1）根據平均曲率的定義，代入計算可得結果；（2）對函數求導，代入曲率計算公式并化簡變形利用基本不等式可求得曲線的曲率的最大值為；（3）根據曲率為0可求得，利用導數判斷出函數的單調性，可知的兩解分別為，且，令可得，對整理變形并構造函數可得出證明.【解析】（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，根據定義可得平均曲率（2）由可得，又可得；所以，易知，當且僅當時，即時等號成立；所以，即曲線的曲率的最大值為.（3）由可得，記，則；同理由可得，記，則，若曲率為0時，即，可得，化簡可得；令，則，由可得，則當時，，此時單調遞增，且；當時，，此時單調遞減，且；則的圖象如下圖所示：又，結合的圖象可得有兩解，設這兩解分別為，且，又，因為最小，因此，由，可設，故，化簡可得，則，要證，即證，即，也即，即證，令，則，所以在在區間上單調遞增，故，故.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于證明不等式時，利用雙變量消元技巧找出的關系式，再通過構造函數并利用導函數判斷出其單調性，并求得其最值即可證明得出結論.一、單選題1．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【解析】由題意知，所以，所以.當且僅當，即時，等號成立.故選：B.2．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對于AB，利用對數函數的性質即可判斷；對于CD，利用對數的運算得到，結合基本不等式即可判斷.【解析】因為，所以，對于A，易得，所以，故A成立.對于B，因為，所以，故B成立.對于C，，當且僅當時，等號成立，顯然等號不成立，所以，故C不成立.對于D，因為且，所以，故D成立.故選：C.3．（2024·全國·模擬預測）已知等比數列滿足，則有（

）A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值【答案】C【分析】由數列是等比數列，可得，即，方法一：,則利用基本不等式計算即可，方法二：利用基本不等式計算即可.【解析】方法一：因為數列是等比數列，所以，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號．方法二

因為數列是等比數列，所以，所以，所以，當且僅當時取等號．故選：C．4．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數滿足，則有最小值4B．若正實數滿足，則C．的最小值為D．若，則【答案】D【分析】對于A，利用即可證明，再給出取等的情況即可得到A正確；對于B，利用即可證明，得到B正確；對于C，利用換元法與對勾函數單調性判斷；對于D，驗證當，時不等式不成立，得到D錯誤.【解析】對于A，若正實數滿足，則，而當時，有，，從而的最小值是，故A正確；對于B，若正實數滿足，則，故B正確；對于C，設，則，由對勾函數單調性得最小值是，故C正確；對于D，當，時，有，但，故D錯誤.故選：D.5．（2024·浙江嘉興·二模）若正數滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據題意可得，利用基本不等式求解.【解析】由可得，，當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.所以的最小值為.故選：A.6．（2024·黑龍江·二模）“不以規矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規”指圓規，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理結合基本不等式可求周長的最大值.【解析】因為四邊形木板的一個內角滿足，如圖，

設，由題設可得圓的直徑為，故，因，為三角形內角，故，故，故，故，故，當且僅當時等號成立，同理，當且僅當等號成立，故四邊形周長的最大值為，故選：A.7．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在中，為線段的中點，為線段上一點，，過點的直線分別交直線，于，兩點．設，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】由中點和三等分點得到，結合，，得到，由三點共線得到，利用均值不等式中“1的代換”求得的最小值.【解析】因為為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，則，而，，三點共線，所以，即，則，當且僅當，即，時取等號．故選：B．8．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為6，雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，過點向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點構成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求，再由雙曲線的性質，基本不等式計算即可.【解析】設雙曲線右焦點，易知，，即，而雙曲線的一條漸近線為，易知，所以，由雙曲線的性質可知，由基本不等式可知，當且僅當時取得等號.故選：A二、多選題9．（2024·河南信陽·一模）已知正數滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】選項A，將等式應用基本不等式求解即可；選項B、C，檢驗特殊情況時的結果即可判斷；選項D，原不等式等價于，應用基本不等式可得.【解析】對于選項A，，則，當且僅當時等號成立，故A正確；對于選項B，應用重要不等式得：（時取得等號），接選項A中，當時取得等號，（當時能取得等號），即的最小值為，與矛盾，故B錯誤；對于選項C，因為，則，其中，當取得等號，則，即的最小值為，且，故C錯誤；對于選項D，，且，得：，而，當且僅當時等號成立，即，故D正確；故選：AD．10．（2024·全國·模擬預測）若實數a，b滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據不等式，結合已知等式變形可判斷A，C，D；由可得，結合實數的性質即可判斷B.【解析】因為,當且僅當時等號成立，所以，A正確；因為，所以，所以，B錯誤；因為，當且僅當時等號成立，所以，C錯誤；由整理，得，當且僅當時等號成立，所以，D正確．故選：AD．11．（2024·浙江·二模）已知正實數，，，且，，，為自然數，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進而得到只需即可，再依次判斷四個選項即可.【解析】要滿足，只需滿足，其中正實數，，，且，，，為正數，，當且僅當，即時，等號成立，觀察各選項，故只需，故只需即可，A選項，，，時，，A錯誤；B選項，，，時，，B正確；C選項，，，時，，C正確；D選項，，，時，，D錯誤.故選：BC.三、填空題12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為．【答案】/【分析】根據平均數的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.【解析】因為各個個體的值是有小到大排列的，所以，又總體平均值為，所以.所以（當且僅當時取“”）.故答案為：13．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）《孫子算經》中提到“物不知數”問題.如：被3除余2的正整數按照從小到大的順序排成一列，即，構成數列，記數列的前項和為，則的最小值為.【答案】19【分析】根據題意，由等差數列的前項和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到結果.【解析】由題意可知，數列是以為首項，為公差的等差數列，則，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：14．（2024·江西上饒·一模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍為．【答案】【分析】函數在區間上單調遞增，轉化為在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【解析】因為，所以，因為函數在區間上單調遞增，所以在上恒成立，即時，恒成立，因為，當且僅當時等號成立，即，所以，故答案為：.四、解答題15．（2024·全國·模擬預測）記的內角所對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計算出結果；（2）利用第一問的結果代入的余弦定理表達式，再利用基本不等式即可得到結果.【解析】（1）已知，由正弦定理得：，整理得：，……①因為……②②代入①有：，再由正弦定理得．（2）由余弦定理得：，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．16．（2023·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換計算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面積公式及基本不等式計算即可.【解析】（1）由已知可得：，∴，∴，根據正弦定理可知：，∴．又．（2）∵外接圓的半徑為，∴，解得．又由（1）得，故，∴，當且僅當時等號成立∴，∴的面積最大值為．17．（2024·四川·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．點在直線上運動，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點A、B在橢圓上，為坐標原點，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，由兩直線的斜率之商為2以及離心率公式，代入計算，即可求得從而得道結果；（2）根據題意，分直線，直線其中一條直線斜率不存在與直線，直線的斜率均存在討論，然后聯立方程，由三角形的面積公式結合基本不等式即可得到結果.【解析】（1）設，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標準方程為.（2）

當直線，直線其中一條直線斜率不存在時，不妨令，此時面積為；

當直線，直線的斜率均存在時，不妨設直線的方程為，則直線的方程為