16.3角的平分線學習目標1.掌握角平分線的性質定理及其逆定理.（重點）3.能利用尺規作出一個已知角的平分線.（重點）2.能利用角平分線的性質定理及其逆定理證明相關結論.（難點）1.下圖中表示點P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD點到直線的距離是指：點到直線的垂線段的長度.新課導入2.本章中，從哪些方面學習線段的垂直平分線？①線段的垂直平分線的定義③線段的垂直平分線的性質定理④線段的垂直平分線的性質定理的逆定理⑤線段的垂直平分線的尺規作圖類似地，今天我們將從這些角度學習角的平分線的相關知識......②線段的軸對稱性新課導入問題1角是軸對稱圖形嗎？將∠AOB對折，你發現了什么？ABO歸納：角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.新知探究問題2OC是∠AOB的平分線，在角平分線OC上任意選一點P，在邊OA上取點D，邊OB上取點E，怎樣才能使PD=PE?同學們拿出課前準備好的∠AOB，用折紙的方法確定D、E的位置.CABO新知探究有可能出現的情況很多，我們選擇兩種來展示，展開后的圖形如下：.CABPODE猜想：PD與PE有何數量關系呢？PD=PE.CABPODE新知探究PAOBCDE已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.你能用什么方法說明你的結論是正確的？求證：PD=PE.新知探究用刻度尺測量PD,PE，得到兩條線段的長度相等.PAOBCDE方法一：方法二：利用角的對稱性，當沿OC所在的直線對折時，PD與PE重合，因此PD=PE.新知探究PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90

°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.方法三：新知探究

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.用途：

證明兩條垂線段相等.BADOPEC試一試：請你用語言描述你所得到的結論.角平分線的性質定理新知探究幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC注意：一定要表明是兩條垂線段.新知探究（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC判斷下列的寫法是否正確？理由：沒有垂直，不能確定BD,CD是點D到角兩邊的距離.練一練（2）∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

，()角內任意一條線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCDBADC理由：無法確定點D在∠BAC的平分線上.×練一練線段的垂直平分線的性質定理有逆定理，角的平分線的性質定理是否也有逆定理呢？請你說出角平分線的性質定理的逆命題.如果一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點在角的平分線上.新知探究角平分線性質定理的逆定理到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE用途：

證明點在角平分線上，即可以判定角平分線.在17章進行證明新知探究例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

PN

M典型例題D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.典型例題思考：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？點P在∠A的平分線上.D

E

F

A

B

C

P

N

M

結論：三角形的三條角平分線交于一點，這點到三角形三邊的距離相等.新知探究如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?CADBCE兩個三角形三邊對應相等，兩個三角形全等，兩全等三角形的對應角相等.所以AE就是角平分線.想一想：能夠運用這種方法作出任意角的角平分線嗎？新知探究用尺規作已知角的角平分線ABMNCO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M,N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.新知探究ABMNCO證明：連接CM,CN由作圖過程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC∴△OMC≌△ONC,∴∠AOC=∠BOC.即OC是∠AOB的平分線.試一試：在練習本上分別作銳角，鈍角，平角的角平分線.角平分線作法的依據新知探究1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是______.D

A

B

C

BA.24B.30C.36D.42課堂練習2.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂練習125°3.如圖，O是△ABC內一點，且點O到三邊AB,BC,AC的距離OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=______.F

D

E

A

B

C

O

課堂練習4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F分別作FG⊥AE于點G，FH⊥AD于點H，FM⊥BC于點M.∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥