相似三角形幾何模型（旋轉模型）（培優練）1．（2023秋·九年級課時練習）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點順時針旋轉，點與點重合，連接、、．

（1）試判斷，，之間的數量關系；（2）如圖②，點、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請寫出、、之間的數量關系，并寫出證明過程．（3）如圖③，在四邊形中，，，，點，分別在邊，上，，請直接寫出，，之間數量關系．2．（2023·全國·九年級專題練習）數學興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點M，N，連接，可得．探究一：如圖②，把繞點C逆時針旋轉得到，同時得到點H在直線上．求證：；探究二：在圖②中，連接，分別交，于點E，F．求證：；探究三：把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點E，F，連接交于點O，求的值．

3．（2023·全國·九年級專題練習）在中，，將繞點順時針旋轉得到，其中點的對應點分別為點．

（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點，求的長；（3）如圖3，連接，，直線交于點，點為的中點，連接．在旋轉過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形中，，，，，，于點．將與該四邊形按如圖方式放在同一平面內，使點與重合，其中，，．繞點旋轉，且在旋轉過程中，分別交邊于點．

（1）求證：四邊形為矩形；（2）求的長；（3）若，求的長；（4）恰好為等腰三角形，求．5．（2023·全國·九年級專題練習）【問題呈現】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

（1）如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；（2）如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應用】（3）當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．6．（2023·全國·九年級假期作業）如圖①，點E為正方形內一點，，將繞點B按順時針方向旋轉，得到（點A的對應點為點C）．延長交于點F，連接．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖①，若，，求的長．（3）如圖②，若，請猜想線段與的數量關系并加以證明．7．（2023春·山西·九年級專題練習）如圖1，中，，的大小保持不變，點在斜邊上，，垂足為點．如圖2，把繞著點順時針旋轉，旋轉角為，點的對應點為點．（1）求作點的對應點（要求尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，，，直線，相交于點，試探究在整個旋轉過程中，直線，所相交成的銳角是否保持不變？若不變，請證明：若有變化，說明理由．8．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀材料，解決問題折疊、旋轉是我們常見的兩種圖形變化方式如圖1，在中，，點D，E在邊上，，若，，求的長．小明發現，如果將繞點A按逆時針方向旋轉，得到，連接（如圖2）．使條件集中在中，可求得（即）的長，具體作法為：作，且，連接，可證，再結合已知中，可證，得，接著在中利用勾股定理即可求得的長，即的長．（1）請你回答：與全等的條件是__________（填“”、“”、“”、“”或“”中的一個），的長為__________；（2）如圖3，正方形中，點P為延長線上一點，將沿翻折至位置，延長交直線于點F．①求證：；②連接交于點O，連接（如圖4），請你直接寫出的值．9．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點H．（1）如圖1，當點G在上時，求證：；（2）將正方形繞點C旋轉一周．①如圖2，當點E在直線右側時，判斷的數量關系并證明；②當時，若，請直接寫出線段的長．10．（2023·全國·九年級專題練習）在銳角中，，，，將繞點B按逆時針方向旋轉，得到．（1）如圖1，當點在線段的延長線上時，求的度數；（2）如圖2，連接，若，求的長；（3）如圖3，點E為線段中點，點P是線段上的動點，在繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點，求線段長度的最大值與最小值．參考答案1．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）首先利用證明，得，從而得出答案；（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結論；（3）將繞點逆時針旋轉得，由旋轉的性質得點、、共線，由（1）同理可得，得，從而解決問題．【詳解】（1）解：，證明如下：如圖：四邊形是正方形，，，由旋轉的性質可得：，，，，，點、、共線，，，，，在和中，，，，；（2）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，將繞點逆時針旋轉得，

，，，，，點、、共線，，，，，在和中，，，，．【點撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．2．探究一：見解析；探究二：見解析；探究三：【分析】探究一：求出，證明即可；探究二：根據正方形的性質證明，根據三角形內角和定理得出，等量代換求出，加上公共角，進而可證明；探究三：先證明，得到，，然后將繞點C逆時針旋轉得到，則點G在直線上，得出，根據全等三角形的性質得出，進而得到，可證明，根據相似三角形的性質得出．【詳解】探究一：證明：∵把繞點C逆時針旋轉得到，點H在直線上，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；探究二：證明：如圖，

∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；探究三：解：∵，是正方形的對角線，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，，如圖，將繞點C逆時針旋轉90°得到，則點G在直線上，

∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題是相似三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的性質和判定，旋轉的性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．3．(1)8(2)(3)存在最小值1，理由見解析【分析】（1）先求出，再在中，求出，從而可得；（2）過作交于，過作于，先證明，再根據，求出，進而可得和及，由得，即可得；（3）過作交延長線于，連接，先證明，得，再證明得，是的中位線，，要使最小，只需最小，此時共線，的最小值為，即可得最小值為．【詳解】（1）解：，，，繞點順時針旋轉得到，點落在的延長線上，，中，，；（2）解：過作交于，過作于，如圖：

繞點順時針旋轉得到，，，，，，中，，，，中，，同理，，，，，，；（3）解：存在最小值1，理由如下：過作交延長線于，連接，如圖：

繞點順時針旋轉得到，，，而，，，，，，，，在和中，，，，即是中點，點為的中點，是的中位線，，要使最小，只需最小，此時共線，的最小值為，最小為．【點撥】本題考查直角三角形的旋轉變換，涉及勾股定理、平行線分線段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定與性質等知識，綜合性較強，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．4．(1)見解析(2)6(3)(4)16或【分析】（1）根據矩形的證明方法即可得證；（2）根據四邊形為矩形，可得的長度，根據含有角的直角三角形的性質和勾股定理進行計算即可得到答案；（3）根據四邊形為矩形，可得的長，從而可求出的長，在中，由勾股定理進行計算即可得到答案；（4）根據等腰三角形的性質，分類討論：①當時；②當時；③當時；根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，，即，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是矩形，，在中，，，；（3）解：四邊形是矩形，，，，在中，；（4）解：①當時，，，，，②當時，此種情況不存在，③當時，如圖所示，

，，在中，，解得：，，綜上所述，恰好為等腰三角形，的值為或16．【點撥】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，含有角的直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質，等腰三角形的性質，含有角的直角三角形的性質，是解題的關鍵．5．(1)(2)成立；理由見解析(3)或【分析】（1）根據，得出，，證明，得出，根據，求出，即可證明結論；（2）證明，得出，根據，求出，即可證明結論；（3）分兩種情況，當點E在線段上時，當點D在線段上時，分別畫出圖形，根據勾股定理求出結果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當點E在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，根據解析（2）可知，，∴，∴，根據解析（2）可知，，∴，根據勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；當點D在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，根據解析（2）可知，，∴，∴，根據解析（2）可知，，∴，根據勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時；綜上分析可知，或．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論．6．(1)四邊形是正方形，理由見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）根據鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；（2）過點作于點．證明，推出，，利用勾股定理求解即可；（3）過點作于點，由全等三角形的性質和等腰三角形的性質，可得結論．【詳解】（1）解：結論：四邊形是正方形．理由如下：是由繞點按順時針方向旋轉得到的，，，又，，四邊形是矩形，由旋轉可知：，四邊形是正方形；（2）如圖①，過點作于點．則四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，在中，，根據勾股定理得：，，或（舍去），，故答案為：12．（3）結論：．證明：如圖②，過點作于點，，，，，由旋轉可知：，

由（1）可知：四邊形是正方形，，，．【點撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．7．(1)見解析(2)不變，理由見解析【分析】（1）作，，則點即為所求；（2）根據題意得出，則，進而根據旋轉的性質得出，證明得出，根據三角形的外角的性質即可得出，進而得出結論．【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；（2）解：如圖所示，設交于點，∵，，∴，∴，∵把繞著點順時針旋轉，旋轉角為，點的對應點為點，點的對應點，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，∵的大小保持不變，∴是定值．【點撥】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．8．(1)，(2)①證明見詳解；②【分析】（1）根據繞點A按逆時針方向旋轉得到可得，，結合可得，根據邊角邊定理即可得到證明，在中利用勾股定理即可得到答案；（2）①連接，根據定理即可得到，即可得到證明；②連接，過C作交延長線于一點G，根據折疊得到，，由①可得，，即可得到，從而得到，根據正方形性質可得，，結合可得，即可得到，即可得到答案.【詳解】（1）解：∵繞點A按逆時針方向旋轉得到，∴，，，∵，∴，在與中，∴，∵，，∴，∵繞點A按逆時針方向旋轉得到，∴，，∴，∴，在中，，∵，∴，故答案為：，；（2）解：①連接，∵沿翻折至位置，四邊形是正方形，∴，，在在與中，，

∴，∴；②連接，過C作交延長線于一點G，∵沿翻折至位置，∴，，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，

∵，∴，在與中，，∴，∴，，∴，在中，，∴.【點撥】本題考查正方形的性質，等腰三角形性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是添加輔助線．9．(1)證明見解析(2)①，證明見解析；②或【分析】（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，連接．求出BD，設，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，此時G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長為或．【點撥】本題考查了正方形的性質、全等三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等知識點，解題的關鍵是熟知上述知識點，并正確作出輔助線．10．(1)(2)(3)線段長度的最大值為7與最小值為【分析】（1）由旋轉的性質可得：，，又由等腰三角形的性質，即可求得的度數；（2）由旋轉的性質可得：，易證得，利用相似三角形對應邊成比例，即可求出；（3）由①當P在上運動至垂足點D，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段上時，最小；②當P在上運動至點C，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段的延長線上時，最大，即可求得線段長度的最大值與最小值．【詳解】（1）解：由旋轉的性質可得：，，∴，∴．（2