第2章·軸對稱圖形2.4線段、角的軸對稱性第4課時垂直平分線與角平分線的綜合應用學習目標1.探索并證明角平分線的性質定理和判定定理；2.了解角平分線是具有特殊性質的點的集合.知識回顧角的平分線的性質角的平分線的判定圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB知識回顧

在△ABC中，用直尺和圓規分別作角平分線AD、BE，AD、BE相交于點P，再作∠C的平分線，你發現了什么？你能說明理由嗎？ABCABCABCDEDEDE例題講解例1已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.

求證：點P在∠C的平分線上.PABDEFNMCAD是∠BAC的平分線PF=PNBE是∠ABC的平分線PF=PMPM=PN點P在∠C的平分線上例題講解例1已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.

求證：點P在∠C的平分線上.PABDEFNMC證明：分別過點P作PF⊥AB于點F，PM⊥BC于點M，PN⊥AC于點N.∵AD平分∠BAC，點P在AD上，∴PF=PN（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.同理PF=PM.∴PM=PN，∴點P在∠C的平分線上（角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上）.新知歸納三角形的三條角平分線__________，并且這點到三邊的距離______.即PD=____=_____.交于一點相等PEPF三角形的角平分線：新知鞏固1.在一張紙上畫△ABC及其兩個外角（如圖）.（1）用折紙的方法分別折出∠BAD和∠ABE的平分線，設兩條折痕的交點為O；CABOED新知鞏固1.在一張紙上畫△ABC及其兩個外角（如圖）.（2）用直尺和圓規作∠ACB的平分線CF.點O在射線CF上嗎？證明你的結論.CABOEDGMH解：點O在射線CF上.證明：過點O分別作OG⊥BE于點G，OH⊥AD于點H，OM⊥BC于點M.∵點O在∠BAD的平分線上，OM⊥AB，OH⊥AD.∴OM＝OH.同理OM=OG.∴OG＝OH.∴點O在∠ACB的平分線上.

F2.如圖，直線AB、CD相交于點O，點M在OD上，在∠AOD的內部有一點N，現要在∠AOD的內部找一個點P，使點P到AB、CD的距離相等，且使PM=PN，用尺規作出點P的位置.

(不寫作法，保留作圖痕跡)ADO新知鞏固NMCDP例題講解例2

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F．求證：AD垂直平分EF．AFECBD1234要證AD垂直平分EF只要證DE=DF，AE=AF已知∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC只要證∠3=∠4怎么想怎么寫例題講解例2

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F．求證：AD垂直平分EF．AFECBD證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1=∠2，∴∠3=∠4.∴DE=DF，AE=AF（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.∴點D、A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.∴AD垂直平分EF.1234新知鞏固1.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

E、F為垂足，下列結論中：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD中，正確的個數是()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個CAFECBD新知鞏固2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(2)求證：DE=DF(1)根據條件你能得到哪些正確結論？21AFECBD

課堂小結角平分線三角形內角平分線的性質判定定理應用：位置的選擇問題當堂檢測1.三角形中，到三邊距離相等的點是(

)A.三條高線所在直線的交點B.三條中線的交點C.三條角平分線的交點D.三邊的垂直平分線的交點C當堂檢測2.已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB.下列確定P點的方法正確的是(

)A．P為∠A與∠B的平分線的交點B．P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點C．P為AC，AB兩邊上的高的交點D．P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點B當堂檢測125°3.如圖，O是△ABC內一點，且點O到三邊AB、BC、AC的距離OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=______.F

D

E

A

B

C

O

5.如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.l1l2l3當堂檢測當堂檢測P1P2P3P4l1l2l34.如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N.求證：PM=PN.PMBCNAD

當堂檢測當堂檢測FBACDMNEFBACDENM6.已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分線上一點，E、F分別在AB、AC上，且DE=DF.試判斷∠BED與∠BFD的關系，并說明理由.當堂檢測7．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，點E在邊BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求證：BE＝CE.

EMBCFAG

8.如圖，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分線相交于點P，過點P作PE⊥AB于點E，交CD于點F，EF=10，求點P到AC的距離.

BAFCEPDH解：如圖，過點P作PH