高二數學經典試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.拋物線\(y=4x^{2}\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,\frac{1}{16})\)D.\((\frac{1}{16},0)\)2.若直線\(l\)的方向向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，平面\(\alpha\)的一個法向量\(\vec{n}=(2,-1,1)\)，則直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角的正弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)3.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的離心率為\(\sqrt{5}\)，則其漸近線方程為（）A.\(y=\pm2x\)B.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)C.\(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x\)D.\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x\)4.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}+a_{5}+a_{7}=15\)，則\(S_{9}\)的值為（）A.36B.45C.54D.635.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(\sinA=\frac{1}{3}\)，則\(\sinB\)等于（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{5}{9}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.16.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一點\(P\)到一個焦點的距離為\(2\)，則\(P\)到另一個焦點的距離為（）A.3B.5C.8D.107.已知\(\vec{a}=(2,-3,1)\)，\(\vec=(4,-6,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.2B.\(-2\)C.4D.\(-4\)8.已知等比數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}a_{6}=16\)，則\(a_{4}\)的值為（）A.4B.\(\pm4\)C.8D.\(\pm8\)9.直線\(x+\sqrt{3}y-1=0\)的傾斜角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為（）A.3B.2C.1D.0二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列說法正確的是（）A.若直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與直線\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)垂直，則\(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0\)B.過點\((1,2)\)且在\(x\)軸和\(y\)軸上截距相等的直線方程為\(x+y-3=0\)C.直線\(y=kx+3\)與圓\(x^{2}+y^{2}=4\)相交，則\(k\)的取值范圍是\((-\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2})\)D.若圓\(C_{1}\)：\(x^{2}+y^{2}+2ax+a^{2}-4=0\)與圓\(C_{2}\)：\(x^{2}+y^{2}-4by-1+4b^{2}=0\)恰有三條公切線，則\(a^{2}+4b^{2}=9\)2.設等比數列\(\{a_{n}\}\)的公比為\(q\)，其前\(n\)項和為\(S_{n}\)，前\(n\)項積為\(T_{n}\)，并且滿足條件\(a_{1}\gt1\)，\(a_{7}a_{8}\gt1\)，\(\frac{a_{7}-1}{a_{8}-1}\lt0\)，則下列結論正確的是（）A.\(0\ltq\lt1\)B.\(a_{7}\gt1\)C.\(S_{n}\)的最大值為\(S_{8}\)D.\(T_{n}\)的最大值為\(T_{7}\)3.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)是橢圓上一點，且\(\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，則下列結論正確的是（）A.當\(P\)為短軸端點時，\(\angleF_{1}PF_{2}\)最大B.若\(\triangleF_{1}PF_{2}\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{3}b^{2}\)C.若\(\triangleF_{1}PF_{2}\)為鈍角三角形，則離心率\(e\)的取值范圍是\((\frac{1}{2},1)\)D.若\(\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0\)，則\(\triangleF_{1}PF_{2}\)的面積為\(b^{2}\)4.下列關于空間向量的說法正確的是（）A.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)共面，則存在實數\(\lambda\)，\(\mu\)使得\(\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec\)B.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)是空間的一個基底，則\(\vec{a}+\vec\)，\(\vec+\vec{c}\)，\(\vec{c}+\vec{a}\)也是空間的一個基底C.若\(\vec{a}\cdot\vec\gt0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為銳角D.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)5.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的左、右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，過\(F_{2}\)的直線與雙曲線右支交于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vertAF_{1}\vert=\vertAB\vert\)，且\(\angleF_{1}AB=90^{\circ}\)，則雙曲線的離心率為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(\sqrt{10-2\sqrt{2}}\)6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)三個內角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，下列四個條件中，能使\(\triangleABC\)有唯一解的是（）A.\(a=1\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(A=30^{\circ}\)B.\(a=1\)，\(b=2\)，\(A=150^{\circ}\)C.\(a=1\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(A=45^{\circ}\)D.\(a=3\)，\(b=2\)，\(A=60^{\circ}\)7.已知直線\(l\)：\(y=kx+m\)與圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，且\(\vertAB\vert=2\sqrt{3}\)，則下列說法正確的是（）A.圓心到直線\(l\)的距離為\(\sqrt{2}\)B.\(k^{2}+m^{2}=2\)C.\(m=k+2\)或\(m=-k+2\)D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，直線\(l\)的方程為\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)8.已知\(F\)是拋物線\(y^{2}=2px\)（\(p\gt0\)）的焦點，\(A\)，\(B\)是拋物線上的兩點，\(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\)，則直線\(AB\)的斜率可能是（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(-\sqrt{3}\)C.\(2\sqrt{2}\)D.\(-2\sqrt{2}\)9.已知數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，則下列說法正確的是（）A.數列\(\{a_{n}+1\}\)是等比數列B.\(a_{n}=2^{n}-1\)C.數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=2^{n+1}-n-2\)D.數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=2n-1\)10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x-y\leqslant0\\x+2y\leqslant2\\x\geqslant-2\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+y\)的最大值為\(\frac{4}{3}\)B.\(z=x+y\)的最小值為\(-3\)C.\(z=3x-y\)的最大值為\(2\)D.\(z=3x-y\)的最小值為\(-10\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若直線\(l\)的斜率為\(k\)，傾斜角為\(\alpha\)，則\(k=\tan\alpha\)。（）2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）4.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。（）5.直線\(x-\sqrt{3}y+1=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)相交。（）6.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。（）7.若數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+1\)，則\(a_{n}=2n-1\)。（）8.在\(\triangleABC\)中，\(a\gtb\)是\(A\gtB\)的充要條件。（）9.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)共面，則\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)一定線性相關。（）10.拋物線\(y^{2}=4x\)的準線方程是\(x=-1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，求\(\{a_{n}\}\)的通項公式。-答案：設等差數列\(\{a_{n}\}\)的公差為\(d\)，則\(d=\frac{a_{5}-a_{3}}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)。又\(a_{1}=a_{3}-2d=5-2×2=1\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n