第6章計(jì)數(shù)原理

【章頭語】汽車號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè)，

并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高,家庭汽車擁有量迅速增長,汽車號(hào)牌序號(hào)

需要擴(kuò)容.那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法,才能滿足民眾的需求呢?這就需

要“數(shù)(shCi)出”某種汽車號(hào)牌序號(hào)的組成方案下所有可能的序號(hào)數(shù),這就是計(jì)數(shù).

口常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在.例如，幼兒會(huì)通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法,計(jì)算自

已擁有玩具的數(shù)量;學(xué)校要舉行班際籃球比賽,在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要

舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，

需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)……如果問題中數(shù)量很少，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一

種計(jì)數(shù)的好方法.但如果問題中數(shù)量很多,我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎？

在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方

法.這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.這

兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法,利用兩個(gè)計(jì)算原理還可以得到兩類特殊

計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式一排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題.

作為計(jì)數(shù)原理弓計(jì)數(shù)公式為一個(gè)應(yīng)用，木章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定

理.

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的,通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問

題中的數(shù)量很大時(shí),列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢?下面先分

析一個(gè)簡單的問題,并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.

【思考】

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種

不同的號(hào)碼？

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè),所以總共可以編出

26+10=36

種不同的號(hào)碼.

【探究】

你能說一說這個(gè)問題的特征嗎？

首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)

用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同,所以用英文

字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總

數(shù).

上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類;

(2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù);

(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加,得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

一般地,有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有幾種

不同的方法,那么完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.

你能舉一些生活中類

似的例子嗎？

?兩類不同方案中的

方法互不相同.

例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的

強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表6.

表6.1T

A

B大學(xué)

大學(xué)

生

數(shù)學(xué)

物學(xué)

化

會(huì)計(jì)學(xué)

學(xué)

醫(yī)信息技

學(xué)術(shù)學(xué)

物

法學(xué)

理學(xué)

工

程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇？

分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所,

而且只能選擇一個(gè)專業(yè),又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),所以符合分類加法計(jì)數(shù)原

理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法,在B大

學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的,所以根據(jù)分類加法計(jì)

數(shù)原理,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為

N=5十4=9

【探究】

如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有mi種不同的方法,在第2類方案中

有機(jī)2種不同的方法,在第3類方案中有瓶3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的

方法？

如果完成一件事情有n類不同方案,在每一米中都有若千種不同的方法,那么應(yīng)當(dāng)如何

計(jì)數(shù)呢？

【思考】

用前6個(gè)大寫英文字母和1?9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,…,A%Bi，B2,…的方式給教

室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問題的要求不同.在前一問題中,

用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.

但在這個(gè)問題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成,即得到一個(gè)

號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母,后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.用圖6.1-1所示的

方法可以列出所有可能的號(hào)碼.

字母數(shù)字得到的號(hào)碼

9

圖6.1-1是解決計(jì)數(shù)

問題常用的“樹狀圖”.你

能用樹狀圖列出所有可能

的號(hào)碼嗎？

圖6.1T

也可以這樣思考:

由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它

們互不相同，因此共有

6X9=54

種不同的號(hào)碼.

【探究】

你能說一說這個(gè)問題的特征嗎？

上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字

的出現(xiàn):-一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.空因此得到一個(gè)座位號(hào)要空

經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母空后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟,每一個(gè)英文字母與不同的

數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.

?無論第1步采用哪

種方法.與之對應(yīng)的第2

步都有相同的方法數(shù).

一般地,有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有幾種不同的方法,那

么完成這件事共有

N=mxn

例2某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共

有多少種不同的選法？

分析:要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男生；

第2步,選女生.解:第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法;第2步,從24名女生

中選出1人,有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同選法的種數(shù)為

/V=30x24=720.

【探究】

如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有血2種不同的方

法，做第3步有血3種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事情需要幾個(gè)步驟,做每一步都有若干種不同的方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)

例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有

2本不同的體育書.

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同取法？

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？

分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取】本書”，可以分從第1層、第2層和第3

層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、笫3層各取1本書”，

可以分三個(gè)步驟完成.

解：（1）從書架上任取1本書,有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，

有4種方法;第2類方案是從第2層取1本文藝書,有3種方法;第3類方案是從第3層取1

本體育書,有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為

N=4+3+2=9.

（2）從書架的笫1層、笫2層、笫3層各取1本書,，可以分三個(gè)步驟完成：笫1步，

從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,有4種方法;第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法;第3步,

從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為

N=4x3x2=24.

例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置.，

共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分

步完成.

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成:第1步，從3

幅畫中選1幅掛在左邊堵上,有3種選法;第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，

有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同掛法的種數(shù)為

N=3x2=6.

這6種掛法如圖6.1-2所示.

得到的掛法

左甲右乙

左甲右丙

左乙右甲

左乙右丙

左丙右甲

左內(nèi)右乙

圖6.1-2

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問

題.區(qū)別在于：分類加法A數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任

何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法

互相依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.

【練習(xí)】

1填空題

(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成,有5人只會(huì)用第1種方法完成,另有4人只會(huì)用第

2種方法完成,從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是

(2)從A村去B村的道路有3條,從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村,不同路線

的條數(shù)是

2在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇,B大學(xué)

共有4個(gè)專業(yè)可以選擇,應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+

4=10.這種算法有什么問題？

3書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，卜層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各】本，有多少種不同的取法？

4現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名，高二年級(jí)的學(xué)生5名，高三年級(jí)的學(xué)生4名.

(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

例5給程序模塊命名:需要用3個(gè)字符,其中首字符要求用字母A?G或U?Z,后兩個(gè)字

符要求用數(shù)字1?9,最多可以給多少個(gè)程序模塊命名？

分析：要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首

字符;第2步,選中間字符;第3步,選最后一個(gè)字符.而首字符又可以分為兩類.

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為

7+6=13.

后兩個(gè)字符從1-9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重發(fā),所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同名稱的個(gè)數(shù)是

你還能給出不同的解法嗎？

13x9x9=1053,

即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.

例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài),而這也是最容易控

制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為

了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符、需要對字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用I個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其

中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位,每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.

（1）1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？

（2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字,一個(gè)漢字為一個(gè)字符,要對這些漢字進(jìn)行編

碼,每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”.由于每個(gè)字節(jié)有

8個(gè)二進(jìn)制位,每一位上的值都有0,1兩種選擇,而且不同的順序代表不同的字符,因此可以

用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6753個(gè)

即可.

解：（1）用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié).

第1位第2位第3位第8位

???

2種2種2種2種

圖6.1-3

1個(gè)字節(jié)共有8位,每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,1個(gè)字節(jié)最多可以表示不

同字符的個(gè)數(shù)是

2x2x2x2x2x2x2x2=28=256.

（2）由（1）知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表

示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法,后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理,2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是

256x256=65536.

這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對這些漢字進(jìn)行編碼,每個(gè)漢字至

少要用2個(gè)字節(jié)表示.

例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試.程序員需要知道到底有多

少條執(zhí)行路徑（程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)

程序模塊由許多子模塊組成.圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊,它有多少條執(zhí)

行路徑？

另外,為了減少測試時(shí)間,程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試

方法，以減少測試次數(shù)嗎？

圖6.1-4

分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn);第2

步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成;第2

步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成.因此,分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需

要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理,子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為

18+45+28=91;

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為

38+43=81.

乂由分步乘法計(jì)數(shù)原理,整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為

91X81=7371.

在實(shí)際測試中，程序員總是把每?個(gè)子模塊看成?個(gè)黑箱,即通過只考察是否執(zhí)行了正

確的子模塊的方式來測試整個(gè)模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模

塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常,只需要測試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第

2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流星否正常,需要的測試次數(shù)為

3x2=6.

如果每個(gè)子模塊都工作正常,并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常,那么整個(gè)程序模

塊就工作正常.這樣測試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178.

你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？

顯然，178與7371的差距是非常大的.

例8通常,我國民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、

直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的

序號(hào)，如圖6.1-5所示.

冀A'JR005

省、自治區(qū)、

直轄市簡稱

發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)

圖6.1-5序號(hào)對于省和自治區(qū),發(fā)牌機(jī)關(guān)通常是指其地級(jí)市的公共交通管理部門，并用

英文字母依次編碼.例如河北省石家莊市、唐山市的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)分別為A,B.直轄市的發(fā)牌

機(jī)關(guān)代號(hào)可備案后依次自行使用.

其中,序號(hào)的編碼規(guī)則為：

(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除0,1之外的24個(gè)英文字母組成；

(2)最多只能有2個(gè)英文字母.

如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼,那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號(hào)

牌？

分析：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù).

按序號(hào)編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類:沒有

字母,有1個(gè)字母,有2個(gè)字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn),可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為五個(gè)

子類,將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類.

解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知,這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)

序號(hào)編碼規(guī)則,5位序號(hào)可以分為三類:沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.

(1)當(dāng)沒有字母時(shí),序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟,每一步都可

以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,這類號(hào)牌張數(shù)為

10x10x10x10x10=100000.

(2)當(dāng)有1個(gè)字母時(shí),這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第

5位,這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1步，從24個(gè)字母中選

1個(gè)放在第1位，有24種選法;第2?5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10

種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,號(hào)牌張數(shù)為

24x10x10x10x10=240000.

同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這類號(hào)牌張數(shù)一共為

240000+2400004-240000+240000+240000=1200000.

(3)當(dāng)有2個(gè)字母時(shí),根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：

第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位，第2位和第3位，第2

位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1,2步都是從

24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3?5步都是從10個(gè)數(shù)字中

選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,號(hào)牌張數(shù)為

24x24x10x10x10=576000.

同樣,其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有57600()張.

于是,這類號(hào)牌張數(shù)一共為

576000x10=5760000.

綜合(1)(2)(3),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為

100000+1200000+5760000=7060000.

【思考】

你能歸納一下用分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的方法嗎？

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：

(1)要完成的“一件事”是什么；(2)需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求

和,得到總數(shù).

分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分步后再計(jì)算每一步的方

法數(shù),最后根據(jù)分步乘法十?dāng)?shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù).

【思考】

乘法運(yùn)算是特定條件下加法運(yùn)算的簡化，分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理也有這

種類似的關(guān)系嗎？

【練習(xí)】

1.乘積(。1+。2+。3)(仇+82+仇)(G+c2+c3+c4+C5)展開后共有多少項(xiàng)?

2在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)？

3某商場有6個(gè)門,如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場,并且要求從其他的門出去,

那么共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？

4仟意畫一條育線,在直線上仔取幾個(gè)分點(diǎn).

(1)從這九個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段,可得到多少條線段？

(2)從這幾個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量,可得到多少個(gè)向量？

習(xí)題6.1

【復(fù)習(xí)鞏固】

1一個(gè)商店銷售某種型號(hào)的電視機(jī),其中本地的產(chǎn)品有4種,外地的產(chǎn)品有7種.要買1

臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī)，有多少種不同的選法？

2如圖，從甲地到乙地有2條路,從乙地到丁地有3條路;從甲地到丙地有4條路,從丙地

到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？

(第3題)

3如圖，要讓電路從A處到B處接通,可有多少條不同的路徑？

4用159,13中的任意一個(gè)數(shù)作分子,4,8,12,16中任意一個(gè)數(shù)作分母,可構(gòu)成多少個(gè)不同

的分?jǐn)?shù)?可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)？

5一個(gè)I」袋內(nèi)裝有5人小球,另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不相同.

從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球,共有多少種不同的取法？

6(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在力=｛0,1,2,3,4,5｝內(nèi)取值的不同點(diǎn)共有

多少個(gè)？

(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合8=｛135,7｝內(nèi)取值,y軸上的截距在集合C=

｛2,4,6,8｝內(nèi)取值的不同直線共有多少條？

【綜介應(yīng)用】

7一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有0~9共10個(gè)數(shù)字.現(xiàn)最后一個(gè)撥號(hào)盤出現(xiàn)

了故障,只能在0?5這6個(gè)數(shù)字中撥號(hào),這4個(gè)撥號(hào)盤可組成多少個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼？

8(1)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì),每人限報(bào)其中的一個(gè)

運(yùn)動(dòng)隊(duì),不同報(bào)法的種數(shù)是34還是43?

(2)3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇?處游覽,不同選法的種數(shù)是35還是53?

9(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué),每人一件,有多少種不同的送法？

⑵有5個(gè)編了號(hào)的抽屜,要放進(jìn)3本不同的書,不同的放法有多少種？(?個(gè)抽屜可放多

本書.)

10口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球,每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出2個(gè)球.

(1)正好是白球、紅球各一個(gè)的取法有多少種？

(2)正好是兩個(gè)白球的取法有多少種？

(3)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？

(4)兩球的顏色相同的取法有多少種？

【擴(kuò)展探索】

11在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出現(xiàn)

同一人連續(xù)值班2天,有多少種可能的安排方法？

122160有多少個(gè)不同的正因數(shù)？

【探究與發(fā)現(xiàn)】

子集的個(gè)數(shù)有多少

問題n元集合4=｛的,做，…，。"的子集有多少個(gè)？

為了解決這個(gè)問題，一個(gè)可行的思路是先研究一下某些具體集合，如S=｛%,g，的｝的子

集個(gè)數(shù),從中獲得啟發(fā)，然后對一般的情況進(jìn)行研究.

由于S中的元素只有3個(gè),因此可以用列舉法列出它的所有子集:

0,｛%｝,5｝，Q｝，儂，見，Si，a3],[a2,a3｝,S.

可見,一個(gè)含有3個(gè)元素的集合共有8個(gè)子集.

如果一個(gè)集合所含元素較少,可以用列舉法確定其子集的個(gè)數(shù).但如果集合中的元素較

多，用這種方法確定子集個(gè)數(shù)就不太方便了.另外,從上述描述中較難發(fā)現(xiàn)集合S中所含元素

的個(gè)數(shù)3與其子集個(gè)數(shù)8之間的關(guān)系.

雖然列舉法較“笨”，但它是計(jì)數(shù)的基本方法.請你列舉一下4元集合｛%,。2，。3，&｝、5

元集合｛%,與，。3,。4,Q5｝的子集?為了發(fā)現(xiàn)規(guī)律,需要采取另外的方法.一個(gè)自然的想法是,應(yīng)

當(dāng)設(shè)法用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

顯然,元素=1,2,3）與各子集的關(guān)系只有兩種:4屬于子集或4?不屬于子集.這樣,我

們可以考慮用考察S中的每一個(gè)元素屬不屬于某個(gè)子集的方法來得到一個(gè)子集.因?yàn)镾中有3

個(gè)元素，所以要得到集合S的一個(gè)子集S1，可以分三個(gè)步驟：

第1步，考察元素田是否在品中，有2種可能（%￡工,由WSD；

第2步,考察元素a?是否在工中,有2種可能（%G%?CSI；

第3步,考察元素的是否在Sx中，有2種可能（%CC邑）?

只要完成上述三個(gè)步驟,那么集合與中元素就完全確定了.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,對于

由3個(gè)元素組成的集合,子集的個(gè)數(shù)為

2x2x2=23=8.

從上述過程,可以看到集合S中所含元素的

由此,你是否對把空集及原集合自身作為子集的規(guī)定有進(jìn)一步的理解?個(gè)數(shù)3與其子集

個(gè)數(shù)8之間的關(guān)系:3是23中的指數(shù),而8是23的運(yùn)算結(jié)果.

一般地，我們有：

幾元集合力=｛。1，。2，,“，冊｝的不同子集有2"個(gè).

證明：要得到集合A的一個(gè)子集S1,可以分幾個(gè)步驟：

第1步，考察元素的是否在Si中，有2種可能（％WS】,為WSJ;

第2步，考察元素“2是否在工中,有2種可能伍2e舟,gCSI；

第々步，考察元素以是含在SI中，有2種可能（依GSi，Qk任SJ;

第九步,考察元素an是否在Si中，有2種可能（anGWSJ.

只要完成上述幾個(gè)步瞰,那么集合品中元素就完全確定了.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,對于

由幾個(gè)元素組成的集合,子集的個(gè)數(shù)為

2x2x???x2=2n.

n個(gè)2

你還能用另外的方法證明上述結(jié)論嗎?

1.2排列與組合

在上節(jié)例8的解答中我們看到,用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，因做了一些重復(fù)性工

作而顯得煩瑣.能否對這類計(jì)數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢?為此,先來分析兩個(gè)具體的問

題.

1.2.1排列

問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),

另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有幾種不同的選法？

此時(shí),要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同

學(xué)參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：

第1步,確定參加上午活動(dòng)的同學(xué),從3人中任選1人,有3種選法；

第2步,確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)

只能從剩下的2人中去選，有2種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為

3x2=6.

這6種不同的選法如圖6.2-1所示.

如果把上面問題中被取出的對象叫做元素,那么問題可敘述為：

從3個(gè)不同的元素a,b,c中任意取出2個(gè),并按一定的順序排成一列,共有多少種不同的

排列方法？

所有不同的排列是

ab,ac,ba,be,ca,cb,

上午下午相應(yīng)的選法

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

圖6.2-1

不同的排列方法種數(shù)為

3x2=6.

問題1中的“順序”是什么？

問題2從1,234這4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù),共可得到多少個(gè)不同的三

位數(shù)？

顯然,從4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè),按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列,就得到一

個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可以分三個(gè)步驟來解決

這個(gè)問題：

第1步,確定百位上的數(shù)字,從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；

第2步,確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)

字中去取，有3種方法；

第3步,確定個(gè)位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2

個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從1,2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出3個(gè)數(shù)字,按“百位、

十位、個(gè)位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為

4x3x2=24.

因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖6.2-2所示.

百位

十位

個(gè)位AAA

圖6.2-2

由此可寫出所有的三位數(shù):

123,124,132,134,142,143,

213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,

412,413,421,423,431,432.

同樣，問題2可以歸結(jié)為:

從4個(gè)不同的元素a,瓦c,d中任意取出3個(gè),并按照一定的順序排成一歹％共有多少種不

同的排列方法?

所有不同的排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,edb,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

問題2中的“順序”是什么？

不同的排列方法種數(shù)為

4x3x2=24.

【思考】

上述問題1,2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素,并按照一定的順序排成一列

的方法數(shù).

一磐地,從n個(gè)不同三素中取出(n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(arrangement).

根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件是:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列

順序也相同.例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同,它們是不同的排列;

“甲乙,,與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，

在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，

但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.

例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場

分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？

分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場比賽,可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支,圾主

隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.

解:可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì),然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì)按分步乘

法計(jì)數(shù)原理,每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為

6x5=30.

例2(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜,共有多

少種不同的取法？

(2)學(xué)校食堂的一個(gè)百口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少

種不同的選法？

分析:3名同學(xué)每人從5盤不同的采中取1盤菜,可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3

個(gè)位置(給3名同學(xué))的一個(gè)排列;而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種,每人都有

5種選法,不能看成一個(gè)排列.

解：(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙,

最后從剩下的3舟菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的取法種數(shù)為

5x4x3=60.

(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法;再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種,也有

5種選法;最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選

法種數(shù)為

5x5x5=125

【練習(xí)】

1寫出：

(1)用0?4這5個(gè)自然數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的全部兩位數(shù)；

(2)從a,b,c,d中取出2個(gè)字母的所有排列.2.一位老師要給4個(gè)班輪流做講座,每個(gè)班講

1場,有多少種輪流次序？

3(1)5名運(yùn)動(dòng)員中有3名參加乒乓球團(tuán)體比賽，如果前三場單打比賽每名運(yùn)動(dòng)員各七場1

次,那么前三場單打比賽的順序有兒種？

(2)乒乓球比賽規(guī)定，團(tuán)體比賽采取5場單打3勝制，每支球隊(duì)由3名運(yùn)動(dòng)員參賽，前三場

各出場1次,其中第1,2個(gè)出場的運(yùn)動(dòng)員分別還將參加笫4,5場比賽.寫出甲、乙、丙3人參

加比賽可能的全部順序.

排列數(shù)

前面給出了排列的定義，下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式.

我們把從幾個(gè)不同元素中取出血(血<九)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同

元素中取出zn個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)A；?表示.

例如,前面問題1是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),表示為A,.已經(jīng)算得

A|=3x2=6.

問題2是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù),表示為A*.已經(jīng)算得

A5=4x3x2=24.

【探究】

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)A弁(m<n)是多少？

可以先從特殊情況開始探究，例如求排列數(shù)A*根據(jù)前面的求解經(jīng)驗(yàn),可以這樣考慮：

假定有排好順序的兩個(gè)空位，如圖6.23所示，從幾個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，

一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填

法得到.因此,所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)A3

現(xiàn)在來計(jì)算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分

第1位第2位

圖6.2-3為兩個(gè)步驟完成：

第1步,填第1個(gè)位置的元素，可以從這〃個(gè)不同元素中任選1個(gè),有〃種選法，

第2步,填第2個(gè)位置的元素,可以從剩下的(n-1)個(gè)元素中任選1個(gè),有5-1)種選

法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,2個(gè)空位的填法種數(shù)為

An=n(n-1).

同理,求排列數(shù)A?；可以按依次填3個(gè)空位來考慮,有

%=n(n—l)(n—2).

一般地,求排列數(shù)AV可以按依次填m個(gè)空位來考慮：

假定有排好順序的m個(gè)空位,如圖6.2-4所示,從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空,一

個(gè)空位填上一個(gè)元素，每?種填法就對應(yīng)?個(gè)排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)

AP

第1位第2位第3位第加位

???

fftf

〃種(九-1)種(〃-2)種(〃-加+1)種

圖6.2-4

填空可以分為m個(gè)步驟完成：

第1步,從幾個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1位,有幾種選法；

第2步,從剩下的(九-1)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第2位,有(建-1)種選法；

第3步,從剩下的(九-2)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第3位,有(n-2)種選法；

第m步,從剩下的［"-(m-1)］個(gè)元素中任選1個(gè)填在第m位,有(n-m+1)種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,m個(gè)空位的填法種數(shù)為

n(n—l)(n—2)---(n-m+1).

這樣，我們就得到公式

A?=n(n—l)(n-2)???(n-m+1).

你能說?下排列數(shù)公式的特點(diǎn)嗎？

這里,九eN\并且m4n.這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式.

根據(jù)排列數(shù)公式,我們就能方便地計(jì)算出從幾個(gè)不同元素中取出＜九)個(gè)元素的所有

排列的個(gè)數(shù).例如,

A|=5x4=20,

A1=8x7x6=336.

特別地,我們把幾個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做幾個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí)，

排列數(shù)公式中m=n,即有

A%=n(n—l)(n—2)x???x3x2x1.

也就是說,將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1至h的連乘積.正整數(shù)1到

九的連乘積,叫做九的階乘,用加表示.于是,幾個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成

=n!.

另外，我們規(guī)定,0!=L

例3計(jì)算：

⑴A^；

(2)A1;

⑶條

*4

(4)A|xA1.

解:根據(jù)排列數(shù)公式,可得

⑴的=7x6x5=210;

(2)=7x6x5x4=840;

(3)^=^=7x6x5=210;

(4)AjxAl=6x5x4x3x2x1=61=720.

【思考】

由例3可以看到,A>=g=j!;AjxAl=6!=At艮鳳=等號(hào)觀察這兩個(gè)結(jié)果,從

中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？4

事實(shí)上,

A7=n(n—l)(n-2)???(n-m+1)

n\n-l)(n—2)—(n-m+l)(n—m)x-x2x1

(71-ni)x???x2x1

A2

一nA—n-mm

n\

(zt-zn)!'

因此，排列數(shù)公式還可以寫成

幾！

蹄=

(n-my.,

例4用0?9這10個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

分析:在0?9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上,而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上,

因此0是一個(gè)特殊的元素.一般地,我們可以從特殊元素H勺位置入手來考慮問題.

解法1:如圖6.2-5所示，由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0,所以可以分兩步完成:第

1步,確定百位上的數(shù)字,可以從1?9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè),有A3種取法;第2步,確定十位

和個(gè)位上的數(shù)字,可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè),有用種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

百位十位個(gè)位

AJ種Aj種

圖6.2-5

A^xA|=9x9x8=648.

解法2：如圖6.2-6所示,符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類,每一位數(shù)字都不是

0的三位數(shù),可以從1?9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè),有Ag種取法;第2類,個(gè)位上的數(shù)字是0的

三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位,有AW種取法;第3類,十位上的

數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位,有AW種取法.

圖6.2-6

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A5+A|+A|=9x8x7+9x84-9x8=648.

解法3：從0?9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為A%其中0在百位上的排列數(shù)為Aj,

它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù),即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A30-A1=10x9x8-9x8=648.

對于例4這類計(jì)數(shù)問題，從不同的角度就有不同的解題方法.解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是

0的要求,按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件

事;解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn),按分類加法計(jì)數(shù)原理完成這件事;解法3

是一種間接法,先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)，然后減去其中百位是0的排列數(shù)（不

是三位數(shù)的個(gè)數(shù)），就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).

從上述問題的解答過程可以看到，引人排列的概念，歸納出排列數(shù)公式,我們就能便捷地

求解“從幾個(gè)不同元素中取出小（加4九）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類特殊的計(jì)數(shù)問題.

【練習(xí)】

1先計(jì)算，然后用計(jì)算工具檢驗(yàn)：

⑴AQ

⑵%

(3)A5S-15AJ4；

(4凈.

'12

2求證：

(l)A《=nA";

⑵A，8A；+7A3=A4.

3一個(gè)火車站有8股岔道,如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車,共

有多少種不同的停放方法？

1.2.2組合

【探究】

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法?這一問題與6.2.1

節(jié)的問題1有什么聯(lián)系與區(qū)別？

在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種

不同順序的選法,我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學(xué),然后再分配上午和下午而得到

的.同樣，先選出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也都各有2種方法.而從甲、乙、丙3

名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),就只需考慮將選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的

順序.于是,在621節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如F3

種情況：

甲乙，甲丙，乙丙.

將具體背景舍去,上述問題可以概括為：

從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組,一共有多少個(gè)不同的組？

這就是我們要研究的問題.

一般地,從