高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市臨潼區2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某天小張要坐動車或高鐵從西安出發去漢中出差，已知當天西安到漢中有20趟動車、15趟高鐵，則小張當天從西安出發去漢中的選擇共有（）A.20種 B.35種 C.120種 D.300種【答案】B【解析】由分類加法計數原理，得小張當天從西安出發去漢中的選擇共有種．故選：B.2.若X的分布列為，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由分布列的性質可知：，所以，解得．故選：B3.某工廠有甲、乙、丙3條流水線生產同一種產品，甲、乙、丙流水線的產量分別占總產量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水線的不合格品率依次為0.03，0.02，0.01，現從該廠的產品中任取1件，則抽到不合格品的概率為（）A.0.021 B.0.022 C.0.023 D.0.04【答案】B【解析】根據全概率公式可得，任取1件產品且抽到不合格品的概率為.故選：B4.在的展開式中，常數項為（）A. B.15 C. D.30【答案】B【解析】，令，得，∴常數，故選：B．5.現有2名導游與6位游客站成一排拍照，則導游不站在一起的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】由插空法可得導游不站在一起的排法共有種．故選：D.6.函數的大致圖象如圖所示，設的導函數為，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數的圖象可知，當和時，；當時，；又由圖可知當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞減，則，所以的解集為．故選：C.7.一箱獼猴桃共有20個，其中有若干個為爛果（爛果率低于50%），從這一箱獼猴桃中任取2個，恰有1個爛果的概率為，則這箱獼猴桃的爛果個數為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】設這一箱獼猴桃中有n個爛果．由超幾何概型，得，解得或，因為爛果率低于50%，所以，則．故選：C8.用四種不同的顏色給圖中5個區域染色，要求邊界有重合部分的區域（僅頂點與邊重合或僅頂點與頂點重合不算)染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.112種 B.146種 C.192種 D.168種【答案】D【解析】對1，4，5染色，有種方法．若1和3同色，則不同的染色方法有種；若1和3不同色，則不同的染色方法有種．綜上，不同的染色方法有168種.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若服從兩點分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為服從兩點分布，且，所以，A錯誤，B正確；隨機變量的分布列為：則，，故C與D都正確．故選：BCD10.若數列為等比數列，其前n項積為，且，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】設的公比為，由等比數列的性質可得，所以，則由選項可知，的值可能為，．故選：AB11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的圖象在點處的切線方程是B.C.若關于的不等式恒成立，則D.【答案】BCD【解析】對于A，，則，，則的圖象在點處的切線方程是，即，故A錯誤；對于B，令，解得，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，故B正確；對于C，恒過點，的圖象過點，且在點處的切線方程為，作出與的圖象，由圖知，要使關于的不等式恒成立，需使，故C正確；對于D，令，則，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，當且僅當時，等號成立，故，令，則，故，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若小張計劃在下周一到周三中選一天去打羽毛球，已知他下周一，周二，周三去打羽毛球的概率分別為0.2，0.3，0.5，則他下周一不去打羽毛球的概率為________，在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率為________．【答案】0.8；0.625【解析】設小張下周一、周二、周三去打羽毛球分別為事件A，B，C，則，，，則他下周一不去打羽毛球的概率為；在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率為．故答案為：0.8；0.625.13.對于數列，記區間內奇數的個數為，則稱數列為的奇數列.若數列為數列的奇數列，則________，數列的前項和=________.【答案】2；【解析】當時，在區間內的奇數為3，5，共有2個，則．易知在區間內的奇數為3，5，…，，所以，等差數列，首項，則．故答案為：2，14.在的展開式中，的系數為________．【答案】【解析】在的展開式中，含的項為，所以的系數為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15已知，且．（1）求m的值；（2）求的值．解：（1）令，得；令，得．因為，所以，故．（2）令，得，因為，所以．16.圍棋源于中國，是中國傳統文化中的瑰寶，下圍棋可陶冶情操．某中學堅持開展圍棋活動，以提高學生的思維能力，其圍棋社的成員中有60名男生，50名女生．為了解圍棋社成員是否利用AI學棋的情況，現采用比例分配的分層抽樣方法抽取11名成員調查分析．（1）求男生和女生各抽取多少人．（2）在抽取的11人中，有2名女生明確利用AI學棋，現在從剩下的9名成員中再依次隨機抽取3次，每次抽取1人．①在第一次抽到女生的條件下，求第二次抽到男生的概率；②設抽到的女生人數為X，求X的期望．解：（1）由題意，得分層抽樣的抽樣比為，所以抽取男生的人數為，抽取女生的人數為．（2）由已知得剩下的9名成員中，有名女生，有6名男生．①設“第一次抽到女生”為事件A，“第二次抽到男生”為事件B，則，，則．②X的可能取值為0，1，2，3，則，，，，故．17.設隨機變量，．（1）求；（2）若，求；（3）當p在變化時，求取得最大值時p的值．解：（1）因為，，所以．（2）因為，所以，所以．（3）因為，，所以．設，求導得．可知在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.所以當時，取得最大值，即取得最大值時，p的值為．18.已知函數．（1）討論的單調區間；（2）證明：當時，的最小值不大于．解：（1）的定義域為，．當時，，單調遞減區間為；當時，令，解得，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增．綜上，當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為．（2）當時，由（1）可知．令，，則，因在上單調遞減，則在上單調遞減，且，故當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減，故，所以，故當時，的最小值不大于．19.已知一個盒中裝有3個大小，形狀完全相同的小球（1個紅球和2個黑球），從盒中每次隨機不放回地取出1個小球，若取出的是紅球，則將1個黑球放入盒中；若取出的是黑球，則將1個紅球放入盒中，以上取1個球再放1個球的過程稱為1次操作．假設每次取球相互獨立．（1）經過2次操作后，記盒中紅球的個數為X，求X的分布列；（2）求第3次操作取到紅球的概率；（3）設經過次操作后，盒中全是黑球的概率為，求數列的前n項和．解：（1）由題意，的所有可能取值為1,3，故的分布列為13（2）由題意，（方法一）設事件表示第次取到紅球，則（方法二）由（1）知第3次操作取到紅球的概率為．（3）由題意及（1）（2）得，設次操作后，盒中全是黑球、1個紅球和2個黑球、2個紅球和1個黑球、全是紅球的概率分別為．由操作規則可知，當為奇數時，盒中全是黑球或2個紅球、1個黑球，當為偶數時，盒中全是紅球或1個紅球、2個黑球，即，其中．因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，則．故．即.陜西省西安市臨潼區2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某天小張要坐動車或高鐵從西安出發去漢中出差，已知當天西安到漢中有20趟動車、15趟高鐵，則小張當天從西安出發去漢中的選擇共有（）A.20種 B.35種 C.120種 D.300種【答案】B【解析】由分類加法計數原理，得小張當天從西安出發去漢中的選擇共有種．故選：B.2.若X的分布列為，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】由分布列的性質可知：，所以，解得．故選：B3.某工廠有甲、乙、丙3條流水線生產同一種產品，甲、乙、丙流水線的產量分別占總產量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水線的不合格品率依次為0.03，0.02，0.01，現從該廠的產品中任取1件，則抽到不合格品的概率為（）A.0.021 B.0.022 C.0.023 D.0.04【答案】B【解析】根據全概率公式可得，任取1件產品且抽到不合格品的概率為.故選：B4.在的展開式中，常數項為（）A. B.15 C. D.30【答案】B【解析】，令，得，∴常數，故選：B．5.現有2名導游與6位游客站成一排拍照，則導游不站在一起的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】由插空法可得導游不站在一起的排法共有種．故選：D.6.函數的大致圖象如圖所示，設的導函數為，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數的圖象可知，當和時，；當時，；又由圖可知當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞減，則，所以的解集為．故選：C.7.一箱獼猴桃共有20個，其中有若干個為爛果（爛果率低于50%），從這一箱獼猴桃中任取2個，恰有1個爛果的概率為，則這箱獼猴桃的爛果個數為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】設這一箱獼猴桃中有n個爛果．由超幾何概型，得，解得或，因為爛果率低于50%，所以，則．故選：C8.用四種不同的顏色給圖中5個區域染色，要求邊界有重合部分的區域（僅頂點與邊重合或僅頂點與頂點重合不算)染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A.112種 B.146種 C.192種 D.168種【答案】D【解析】對1，4，5染色，有種方法．若1和3同色，則不同的染色方法有種；若1和3不同色，則不同的染色方法有種．綜上，不同的染色方法有168種.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若服從兩點分布，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為服從兩點分布，且，所以，A錯誤，B正確；隨機變量的分布列為：則，，故C與D都正確．故選：BCD10.若數列為等比數列，其前n項積為，且，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】設的公比為，由等比數列的性質可得，所以，則由選項可知，的值可能為，．故選：AB11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的圖象在點處的切線方程是B.C.若關于的不等式恒成立，則D.【答案】BCD【解析】對于A，，則，，則的圖象在點處的切線方程是，即，故A錯誤；對于B，令，解得，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，故B正確；對于C，恒過點，的圖象過點，且在點處的切線方程為，作出與的圖象，由圖知，要使關于的不等式恒成立，需使，故C正確；對于D，令，則，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，當且僅當時，等號成立，故，令，則，故，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若小張計劃在下周一到周三中選一天去打羽毛球，已知他下周一，周二，周三去打羽毛球的概率分別為0.2，0.3，0.5，則他下周一不去打羽毛球的概率為________，在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率為________．【答案】0.8；0.625【解析】設小張下周一、周二、周三去打羽毛球分別為事件A，B，C，則，，，則他下周一不去打羽毛球的概率為；在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率為．故答案為：0.8；0.625.13.對于數列，記區間內奇數的個數為，則稱數列為的奇數列.若數列為數列的奇數列，則________，數列的前項和=________.【答案】2；【解析】當時，在區間內的奇數為3，5，共有2個，則．易知在區間內的奇數為3，5，…，，所以，等差數列，首項，則．故答案為：2，14.在的展開式中，的系數為________．【答案】【解析】在的展開式中，含的項為，所以的系數為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15已知，且．（1）求m的值；（2）求的值．解：（1）令，得；令，得．因為，所以，故．（2）令，得，因為，所以．16.圍棋源于中國，是中國傳統文化中的瑰寶，下圍棋可陶冶情操．某中學堅持開展圍棋活動，以提高學生的思維能力，其圍棋社的成員中有60名男生，50名女生．為了解圍棋社成員是否利用AI學棋的情況，現采用比例分配的分層抽樣方法抽取11名成員調查分析．（1）求男生和女生各抽取多少人．（2）在抽取的11人中，有2名女生明確利用AI學棋，現在從剩下的9名成員中再依次隨機抽取3次，每次抽取1人．①在第一次抽到女生的條件下，求第二次抽到男生的概率；②設抽到的女生人數為X，求X的期望．解：（1）由題意，得分層抽樣的抽樣比為，所以抽取男生的人數為，抽取女生的人數為．（2）由已知得剩下的9名成員中，有名女生，有6名男生．①設“第一次抽到女生”為事件A，“第二次抽到男生”為事件B，則，，則．②X的可能取值為0，1，2，3，則，，，，故．17.設隨機變量，．（1）求；（2）若，求；（3）當p在變化時，求取得最大值時p的值．解：（1）因為，，所以．（2）因為，所以，所以．（3）因為，，所以．設，求導得．可知在