高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省太原市2024-2025學年高二下學期期中學業診斷數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.等差數列中，，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】由等差數列的性質可知：，又，所以，故選：B2.已知函數，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】由題設，則.故選：C3.等比數列中，，，則的前項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若數列的公比為，則，故.故選：D4.函數的極小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設，當，，在上單調遞減，當，，在上單調遞增，所以函數的極小值為.故選：A5.已知等比數列中，，且，，成等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，若的公比為，則，，所以，則.故選：D6.函數的單調遞減區間是（）A.和 B.和 C. D.【答案】C【解析】由題設且，當，則，在上單調遞減，當，則，在上單調遞增，所以單調遞減區間是.故選：C.7.已知等差數列的前n項和為，且，是以1為公差的等差數列，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令的公差為，又，則，即，由的公差為1，且，則，所以，又，故，所以，則，故，故、，A、B錯；，則、，C對、D錯.故選：C8.已知是定義在上的函數的導函數，且滿足，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在R上單調遞減，所以，則，，，，由，則，所以，，，.故選：D二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增 B.的極小值為-4C.有三個零點 D.的對稱中心為（1，-2）【答案】BD【解析】由，可得：，由，可得：或，由，可得，所以在和單調遞增，在單調遞減，A錯，在處取到極小值，B對，在取得極大值，結合單調性可知有兩個零點，C錯，又，所以的對稱中心為，D對，故選：BD10.已知數列滿足，，是的前n項和，則下列結論正確的是（）A.是等比數列 B.C. D.【答案】ACD【解析】由題設，且，則是首項、公比均為2的等比數列，所以，則，故，A對，B錯；由，則，C對；由，所以，D對.故選：ACD11.已知等比數列中，，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】令的公比為，則，，故，所以，令且，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，即，若時，而，矛盾！所以，對于且，則，即在上單調遞增，所以，則在上恒成立，故，所以，A對；由且，則，，C、D對；當，，則，所以，即，B錯.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數的單調遞增區間為______．【答案】【解析】函數f（x）＝ex﹣x的導數為f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，解得x＞0，故答案為（0，+∞）．13.已知數列的前項和為，，則_____.【答案】30【解析】由題設.故答案為：3014.若對于任意，都有成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得：，即，構造函數，易知單調遞增，所以，等價于在恒成立，即在恒成立，構造函數，，易得時，，時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，即實數的取值范圍是，故答案為：四、解答題（本題共5小題；共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，求的值域.解：（1）由題設，當或，，則在、上單調遞增，當，，則上單調遞減，所以增區間為、，減區間為；（2）由（1）知，在、上單調遞增，在上單調遞減，且，，，，所以時，的值域為.16.已知數列的前項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）在等差數列中，，，求數列的前n項和.解：（1）①，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，即，故為首項為2，公比為2的等比數列，所以；（2）由（1）知，，，設的公差為，則，解得，所以，，故，所以，兩式相減得，所以.17.已知函數.（1）求函數的極值；（2）若函數恰有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1）由題設，當或，，在、上單調遞增，當，，在上單調遞減，所以極大值為，極小值為.（2）由時，趨向于，時，趨向于，且，結合（2）知，在上，且，要使函數恰有兩個零點，則或.18.已知數列的前項積為，且.（1）證明：是等差數列；（2）設，求數列的前項和；（3）若對于任意，恒成立，求實數的最大值.解：（1）當，則，故，所以，由，故，可得，由，則，所以是首項為2，公差為1的等差數列；（2）由（1）得，則，故，所以，當為偶數時，，當為奇數時，，所以；（3）由（2）得，原不等式等價于，令，，則，故，即，所以在上單調遞增，故，即實數的最大值.19.已知函數，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）若在上有零點，求的取值范圍.解：（1）當時，，，則，所以，所以曲線在點處的切線方程，即；（2）①當時，即時，易知的解集為，，的解集為，所以在，單調遞增，在單調遞減；②當時，即，恒成立，所以在上單調遞增；③當時，即，易知的解集為，，的解集為，所以在，單調遞增，在單調遞減；④當，即時，由可得：，由，可得：，所以在單調遞增，在單調遞減；綜上：時，在，單調遞增，在單調遞減；時，在上單調遞增；時，，單調遞增，在單調遞減；時，在單調遞增，在單調遞減；（3）由（2）得當時，在上遞增，，此時在上無零點，不合題意；當時，在上遞減，在上遞增，，取時，證明不等式，，設，，則，，設，，則，則在上單調遞增，則，即在上恒成立，則上單調遞增，則，即，，用替換得，則，，，，使得符合題意；綜上，的取值范圍為．山西省太原市2024-2025學年高二下學期期中學業診斷數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.等差數列中，，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】由等差數列的性質可知：，又，所以，故選：B2.已知函數，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】由題設，則.故選：C3.等比數列中，，，則的前項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若數列的公比為，則，故.故選：D4.函數的極小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設，當，，在上單調遞減，當，，在上單調遞增，所以函數的極小值為.故選：A5.已知等比數列中，，且，，成等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，若的公比為，則，，所以，則.故選：D6.函數的單調遞減區間是（）A.和 B.和 C. D.【答案】C【解析】由題設且，當，則，在上單調遞減，當，則，在上單調遞增，所以單調遞減區間是.故選：C.7.已知等差數列的前n項和為，且，是以1為公差的等差數列，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令的公差為，又，則，即，由的公差為1，且，則，所以，又，故，所以，則，故，故、，A、B錯；，則、，C對、D錯.故選：C8.已知是定義在上的函數的導函數，且滿足，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在R上單調遞減，所以，則，，，，由，則，所以，，，.故選：D二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增 B.的極小值為-4C.有三個零點 D.的對稱中心為（1，-2）【答案】BD【解析】由，可得：，由，可得：或，由，可得，所以在和單調遞增，在單調遞減，A錯，在處取到極小值，B對，在取得極大值，結合單調性可知有兩個零點，C錯，又，所以的對稱中心為，D對，故選：BD10.已知數列滿足，，是的前n項和，則下列結論正確的是（）A.是等比數列 B.C. D.【答案】ACD【解析】由題設，且，則是首項、公比均為2的等比數列，所以，則，故，A對，B錯；由，則，C對；由，所以，D對.故選：ACD11.已知等比數列中，，，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】令的公比為，則，，故，所以，令且，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，即，若時，而，矛盾！所以，對于且，則，即在上單調遞增，所以，則在上恒成立，故，所以，A對；由且，則，，C、D對；當，，則，所以，即，B錯.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數的單調遞增區間為______．【答案】【解析】函數f（x）＝ex﹣x的導數為f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，解得x＞0，故答案為（0，+∞）．13.已知數列的前項和為，，則_____.【答案】30【解析】由題設.故答案為：3014.若對于任意，都有成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得：，即，構造函數，易知單調遞增，所以，等價于在恒成立，即在恒成立，構造函數，，易得時，，時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，即實數的取值范圍是，故答案為：四、解答題（本題共5小題；共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，求的值域.解：（1）由題設，當或，，則在、上單調遞增，當，，則上單調遞減，所以增區間為、，減區間為；（2）由（1）知，在、上單調遞增，在上單調遞減，且，，，，所以時，的值域為.16.已知數列的前項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）在等差數列中，，，求數列的前n項和.解：（1）①，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，即，故為首項為2，公比為2的等比數列，所以；（2）由（1）知，，，設的公差為，則，解得，所以，，故，所以，兩式相減得，所以.17.已知函數.（1）求函數的極值；（2）若函數恰有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1）由題設，當或，，在、上單調遞增，當，，在上單調遞減，所以極大值為，極小值為.（2）由時，趨向于，時，趨向于，且，結合（2）知，在上，且，要使函數恰有兩個零點，則或.18.已知數列的前項積為，且.（1）證明：是等差數列；（2）設，求數列的前項和；（3）若對于任意，恒成立，求實數的最大值.解：（1）當，則，故，所以，由，故，可得，由，則，所以是首項為2，公差為1的等差數列；（2）由（1）得，則，故，所以，當為偶數時，，當為奇數時，，所以；（3）由（2）得，原不等式等價于，令，，則，故，即，所以在上單調遞增，故，即實數的最大值.19.已知函數，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）若在上有零點，求的取值范圍.解：（1）當時，，，則，所以，所以曲線在點處的切線方程，即；（2）①當時，即時，易知的解集為，，的解集為，所以在，單調遞增，在單調遞減；②當時，即，