高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市莒南縣2024-2025學年高一上學期期中學業質量檢測數學試題一、單選題（本題本題每小題5分共40分）1.下列函數圖象中，可以表示非奇非偶函數的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A:函數圖象關于y軸對稱，函數為偶函數，A選項錯誤；對于B:函數圖象關于原點對稱，函數為奇函數，B選項錯誤；對于C:函數圖象關于原點對稱，函數為奇函數，C選項錯誤；對于D:函數圖象既不關于y軸對稱也不關于原點對稱，函數是非奇非偶函數，D選項正確.故選：D2.是的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，可得一定成立，所以充分性成立；反之：當時，不一定成立，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：C.3.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，則所以圖中陰影部分表示的集合是或，故選:A.4.下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】B【解析】A.，其中，，，，所以，即，故A錯誤；B.若，若，則，則，若，則，則，故B正確；C.若，則，且，所以，故C錯誤；D.若，則，，所以，故D錯誤.故選：B5.函數的最小值及取得最小值時的值為（）A.當時最小值為 B.當時最小值為C.當時最小值為 D.當時最小值為【答案】D【解析】化簡函數,因為，根據基本不等式則.所以.當且僅當時取等號，解方程，得到，解得.故函數的最小值為，取得最小值時的值為.故選：D.6.已知為奇函數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因為為奇函數，所以，即，所以.故選：A7.若函數的定義域為，值域為則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的定義域為，對稱軸,當時，在單調遞減，則，，而函數的值域為，則，解得，故，當時，在單調遞減，在單調遞增，則，，，故，解得，故，綜上所述，的取值范圍為，故選：A8.如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數學家趙爽于公元3世紀在給《周髀算經》"勾股網方圖"作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數學符號語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數）．則，．某同學讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（）A.24 B.30 C.32 D.36【答案】C【解析】由題可知，，，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，又“趙爽弦圖”的面積為，所以當時，“趙爽弦圖”的最小面積為.故選：C二、多選題（本題本題每小題6分共18分）9.已知函數，則（）A.的定義域為 B.的值域為C.為增函數 D.的圖象關于坐標原點對稱【答案】ABD【解析】對于選項A：對于分段函數，當，時有意義，所以的定義域為，選項A正確.對于選項B：當時，的值域為，因為，隨著增大而增大，當趨近于時，趨近于.當時，的值域為，因為，隨著增大而增大，當趨近于時，趨近于.綜合起來，的值域為，選項B正確.對于選項C：當時，是單調遞增的.當時，是單調遞增的.但是在處不連續，例如取，，，，當時，，并不滿足對于任意的都有，所以不是增函數，選項C錯誤.對于選項D：對于奇函數，有.當時，，，.當時，，，.所以是奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項D正確.故選：ABD10.下列四個結論中正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“，”為假命題，則C.設，，則“”的充分不必要條件是“”D.{是無理數}，是無理數【答案】AD【解析】A.根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知A正確；B.由題意可知，命題“”為真命題，即，即，故B錯誤；C.，不能推出，例如，，反過來，也不能推出，例如，，是的既不充分也不必要條件，故C錯誤；D.是無理數，也是無理數，故D正確.故選：AD11.對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若且，則 D.存在，使得【答案】AB【解析】A選項，且，則，故，且中元素不能出現在中，故，A正確；B選項，且，則，即與是相同，所以，B正確；C選項，因為，所以，故，C錯誤；D選項，，其中，，故，而，故，D錯誤.故選：AB三、填空題（本題每小題5分，共15分）12.若集合，，則_________．【答案】【解析】，得或，即，解得：，即，所以.故答案為：13.已知定義在上的偶函數滿足當時，則_________．【答案】2【解析】因為是偶函數，所以.當時，由于，根據，可得.因為，所以.又因為是偶函數，所以.當時，由于，根據分段函數，可得.所以.故答案為：2.14.已知，若恒成立，寫出符合條件的正整數_________.（寫出一個即可）【答案】1（，，，任一個都行，答案不唯一）.【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立所以的最小值是，因為恒成立，所以，，又因為是正整數，所以，，.故答案為：1（，，，任一個都行，答案不唯一）.四、解答題（本題共77分）15.已知冪函數為奇函數.（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題意，冪函數，可得，即，解得或，當時，函數為奇函數，當時，為非奇非偶函數，因為為奇函數，所以.（2）由（1）知，可得在上為增函數，因為，所以，解得，所以的取值范圍為.16.已知集合，.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若“”是“”的充分條件，求實數a的取值范圍.解：（1），，，故，解得，此時，滿足，故（2）“”是“”的充分條件，故為的子集，若，此時，解得，若，此時，解得，綜上，實數a的取值范圍是.17.已知函數.（1）判斷在區間上的單調性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區間上的值域.解：（1）在區間上單調遞增，證明如下：，，且，有.因為，，且，所以，.于是，即.故在區間上單調遞增.（2）的定義域為.因為，所以為奇函數.由（1）得在區間上單調遞增，結合奇偶性可得在區間上單調遞增.又因為，，所以在區間上的值域為.18.某農戶計劃在一片空地上修建一個田字形的菜園如圖所示，要求每個矩形用地的面積為且需用籬笆圍住，菜園間留有一個十字形過道，縱向部分路寬為，橫向部分路寬為.（1）當矩形用地的長和寬分別為多少時，所用籬笆最短？此時該菜園的總面積為多少？（2）為節省土地，使菜園的總面積最小，此時矩形用地的長和寬分別為多少？解：（1）設矩形用地平行于橫向過道的一邊長度為，則所需籬笆的長度為，又，當且僅當時，等號成立，所以當矩形用地的長和寬均為時，所用籬笆最短，此時該菜園的總面積為；（2）設矩形用地平行于橫向過道一邊長度為，菜園的總面積為，則，當且僅當即時，等號成立，此時另一邊為，即矩形的長和寬分別為時，菜園的總面積最小.19.閱讀材料一：利用整體思想解題，運用代數式的恒等變形，使不少依照常規思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設元；（3）整體帶入；（4）整體求和等.例如，，求證.證明：.閱讀材料二：解決多元變量問題時，其中一種思路是運用消元思想將多元問題轉化為一元問題，再結合一元問題處理方法進行研究.例如，正實數，滿足，求的最小值.解：由，得，所以，當且僅當，即，時，等號成立.所以的最小值為.結合閱讀材料解答下列問題：（1）已知，求的值；（2）若正實數，滿足，求的最小值.解：（1）因為，所以.（2）由題知，，，因為，所以，所以，令，因為，所以，因為，當且僅當時取等，所以，所以，所以，所以，即的最小值為.

山東省臨沂市莒南縣2024-2025學年高一上學期期中學業質量檢測數學試題一、單選題（本題本題每小題5分共40分）1.下列函數圖象中，可以表示非奇非偶函數的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A:函數圖象關于y軸對稱，函數為偶函數，A選項錯誤；對于B:函數圖象關于原點對稱，函數為奇函數，B選項錯誤；對于C:函數圖象關于原點對稱，函數為奇函數，C選項錯誤；對于D:函數圖象既不關于y軸對稱也不關于原點對稱，函數是非奇非偶函數，D選項正確.故選：D2.是的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，可得一定成立，所以充分性成立；反之：當時，不一定成立，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：C.3.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，則所以圖中陰影部分表示的集合是或，故選:A.4.下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】B【解析】A.，其中，，，，所以，即，故A錯誤；B.若，若，則，則，若，則，則，故B正確；C.若，則，且，所以，故C錯誤；D.若，則，，所以，故D錯誤.故選：B5.函數的最小值及取得最小值時的值為（）A.當時最小值為 B.當時最小值為C.當時最小值為 D.當時最小值為【答案】D【解析】化簡函數,因為，根據基本不等式則.所以.當且僅當時取等號，解方程，得到，解得.故函數的最小值為，取得最小值時的值為.故選：D.6.已知為奇函數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因為為奇函數，所以，即，所以.故選：A7.若函數的定義域為，值域為則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的定義域為，對稱軸,當時，在單調遞減，則，，而函數的值域為，則，解得，故，當時，在單調遞減，在單調遞增，則，，，故，解得，故，綜上所述，的取值范圍為，故選：A8.如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數學家趙爽于公元3世紀在給《周髀算經》"勾股網方圖"作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數學符號語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數）．則，．某同學讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（）A.24 B.30 C.32 D.36【答案】C【解析】由題可知，，，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，又“趙爽弦圖”的面積為，所以當時，“趙爽弦圖”的最小面積為.故選：C二、多選題（本題本題每小題6分共18分）9.已知函數，則（）A.的定義域為 B.的值域為C.為增函數 D.的圖象關于坐標原點對稱【答案】ABD【解析】對于選項A：對于分段函數，當，時有意義，所以的定義域為，選項A正確.對于選項B：當時，的值域為，因為，隨著增大而增大，當趨近于時，趨近于.當時，的值域為，因為，隨著增大而增大，當趨近于時，趨近于.綜合起來，的值域為，選項B正確.對于選項C：當時，是單調遞增的.當時，是單調遞增的.但是在處不連續，例如取，，，，當時，，并不滿足對于任意的都有，所以不是增函數，選項C錯誤.對于選項D：對于奇函數，有.當時，，，.當時，，，.所以是奇函數，其圖象關于坐標原點對稱，選項D正確.故選：ABD10.下列四個結論中正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“，”為假命題，則C.設，，則“”的充分不必要條件是“”D.{是無理數}，是無理數【答案】AD【解析】A.根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知A正確；B.由題意可知，命題“”為真命題，即，即，故B錯誤；C.，不能推出，例如，，反過來，也不能推出，例如，，是的既不充分也不必要條件，故C錯誤；D.是無理數，也是無理數，故D正確.故選：AD11.對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若且，則 D.存在，使得【答案】AB【解析】A選項，且，則，故，且中元素不能出現在中，故，A正確；B選項，且，則，即與是相同，所以，B正確；C選項，因為，所以，故，C錯誤；D選項，，其中，，故，而，故，D錯誤.故選：AB三、填空題（本題每小題5分，共15分）12.若集合，，則_________．【答案】【解析】，得或，即，解得：，即，所以.故答案為：13.已知定義在上的偶函數滿足當時，則_________．【答案】2【解析】因為是偶函數，所以.當時，由于，根據，可得.因為，所以.又因為是偶函數，所以.當時，由于，根據分段函數，可得.所以.故答案為：2.14.已知，若恒成立，寫出符合條件的正整數_________.（寫出一個即可）【答案】1（，，，任一個都行，答案不唯一）.【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立所以的最小值是，因為恒成立，所以，，又因為是正整數，所以，，.故答案為：1（，，，任一個都行，答案不唯一）.四、解答題（本題共77分）15.已知冪函數為奇函數.（1）求函數的解析式；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題意，冪函數，可得，即，解得或，當時，函數為奇函數，當時，為非奇非偶函數，因為為奇函數，所以.（2）由（1）知，可得在上為增函數，因為，所以，解得，所以的取值范圍為.16.已知集合，.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若“”是“”的充分條件，求實數a的取值范圍.解：（1），，，故，解得，此時，滿足，故（2）“”是“”的充分條件，故為的子集，若，此時，解得，若，此時，解得，綜上，實數a的取值范圍是.17.已知函數.（1）判斷在區間上的單調性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區間上的值域.解：（1）在區間上單調遞增，證明如下：，，且，有.因為，，且，所以，.于是，即.故在區間上單調遞增.（2）的定義域為.因為，所以為奇函數.由（1）得在