小學(xué)極限題目及答案大全1.題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。答案：這是一個著名的極限，其值為1。可以通過洛必達(dá)法則或者利用正弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展開來證明。洛必達(dá)法則指出，如果兩個函數(shù)的比值的極限形式為\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{\infty}{\infty}\)，則它們的導(dǎo)數(shù)的極限值相同。因此，我們有：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1.\]2.題目：求極限\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)。答案：這個極限等于自然對數(shù)的底數(shù)e。可以通過指數(shù)函數(shù)的定義來證明：\[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.\]3.題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)。答案：這個極限可以通過洛必達(dá)法則來求解。首先，我們發(fā)現(xiàn)極限的形式是\(\frac{0}{0}\)，因此我們可以對分子和分母同時求導(dǎo)：\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2}=\frac{1}{2}.\]4.題目：求極限\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)。答案：這個極限的值為0。可以通過夾逼定理來證明。由于\(-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq1\)，我們有：\[-x\leqx\sin\frac{1}{x}\leqx.\]當(dāng)\(x\to0\)時，\(-x\)和\(x\)都趨近于0，因此根據(jù)夾逼定理，\(x\sin\frac{1}{x}\)也趨近于0。5.題目：求極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：這個極限可以通過因式分解來簡化：\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.\]6.題目：求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+4x+1}\)。答案：這個極限可以通過將分子和分母同時除以分母中x的最高次冪來求解：\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+4x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}.\]7.題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。答案：這個極限的值為1，可以通過洛必達(dá)法則或者利用指數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)展開來證明：\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1.\]8.題目：求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)。答案：這個極限的值為0。可以通過洛必達(dá)法則來求解：\[\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.\]9.題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)。答案：這個極限的值為1。可以通過洛必達(dá)法則或者利用正切函數(shù)的泰勒級數(shù)展開來證明：\[\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x}{1}=\sec^20=1.\]10.題目：求極限\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x\)。答案：這個極限可以通過將極限內(nèi)的表達(dá)式重寫為\(\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^x\)，然后利用\(\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\toe\)當(dāng)\(y\to\infty\)的性質(zhì)來求解：\[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1