2025年中考第三次模擬考試（山西卷）數學·全解全析第Ⅰ卷選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑。）1．的絕對值是（）。A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求一個數的絕對值，根據負數的絕對值等于它的相反數，即可作答．【詳解】解：的絕對值是，故選：C2．中華美學文化熠熠生輝、璀璨奪目，其中或左右對映，或上下相稱的對稱美傳承了幾千年．下列四把不同形狀的團扇中，其外圍扇骨的形狀既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關鍵．根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項分析即可得出答案．【詳解】解：A、扇骨的形狀是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、扇骨的形狀既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、扇骨的形狀是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、扇骨的形狀是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B．3．《九章算術》是中國古代數學經典著作，書中提及一種稱之為“芻甍”的幾何體，書中記載：“芻甍者，下有袤有廣而上有袤無廣，芻，草也：甍、層蓋也，”其釋義為：芻甍，底面有長有寬的矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱的五面體，現有芻甍如圖所示，其主視圖為（）。A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查三視圖，解題的關鍵是理解三視圖的定義，根據主視圖是從前面看到的圖形求解即可．【詳解】根據題意得，其主視圖為：．故選：A．4．如圖，小菲同學的周末作業被調皮的弟弟給撕掉了一個角，作業上的問題變成了一個不全的題目．根據小菲同學記錄的內容，可得到被除式應該為（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了整式乘除運算，熟練掌握多項式乘單項式乘法運算法則，是解題的關鍵．根據被除式除式商，求出結果即可．【詳解】解：被除式應該為：．故選：B．5．自行車后面有尾燈，雖然這些尾燈自身并不發光，但在夜間騎行時，后方車輛的強光照射到尾燈上時，光線會被強烈地反射回去，從而提醒汽車駕駛員注意前面有自行車．這一效果正是利用了角反射器的原理最簡單的角反射器是由兩個互相垂直的平面鏡組成的．如圖，自行車的尾部安裝的反光鏡，在車燈照射下，能把光線按原來方向返回（即），根據光的反射可知，其原理如圖所示，若，則的度數為（

）。A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質，平角的定義．由平角的定義求出，由平行線的性質推出，求出，即可得到的度數．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：A．6．2025年山西省初中學業水平體育考試項目在原有基礎上，增加了足球、籃球、排球考試項目，九年級（一）班的小明和小穎分別隨機選擇參加足球、籃球、排球中的一個項目，則他們選擇同一個項目的概率是（）。A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關鍵．先畫出樹狀圖，從而可得小明和小穎分別隨機選擇一個項目的所有等可能的結果，再找出他們選擇同一個項目的結果，然后利用概率公式計算即可得．【詳解】解：將足球、籃球、排球考試項目分別記為，畫出樹狀圖如下：由圖可知，小明和小穎分別隨機選擇一個項目共有9種等可能的結果，其中，他們選擇同一個項目的結果有3種，則他們選擇同一個項目的概率為，故選：C．7．如圖1，某科技小組進行野外考察時，利用壓力一定時壓強與接觸面積成反比例關系，通過鋪墊木板增大接觸面積來達到減小壓強的效果，順利通過了一片爛泥濕地.已知人對木板的壓力與人的質量的關系如圖2所示，若小明和小亮的質量分別為和，且小明和小亮對木板的壓強與木板面積的關系如圖3所示，點為反比例函數圖象上的一個動點，過點分別作軸和軸的垂線，交軸于點，交軸于點，交另一反比例函數圖象于點，過點作軸的垂線，垂足為點，請你結合以上信息，判斷下列說法中不正確的是（）。A．由圖2可知，人對木板的壓力與人的質量成正比B．圖3中圖象表示的是小明對木板的壓強與木板面積之間的函數關系C．當木板面積為時，小亮對木板的壓強比小明對木板的壓強大D．四邊形的面積為定值，表示小明、小亮兩人對木板的壓力相差20N【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的應用，由于壓力一定時，壓強和受力面積成反比，壓力于質量成正比例，根據解析式逐一判斷即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：由圖可得：人對木板的壓力隨人的質量的增大而增大，所以人對木板的壓力與人的質量成正比，故正確，不符合題意；小明和小亮的質量分別為和，那么小明對木板的壓力小于小亮對木板的壓力，由物理知識可得：壓強結合圖可得：在受力面積相同的情況下，小明對木板的壓強小于小亮對木板的壓強，所以圖中圖象表示的是小明對木板的壓強與木板面積之間的函數關系，正確，不符合題意；設∵經過點,，解得：，，當時，，當時，，∵木板面積為，∴小明對木板的壓強，小亮對木板的壓強，，∴當木板面積為時，小亮對木板的壓強比小明對木板的壓強大，∴正確，不符合題意；由題意得：小明對木板的壓強，小亮對木板的壓強，則四邊形的面積，也說明小明對木板的壓力為，小亮對木板的壓力，那么小明、小亮兩人對木板的壓力相差，故錯誤，符合題意；故選:D．8．如圖所示，取一張菱形的紙片，先沿對折，再沿對折，最后沿中點F與頂點D的連線剪開，將陰影部分展開，平鋪后是一個邊長為2的正方形，則等于（）。A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形、正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，正確理解題意，知道裁剪后的圖形是解題的關鍵．確定為等腰直角三角形，，繼而由勾股定理可得，再在中，由勾股定理求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵平鋪后是一個邊長為2的正方形，由折疊可知：為等腰直角三角形，，∴，∴，∵為的中點，∴，∴，故選：D．9．如圖，從光源發出一束光，經軸上的一點反射后，得到光線，光線經軸上一點反射后，得到光線．若，且光線所在直線的函數表達式為，則光線所在直線的函數表達式為（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一次函數的實際應用，延長交軸于點，把點代入，求出直線的解析式，進而求出點的坐標，證明，進而求出點坐標，根據兩直線平行，值相等，結合點坐標，求出的解析式即可．【詳解】解：延長交軸于點，如圖，把代入，得：，解得：，∴，∴，由光的反射可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴設直線的解析式為：，把代入，得：；∴；故選D．10．如圖，陰影部分是由直徑為的半圓、扇形、兩腰長為4的等腰直角圍成的，則陰影部分的面積為（

）。A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了扇形的面積，求不規則圖形的面積，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線，分割法求陰影部分的面積是解題的關鍵；根據陰影部分的面積求解即可；【詳解】連接點B和與圓的交點D，是直徑，，是等腰直角三角形，，，陰影部分的面積，故選：．第Ⅱ卷填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分。）11．如圖所示的是麗麗家正方形后院的示意圖，麗麗家打算在正方形后院打造一個的正方形游泳池和一個的正方形花園，剩下陰影部分鋪滿瓷磚，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】本題主要考查圖形的變化規律，利用勾股定理找出的規律是解題的關鍵．首先求出、、的長度，然后歸納命題中隱含的數學規律，即可解決問題．【詳解】解：由題意得：大正方形的邊長為，∴陰影部分面積故答案為：12．中國高鐵技術達到了世界領先水平，其座位設計也別具匠心，大多是安排的座位數，中間是過道．如此設計的理由除了乘坐安全、舒適度、空間容納等因素外，還有人文關懷．如果出行人數為2個人可以選兩人座，3個人正好選三人座，4個人可以選2排兩人座，5個人可以兩人座和三人座各選一排，這樣剛好能坐下且旁邊沒有陌生人，小星計劃與同學共計11人出行游玩，請寫出一種剛好能坐下且旁邊沒有陌生人的購票方案：（兩人座和三人座各幾排）【答案】兩人座1排和三人座3排（或兩人座4排和三人座1排）【分析】本題主要考查二元一次方程可能的整數解，根據題意列出二元一次方程并對可能得解進行求解即可．【詳解】解：設兩人座有x排，三人座有y排，則，那么，可能解或．故答案為：兩人座1排和三人座3排（或兩人座4排和三人座1排）．13．葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積．在研究水稻等農作物的生長時，經常用一個簡潔的經驗公式來估算葉面的面積，其中a，b分別是稻葉的長和寬（如圖1），k是常數，則由圖1可知k＞1．試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發現絕大部分稻葉的形狀比較狹長（如圖2），大致都在稻葉的處“收尖”．根據圖2進行估算，對于此品種的稻葉，經驗公式中k的值約為（結果保留小數點后兩位）．【答案】【分析】本題考查了數據的處理和應用，涉及反比例，方程等知識，理清題意，找到相等關系是解題的關鍵．根據和，列出方程，求出k即可．【詳解】解：∵，，∴，∴；故答案為：．14．問題背景：“低多邊形風格”是一種數字藝術設計風格．它將整個區域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產生立體及光影的效果，隨著三角形數量的增加，效果更加斑斕絢麗．如圖，當正五邊形內有1個點時，可分得5個三角形；當正五邊形內有2個點時，可分得7個三角形（不計被分割的三角形）．那么，當正五邊形內有個點時，可分得77個三角形．【答案】【分析】本題主要考查了圖形變化的規律，根據題意先確定正五邊形內點的個數與被分割成的三角形的個數之間的關系，即可得出規律解答．【詳解】解：正五邊形有1個點時，三角形個數為（個）；正五邊形內有2個點時，三角形個數為（個）；如圖，正五邊形內有3個點時，三角形個數為（個）；以后每增加一個點，必然在某一個三角形內部，圖形增加2個三角形，以此類推有正五邊形內有n個點時，可分成的三角形的個數為個，令，解得：，故答案為：37．15．已知，如圖，點C在上，，，，若，則．【答案】【分析】作交的延長線于點N，先根據證明，得到，設，則，根據平行線的性質可證明，得到得到，解出，從而得出，進而得出結果即可．【詳解】解：如圖，作交的延長線于點N，，，，，，設，則，，，，，，，，，整理得：，或（小于零舍掉），，即，又，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，平行線的性質，一元二次方程的應用，準確作出輔助線是解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．（10分）（1）計算：；（2）下面是小亮進行分式化簡的過程，若正確，就從“”中選一個合適的值代入求解；若錯誤，就寫出正確的化簡過程．【答案】（1）7；（2）錯誤，見解析【分析】此題考查了實數的混合運算、分式的化簡．（1）先計算零指數冪，求立方根，最后再計算加減法即可．（2）先通分，然后再計算，最后約分即可．【詳解】解：（1）原式；（2）錯誤，正確化簡過程為：．17．（8分）隨著科技的進步和農業現代化的發展，無人機噴灑農藥技術得到了廣泛的推廣和應用，相比傳統的人工打藥，無人機的作業速度更快，覆蓋面積更廣．已知每小時使用一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積是一個人打藥面積的8倍，使用一臺無人機對600畝玉米地噴灑農藥的時間比一個人對200畝玉米地打藥的時間少25小時．(1)求每小時一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積和一個人打藥的面積．(2)王伯伯種植了220畝玉米，他想用最多兩個小時完成對所有玉米地的打藥作業．現有兩臺無人機可供使用，若每個人打藥的效率相同，則王伯伯至少還需要多少個人同時打藥？【答案】(1)一個人打藥的面積為5畝，則一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積為40畝(2)王伯伯至少還需要27個人同時打藥【分析】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是理解題意；（1）設一個人打藥的面積為x畝，則一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積為畝，由題意易得，然后進行求解即可；（2）設王伯伯還需要y個人同時打藥，由題意易得，然后進行求解即可．【詳解】（1）解：設一個人打藥的面積為x畝，則一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積為畝，由題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，∴，答：一個人打藥的面積為5畝，則一臺無人機對玉米地噴灑農藥的面積為40畝．（2）解：設王伯伯還需要y個人同時打藥，由題意得：，解得：；答：王伯伯至少還需要27個人同時打藥．18．（9分）為進一步提升學生的安全意識，某校舉辦了安全知識競賽，競賽包含理論知識和實踐操作兩個項目．現從全校學生中隨機抽取部分學生的理論知識成績（百分制）進行收集、整理、描述和分析．所有學生的理論知識成績均高于60分（成績得分用表示，共分成四組：A．；B．；C．；D．），下面給出了部分信息：信息一：信息二：理論知識成績在C組的數據為：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．89請根據以上信息，解答下列問題：(1)請通過計算補全頻數分布直方圖；(2)求所抽取學生理論知識成績的中位數；(3)請估計全校500名學生的理論知識成績高于80分的人數；(4)某班甲、乙兩位學生的理論知識成績與實踐操作成績如表，學校規定將每位學生的理論知識和實踐操作成績按的比例計算其總成績，請通過計算說明甲、乙兩位學生誰的總成績更高？學生理論知識成績/分實踐操作成績/分甲9282乙8590【答案】(1)見解析(2)(3)300名(4)甲學生的總成績高【分析】本題主要查了頻數分布直方圖，中位數，加權平均數等：（1）先求出抽取的學生的總人數，可求出B組的頻數，即可求解；（2）根據題意可得位于正中間的兩個數分別為83，84，即可求解；（3）用500乘以成績高于80分的人數的頻率，即可求解；（4）分別求出甲、乙兩位學生的總成績，再比較，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：抽取的學生的總人數為名，∴B組的頻數為，補全頻數分布直方圖，如下：（2）解：根據題意得：位于正中間的兩個數分別為83，84，∴所抽取學生理論知識成績的中位數為；（3）解：名即理論知識成績高于80分的人數為300名；（4）解：甲學生的總成績為分，乙學生的總成績為分，∵，∴甲學生的總成績高．19．（7分）如圖，在中，，，直線過點A，．過點作于D．在的延長線上取點，使得，連接，．(1)依題意用沒有刻度的直尺和圓規補全圖形（要求：尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；(2)用等式表示，，之間的數量關系，并證明（請補全下方思路）．思路：①在的延長線上取點F，使得，連接．②由垂直平分，依據線段的垂直平分線的性質可得___________，結合已知可得；根據等腰三角形的“三線合一”可得；③設，可以用含的代數式表示出___________，___________，從而證明出；④于是可證（___________），從而得到_________（用含，的代數式表示）．【答案】(1)作圖見解析(2)；；；；【分析】（1）根據題意畫出圖形即可；（2）①根據題意畫出圖形即可；②依據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的“三線合一”即可求解；③證出，由直角三角形的性質即可求解；④根據全等三角形的性質與判定即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：①在的延長線上取點F，使得，連接．②由作圖知垂直平分，∴，，∵，∴，；③設，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；④∴，∴，故答案為：；；；；．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．20．（7分）研學實踐：迎澤大橋是太原迎澤大街上的標志性橋梁，而新建的橋頭堡作為其重要組成部分，已成為太原市的新地標．某校研學小組在了解“橋頭堡”的歷史背景后，利用測量工具測量了橋頭堡的相關數據．數據采集：如圖，點A是橋頭堡的頂端，是橋面，在點B處用測角儀測得頂端A的仰角為，然后沿方向后退，在點C處用測角儀測得頂端A的仰角為，用皮尺測得測角儀的高，點B與點C之間的距離為．數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，點M，C，B，N在同一水平直線上．請根據上述數據，計算橋頭堡頂端到橋面的距離．（結果精確到．參考數據：，，，）【答案】橋頭堡頂端到橋面的距離約為【分析】本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定與性質，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．過點作于點，連接，并延長交于點，先證出，，，再設，解直角三角形可得的長，然后根據建立方程，解方程可得的值，最后根據求出的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，并延長交于點，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形，∴，，又∵，，∴四邊形是矩形，∴，，由題意得：，，設，在中，，在中，，∵，∴，解得，∴，答：橋頭堡頂端到橋面的距離約為．21．（9分）閱讀與理解【問題情境】創新題推薦閱讀理解題請閱讀下列材料，完成相應的任務：著名數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休．”數形結合是數學研究和學習中的重要思想和解題方法，用數形結合方法可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，解決更加廣泛領域的問題．【問題探究】比如有這樣一個題目：設有兩只電阻，分別為和，問并聯后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得的值，也可以設計一種圖形直接得出結果，具體如下：【方案設計】如圖①，在直線上任取兩點，，分別過點，作直線的垂線，并在這兩條垂線上分別截取，，且點，位于直線的同側，連接，，交于點，過點作直線，則線段的長度就是并聯后的電阻值．【猜想驗證】證明：，，，又，∽（依據1），（依據2）．同理可得：，，，，即：．【問題解決】任務：(1)上面證明過程中的“依據”和“依據”分別是誰：依據1：______；依據2：______．(2)如圖②，兩個電阻并聯在同一電路中，已知千歐，千歐，請在圖③中（1個單位長度代表千歐）畫出表示該電路圖中總阻值的線段長．(3)受以上作圖法的啟發，小明提出了已知和，求的一種作圖方法，如圖④，作，使，，過點作的垂線，并在垂線上截取，使點與點在直線的同一側，作射線，交的延長線于點，則即為．你認為他的方法是否正確，若正確，請加以證明；若不正確，請說明理由．【答案】(1)依據1：兩組角對應相等的兩個三角形相似；依據2：相似三角形的對應邊成比例(2)見解析(3)小明的方法正確，證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．由相似三角形的判定與性質可得出答案；在上取點，使，在上取點使，連接，交于點，過點作于點，則可得出答案；證明，得出，求出的長，則可得出答案．【詳解】（1）證明：，，，又，（兩組角對應相等的兩個三角形相似，（相似三角形的對應邊成比例．故答案為：兩組角對應相等的兩個三角形相似，相似三角形的對應邊成比例；（2）解：如圖，線段表示的長．在上取點，使，在上取點，使，連接，交于點，過點作于點，則線段為所求線段；（3）解：小明的方法正確．理由：，，，，，，由題意可知，，，，，，，．（12分）項目化學習：項目主題：拱橋水位研究項目背景：人通過拱橋方便快捷，同時安全驅動問題：人如何通過拱橋時安全、便捷。建立模型：如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時拱橋的拱頂到水面的距離為，秋季水位會下降約，此時水面寬度約為．(1)如圖1，以的中點O為原點，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；問題解決：(2)一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為，船頂高出水面約為，為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間隔，請問當水位處于正常水位（即水面為）時，游船是否能夠通過？并說明理由；(3)如圖2，國慶節期間為裝點節日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點到水面的距離為，求這串彩燈的最大長度．【答案】(1)坐標見解析，(2)游船能夠通過，見解析(3)米【分析】本題考查了二次函數的應用．