13.3.2三角形的外角第十三章

三角形1.理解三角形的外角的概念和性質.(重點)2.運用三角形外角的性質進行有關計算時能準確表達推理過程.(難點)2.掌握三角形內角和定理的推論.3.經歷由特殊到一般的數學思維過程，體會數學推理的嚴謹性.兩只小貓在如圖的

A

處發現有一只老鼠在

O處覓食，小貓打算用迂回的方式，由一只先從

A

前進到

C

處，然后再折回至

B

處，截住老鼠返回墻洞的去路

，另一只則直接從

A

處撲向老鼠，已知∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，問，小貓從

C

處要逆時針轉多少度才能直達

B處?題目所求的是哪個角度？思考：如圖，先把△ABC

的一邊

BC

延長，這時在△ABC外得到∠ACD.類比三角形的內角，我們該如何概括類似∠ACD

這樣的角呢？它又具有什么性質呢？CBAD概念引入：如圖，把△ABC

的一邊BC

延長，得到∠ACD.像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.三角形的外角探究點一：三角形外角的概念CBAD問題1：三角形的外角有什么特征？（1）角的頂點是三角形的頂點；（2）角的一邊是三角形的一邊；（3）角的另一邊是三角形某邊的延長線.問題2

如圖，延長

AC到

E，∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？E在三角形每個頂點處都有兩個外角.∠ACD與∠BCE為對頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.問題3

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？探究點一：三角形外角的概念問題4

畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢?每一個三角形都有6個外角．每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.BACFABCDE

練一練

如圖，∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF

的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.探究點一：三角形外角的概念思考：

如圖，在△ABC中，∠A

=

70°，∠B

=

60°，∠ACD

是△ABC的一個外角.能由∠A，∠B

求出∠ACD

嗎？如果能，∠ACD

與∠A、∠B

的關系；∠ACD=130°.∠ACD

=∠A

+∠B，∠ACD>∠A

等.探究點二：三角形外角的性質討論：任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？請由三角形內角和定理自行證明.都有這種關系.證明：在上圖中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°－∠A－∠B.∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－∠ACB=180°－(180°－∠A－∠B)=∠A+∠B.探究點二：三角形外角的性質拓展：你是否有其他方式證明？與大家討論.分析：利用角的轉移.D證明：過

C

作

CE∥AB，ABC12則∠1

=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2

=∠A

(兩直線平行，內錯角相等).∴∠ACD

=∠2+∠1=∠A

+∠B.E探究點二：三角形外角的性質

三角形內角和定理推論：三角形的外角_____與它不相鄰的兩個內角的___.等于和幾何語言：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠A+∠B.探究點二：三角形外角的性質知識要點：

例1如圖，∠A=76°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數.解：∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=76°

，∠ACE=18°，∴∠BEC=94°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEF=94°，∴∠BFC=122°.FACDEB探究點二：三角形外角的性質例2(一題多解)

如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.ABCD(((51°20°30°分析：添加適當的輔助線將四邊形問題轉化為三角形問題.探究點二：三角形外角的性質解法一：連接

AD并延長到點

E.在

△ABD中，∠1+∠B=∠3，在

△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你發現了什么結論？探究點二：三角形外角的性質解法二：延長

BD交

AC于點

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：連接

CD并延長交

AB于

F(解題過程同解法二).)2F

探究點二：三角形外角的性質通過前面的例題

，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？∠BDC＝∠A+∠B+∠C飛鏢形探究點二：三角形外角的性質2.兩只小貓在如圖的

A

處發現有一只老鼠在

O處覓食，小貓打算用迂回的方式，由一只先從

A

前進到

C

處，然后再折回至

B

處，截住老鼠返回墻洞的去路

，另一只則直接從

A

處撲向老鼠，已知∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，問，小貓從

C

處要逆時針轉多少度才能直達

B處?解：∵∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，∴∠A

=70°.∴小貓需要轉動的角度為：

∠ECB=∠A+∠ABC

=40°+70°

=110°.探究點二：三角形外角的性質探究

對于任意三角形

ABC，請探索其外角和是多少.例3

如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？分析：利用三角形內角和及其推論、平角的定義等將這些角整體計算.探究點三：三角形外角和證法一：利用三角形內角和及其推論.解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.探究點三：三角形外角和證法二：利用三角形內角和及平角的定義.解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-

180°=360°.你還有其他解法嗎？探究點三：三角形外角和

三角形外角和：三角形的外角和等于_____.例如：∠FAE+∠ECD+∠DBF=360°.360°探究點三：三角形外角和1.如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝30°，∠

B

＝40°，

則∠

ACD

的度數為（

C

）A.30°B.40°C.70°D.110°第1題圖C2.將一副直角三角板按如圖所示方式疊放在一起，

則∠α的度數是（

C

）A.45°B.60°C.75°D.90°第2題圖C第4題圖4.如圖，用“＞”表示∠1，∠2，∠3的大小關系是

?.∠3＞∠2＞∠1

5.

如圖，∠

A

＝28°，∠

B

＝∠

C

＝32°，則∠

BFC

的度數是

?.92°

5.如圖，D是△ABC

的

AC邊上一點，∠A=∠ABD，∠BDC=150°，∠ABC=85°.求：(1)∠A

的度數；(2)∠C

的度數.解：(1)∵∠BDC

是∠ABD

的外角，∴∠BDC=

+

.又∵∠A=∠ABD，∠BDC=150°，∴∠A=

.(2)∵∠A＋∠ABC＋∠C=180°，∠ABC=85°，由(1)知∠A=

.∠C=180°－∠ABC－∠A=

.20°∠A∠ABD75°75°6.一個零件的形狀如圖所示，按規定∠

A

應等

90°，∠

B

，∠

C

應分別是21°和32°，現測量得∠

BDC

＝148°，你認為這個零件合格嗎？為什么？解：不合格.理由如下：延長

CD

與

AB

相交于點

F

.