湖南省長沙市2023-2024學年高一下學期期末數學試題1．若復數z=a+aA．0 B．1 C．-1 D．±12．已知一組數據4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A．這組數據的上四分位數為8 B．這組數據沒有眾數C．這組數據的極差為5 D．這組數據的平均數為63．已知a，b為實數，則“a>b”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在三角形ABC中，AC=3,AB=4,∠CAB=120°，則AB+A．10 B．22 C．?10 D．?225．已知0<x1<A．79 B．?79 C．76．我國古代《九章算術》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖池盆幾何體是一個芻童，其中上，下底面均為正方形，且邊長分別為8和4，側面是全等的等腰梯形，且梯形的高為25A．22453 B．4483 C．7．已知函數fx是定義在R上周期為4的奇函數，且fx=x,0≤x<1?x+2,1≤x≤2A．(?2,?1) B．(?2,?1)∪(0,1)C．(?1,0)∪(0,1) D．(?1,0)∪(1,2)8．在△ABC中，AB=22，O為△ABC外心，且AO?A．30° B．45° C．60° D．90°9．在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．直線BN與MBB．直線MN與AC所成的角是πC．直線MN⊥平面ADND．平面BMN截正方體所得的截面面積為9810．已知函數fxA．ω=3B．φ=C．直線x=π12為D．將fx圖象上的所有點向左平移π4個單位長度得到11．已知函數fx=4x?x2A．ff?2=?32 C．a+b+c∈4+log312．數據x1,x2,???,13．在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，四棱錐P?ABCD為陽馬，側棱PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,AB=1,E為棱PA的中點，則直線CE與平面PAB所成角的余弦值為.14．設定義在R上的函數fx的值域為A，若集合A為有限集，且對任意x1,x2∈R，存在15．某重點中學100位學生在市統考中的理科綜合分數，以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中x的值；（2）求理科綜合分數的中位數；16．已知i為虛數單位，z1（1）設z1、z2滿足方程（2）設z1=1+2i，復數z1、z2所對的向量分別是a與b，若向量17．已知函數fx（1）若m=1，求不等式fx（2）若?x∈0,2,fx18．如圖，已知AB是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異于A,B的動點，CD，BE是圓柱的兩條母線．（1）求證：ACD⊥平面BCDE；（2）若AB=6，BC=3，圓柱的母線長為23，求平面ADE與平面ABC19．已知函數f(x)=log（1）求m的值；（2）若f(x)=log4g(x)，判斷g(x)（3）若f(x)≥log4(a?2x

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：根據題意，復數z=a+a所以a=0且a2?1≠0，解得故選：A

【分析】根據純虛數的概念（純虛數是復數的一種特殊形式，其特點是只有虛部而沒有實部）列方程求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：對于A，給定數據由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，又因為8×75%所以這組數據的上四分位數為8+92對于B，因為這組數據的眾數是3和9，故B錯誤；對于C，因為這組數據的極差為6，故C錯誤；對于D，因為這組數據的平均數為3+3+4+5+7+8+9+98故答案為：D.【分析】根據已知條件結合上四分位數、眾數、極差、平均數的定義，從而逐項判斷找出正確的選項.3．【答案】A【解析】【解答】解：由a>b，得所以b+1a+1由b+1a+1>ba，得a?ba所以推不出a>b≥0，從而得不到a>故答案為：A.【分析】利用不等式的等價思想，再作差分析結合充分性與必要性的判斷方法，從而找出正確的選項.4．【答案】B【解析】【解答】解：AC=3,AB=4,∠CAB=120°，AB?+CA故答案為：B.【分析】由題意，根據向量數量積的運算律計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：因為0<x所以x1+x22所以cosx故答案為：B.【分析】利用正弦函數圖象的對稱性得出x1+x6．【答案】B【解析】【解答】解：根據題意可知，這個芻童為棱臺，如圖為垂直底面的截面，則棱臺的高為25所以該幾何體的體積為13則該盆中最多能裝的水的體積為4483故答案為：B.【分析】根據題意可知這個芻童為棱臺，利用勾股定理求出棱臺的高，再根據棱臺的體積公式得出該盆中最多能裝的水的體積.7．【答案】B【解析】【解答】解：因為函數fx是定義在R上周期為4的奇函數，且f所以當x∈(?1,0]時，f(x)=x；當x∈[?2,?1]時，?x∈[1,2]，所以f(x)=?f(?x)=?(x+2)=?x?2；當x∈[?3,?2]時，x+4∈[1,2]，所以f(x)=f(x+4)=?(x+4)+2=?x?2，函數y=f(x?1)的圖象可由函數y=f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，作出函數y=f(x?1)在[?2,2]上的圖象，如圖所示：由圖可知不等式xf(x?1)<0在(?2,2)上的解集為(?2,?1)∪(0,1)．故答案為：B．

【分析】由函數y=f(x)的圖象向右平移1個單位長度，從而作出函數y=f(x?1)在[?2,2]上的圖象，再結合圖象得出不等式xf(x?1)<0在(?2,2)上的解集.8．【答案】A【解析】【解答】解：因為O為△ABC外心，所以AO在AC方向上的投影向量為12則AO?AC=因為AB=22，設所以cos=3當且僅當a=6因為0°＜∠ABC＜180°，所以0°＜∠ABC≤30°，則∠ABC的最大值為30°．故答案為：A．【分析】根據三角形外心性質及向量數量積的幾何意義，得AO在AC方向上的投影向量為12AC，求得9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，因為BN?平面BB1C1C所以直線BN與MB對于B，如圖，連接CD1，

因為M，N分別為棱C所以直線MN與AC所成的角即為直線CD1與又因為△ACD1是等邊三角形，

所以直線CD1與則直線MN與AC所成的角是π3對于C，如圖，假設直線MN⊥平面ADN，

因為DN?平面ADN，所以MN⊥DN，

又因為MN=22所以DN與MN不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接A1因為A1B∥CD1,CD1∥MN，所以A1B//MN，

所以平面所以截面面積為12故答案為：ABD.

【分析】根據異面直線的定義、異面直線所成角求解方法、線面垂直的判定定理，梯形的面積公式，從而逐項判斷找出正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由函數fx的圖象，可得12T=π4?(?π因為A=2，所以fx又因為f(π4)=2又因為?π2<φ<π2，所以3π4+φ=對于C中，由f(π12)=2所以直線x=π12為對于D中，將fx圖象上的所有點向左平移π可得y=2cos故答案為：ACD.【分析】根據函數fx的圖象得出f11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A.ffB.作出函數fx觀察可知，0<λ<4，而fλ故y=fx，y=f即函數gxC.由對稱性，b+c=4，而a∈log故a+b+c∈4+D.b，c是方程x2?4x+λ=0的根，故令3?a?1=λ，則故abc=?λlog31+λ，而y=λ，y=故abc∈?4故答案為：ACD

【分析】本題考查分段函數，函數零點，函數與方程的綜合應用.根據函數解析式可求出ff?2的值，據此可判斷A選項；根據函數解析式可作出作出函數fx的圖象，根據函數圖象可求出，λ的取值范圍，進而可求出fλ的取值范圍，得到函數gx的零點個數，判斷B選項；根據函數圖象對稱性可得b+c=4，觀察圖形可得a的取值范圍，進而可得a+b+c的取值范圍，判斷C選項；根據題意可得b，c是方程x2?4x+λ=0的根，利用一元二次方程根與系數的關系可得：bc=λ12．【答案】4【解析】【解答】解：設x1,x則2x1+1,2所以2x14×1故答案為：4.【分析】利用已知條件和方差公式以及方差的性質，從而得出數據2x13．【答案】3【解析】【解答】解：如圖所示：因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，故可得BC⊥PA，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB?平面PAB，故BC⊥平面PAB，連接EB，故∠CEB即為所求直線CE與平面PAB所成角.由PA=AD=2,AB=1,，故在直角三角形CBE中BC=2，BE=AE2則cos∠CEB=BECE故填：33.

【分析】首先根據線面垂直的判定定理（如果一條直線與平面內兩條相交直線都垂直，?那么這條直線與這個平面垂直）證明BC⊥平面PAB14．【答案】5【解析】【解答】解：若A中最大元素為大于1的元素為a，則a2故A中最大元素不超過1，同理可得A中最小元素不小于?1，若集合A中只有一個元素a，則a2=a，可得a=0或a=1，所以A=0若集合A中有兩個元素a,b?1≤a≤b≤1，則a2=a當a2=a時，可得a=1（舍去）或a=0，此時b2=b，可得當a2=b時，a≠0，所以b≠0，可得ab=a，截得b=1，所以所以a=?1或a=1（舍去），所以A=?1,1若集合A中有三個元素a,b?1≤a≤b≤1，則a2=a或a當a2=a時，a=0或a=1（舍），此時b2≠a，所以b2=c，c2=c或c2當a2=b時，a≠0，1>b>0，可得b2≠b，b2≠a，所以因為集合A中有四個或四個以上元素a,b,???,c,d?1≤a<b<???<c<d≤1則由上推導可得a=?1，d=1，b=?=c=0，矛盾，即此時A無解，綜上所述，所滿足條件的集合A可以為0,故答案為：5．

【分析】根據題意得到A中最大元素不超過1，最小元素不小于?1，再利用集合A元素的個數分類討論，結合集合中元素的性質得出滿足條件的集合A的個數.15．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可得20×0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025解得：x=0.0075.（2）解：因為(0.002+0.0095+0.011)×20<0.5，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20>0.5，

因此理科綜合分數的中位數在[220,240)內，

設中位數為a，

由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a?220)=0.5，

解得a=224，

∴月平均用電量的中位數為224.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，從而得到關于x的方程，進而解方程得出x的值.（2）先判斷中位數在[220,240)內，再設出未知數，從而列出關于a的方程，進而解方程得出a的值，則得出理科綜合分數的中位數.（1）由頻率分布直方圖可得20×0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025解得：x=0.0075.（2）由于(0.002+0.0095+0.011)×20<0.5，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20>0.5，因此理科綜合分數的中位數在[220,240)內，設中位數為a，由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a?220)=0.5，解得a=224，∴月平均用電量的中位數為224.16．【答案】（1）解：不妨設z1=a+bia,b∈R因為z1，z所以4a+bi可得5a?b+所以5a?b=93b?a=?5，解得a=所以z1=11（2）解：設z1=1+2i，則因為復數z1，z2所對的向量分別是所以a=1,2，可得taa+2若向量ta?b則ta?b則3t?3?4t?4135t解得t>?7，t≠?1實數t的取值范圍是?7,?1【解析】【分析】（1）設出z1,z（2）先求出a與b的坐標，再根據數量積求向量夾角公式和向量夾角為鈍角，從而列出t的不等式，進而可得t的取值范圍.（1）不妨設z1=a+bia,b∈R因為z1?z所以4a+bi可得5a?b+所以5a?b=93b?a=?5，解得a=所以z1=11（2）設z1=1+2i，則因為復數z1?z2所對的向量分別是所以a=1,2，可得taa+2若向量ta?b則ta?b即3t?3?4t?4135t解得t>?7，t≠?1實數t的取值范圍是?7,?117．【答案】（1）解：當m=1時，可得fx則4x?2x+1?8<0，即2因為2x所以2x?4<0，解得所以不等式fx<0的解集為（2）解：因為x∈0,2，令t=2x，則t∈1,4，由fx≥?12，可得因為?x∈0,2，f所以t2?2mt+4≥0對任意則m≤t2+4又因為t2+42t=t所以m≤2．【解析】【分析】（1）依題意可得2x?42x+2（2）令t=2x，則t∈1,4，依題意可得t2?2mt+4≥0對任意t∈1,4恒成立，參變分離可得（1）當m=1時，可得fx即4x?2x+1?8<0因為2x所以2x?4<0，解得所以不等式fx<0的解集為（2）因為x∈0,2，令t=2x，則t∈由fx≥?12，可得因為?x∈0,2，f即t2?2mt+4≥0對任意即m≤t2+4又因為t2+42t=t所以m≤2，即實數m的取值范圍為?∞18．【答案】（1）證明：因為AB是圓柱下底面的一條直徑，C是下底面圓周上異于A,B的動點，所以AC⊥BC，又因為CD是圓柱的一條母線，所以CD⊥底面ACB，因為AC?底面ACB，所以CD⊥AC，因為CD?平面BCDE，BC?平面BCDE，且CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE，又因為AC?ACD，所以平面ACD⊥平面BCDE；（2）解：過A作圓柱的母線AM，連接DM，EM，如圖所示：因為底面ABC//上底面DME，所以即求平面ADE與平面DME所成銳二面角的大小，因為M,E在底面的射影為A,B，且AB為下底面的直徑，所以EM為上底面的直徑，因為AM是圓柱的母線，所以AM⊥平面DME，又因為EM為上底面的直徑，所以MD⊥DE，而平面ADE∩DME=DE，所以∠MDA為平面ADE與平面DME所成的二面角的平面角，又因為D在底面射影為C，所以DE=BC=3，ME=AB=6，所以DM=62?32又因為AM⊥平面DME，DM?平面DME，所以AM⊥MD，AD=2則cos∠MDA=即平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為313【解析】【分析】（1）由題意先證明CD⊥底面ACB，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面垂直即可；（2）先作出底面的垂線，再由垂足作兩個面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構成二面角的平面角求解即可.（1）因為AB是底面的一條直徑，C是下底面圓周上異于A,B的動點，所以AC⊥BC，又因為CD是圓柱的一條母線，所以CD⊥底面ACB，而AC?底面ACB，所以CD⊥AC，因為CD?平面BCDE，BC?平面BC