浙江省杭州市2024-2025學年高三下學期教學質量檢測數學試題1．已知集合A=1,2,3，B=xxA．1 B．2 C．?1,2 D．1,22．已知向量a=1,?2，b=?3,2，A．2 B．0 C．?2 D．?73．若等比數列an滿足a1+a2A．?12或13 B．12或?124．已知數據x1，x2，…，xnA．i=1nxiC．i=1nxi5．已知A∈R，ε為任意正數，若A?6≤εA．A=6 B．A=±6 C．A>6 D．A<66．定義“真指數”e+A．e+x1C．e+x1+e7．設函數y=fx?x2是奇函數.若函數gxA．27 B．28 C．29 D．308．若sinx+cosx=2A．4cos22α=C．4cos2α=cos9．已知復數ω=cos120°+isinA．ω=1 B．ω2=ω C．10．設函數fxA．fx是偶函數 B．C．fx在區間0,1上單調遞增 D．x=1為f11．設曲線C:x24?yy=1，直線A．Da,b=0,1,2,3C．Da,?3a=0,1,2 D．若Da,b12．曲線y=3x在點0,1處的切線方程是13．已知⊙O是單位圓，正三角形ABC的頂點A，B在⊙O上，則OC的最大值為.14．甲、乙、丙三人分別從2個不同的數中隨機選擇若干個數（可以不選），分別構成集合A，B，C，記A∩B∩C中元素的個數為m，則m≥1的概率為.15．某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關聯性，調查100人購買情況，得到如下列聯表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計男性5010x女性251540總計y25100（1）求x,y；（2）根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯？（3）假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設被抽取的3人中購買了B款車的人數為X，求X的數學期望.附：χ2=nP0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.87916．已知函數fx=xe（1）若a=0，求fx（2）當a>1e時，求（3）當a>0時，設fx的極大值為ga，求證：17．在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=BD=2，AB⊥BD，將△BCD沿BD翻折至△BPD，其中P為動點.（1）設AP=AD，（ⅰ）證明：AB⊥平面BPD；（ⅱ）求三棱錐P?ABD的體積；（2）求直線AP與平面ABD所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線Γ:y2=2pxp>0的焦點F到準線l的距離為2，點Dp,0，過F的直線交Γ于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為A1，B1，直線A1（1）求Γ的方程；（2）記M，N的縱坐標分別為yM，yN，當1y（3）設E為x軸上一點，記k1，k2分別為直線ME，ND的斜率.若k119．設a1，a2，…，an是1，2，…，n（n≥3且n∈N?）的一個排列.數列bn滿足bi+1為ai，ai+1，ai+2（（1）當n=3,4時，求P3和P（2）求Pn（3）求Pn

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：解方程x2?x=2，可得x=2或?1，即集合因為集合所A=1,2,3，以A∩B=故答案為：B.【分析】先求集合B，根據集合的交集運算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：易知a+b=故答案為：C.【分析】由題意先求a→3．【答案】C【解析】【解答】解：設等比數列an的公比為q，由a1+a2=2，a1解得q=?1故答案為：C.【分析】設等比數列an的公比為q4．【答案】D【解析】【解答】解：數據x1，x2，…，xn的方差s2=0，則s2=1ni=1n即i=1n故答案為：D.【分析】由題意，根據方差的計算公式，求得x15．【答案】A【解析】【解答】解：因為對任意的正數ε，A?6≤ε恒成立，所以A?6≤0，

又因為A?6≥0，所以A?6故答案為：A.【分析】先由恒成立得到A?6≤0，再由絕對值特性得到A?66．【答案】C【解析】【解答】解：A、取x1=3,x2=?2，左邊xB、取x1=1,x2=2，左邊xC、因為ex>0恒成立，所以e+x>0在x∈R恒成立，則e+xD、取x1=?1,x2=?1，左邊x故答案為：C.【分析】由指數函數新定義舉反例即可判斷ABD；結合基本不等式分析，分當x1,x2≥07．【答案】B【解析】【解答】解：因為函數y=fx?x則fx+f?x=2x2，又因為gx=fx①②相加可得g4又因為g4=f4故答案為：B.【分析】根據函數y=fx?x2奇函數定義可得8．【答案】A【解析】【解答】解：sinx+cosx=2因為sinxcosx=sin2即2cos即2cos4=1?4故答案為：A.【分析】將sinx+cosx=2sinα9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：易知復數ω=cosA、|ω|=?B、ω2=?12C、ω2D、1ω1ω則1ω故答案為：ABC.【分析】利用特殊的三角函數值化簡求得復數ω=?110．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、函數fx=x3?xB、函數fx=x3當x>1時，lnx>0，fx>0；

當0<x<1時，ln當x=1時，fx=0，因此C、f'x=3x2?1lnx+x2D、f'x=3x2?1lnx+x2?1，當x>1時，3x2?1>0,lnx>0,x2故答案為：BD.【分析】根據函數的定義域即可判斷A；根據對數的性質求解即可判斷B；求導，利用導數判斷函數的單調性，即可判斷C；根據單調性即可由極值點的定義求解即可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、當y≥0，曲線C:x24?y2=1，漸近線為y=±x2曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關于y軸對稱，根據對稱性，只需討論a≥0的情況，討論如下：當a=0，b<?1時，直線y=ax+b與曲線無交點；b=?1時，直線y=ax+b與曲線有1個交點；b>?1時，直線y=ax+b與曲線有2個交點；當0<a≤1b<?1時，如下圖直線y=ax+b，隨a,b變化過程，由圖知，直線y=ax+b與橢圓部分相切為界，即有1個交點；此時a不變，b→?1，直線與曲線有2個交點，b→?∞所以直線與曲線的交點個數有0,1,2三種可能；b≥?1時，?a∈(0,12)當a>12，如下圖，分別以直線直線在雙曲線部分相切線上方時，直線與曲線恒有1個交點，直線與雙曲線部分相切時，直線與曲線恒有2個交點，直線在橢圓相切線下方時，直線與曲線無交點，直線與橢圓部分相切時，直線與曲線有1個交點，直線在兩條相切線之間時，直線與曲線有3個交點，綜上，Da,bB、對于直線y=ax+2恒過點(0,2)，隨a的變化與曲線位置，如下圖示：0≤a≤12時直線與曲線恒有2個交點；所以y=ax+2與曲線的交點可能有1,2兩種可能，即Da,2C、y=a(x?3)，以直線與橢圓部分相切、直線與雙曲線漸近線平行為界，聯立x24+y2若Δ=576a4?4(1+4a當0≤a<1當a=15或當15所以y=a(x?3)與曲線的交點可能有0,1,2兩種可能，即Da,?3aD、結合A分析，a>1此時，假設b≥0，顯然直線y=ax+b與曲線有且僅有1個交點，不符合，所以b<0，結合對稱性，直線與曲線有3個交點，必有a>12故答案為：ACD.【分析】根據曲線方程有y≥0，C:x24?y2=1且漸近線為y=±12．【答案】x【解析】【解答】解：曲線y=3x，y'則曲線y=3x在點0,1處的切線方程是y?1=ln故答案為：xln【分析】利用導數的幾何意義求切線方程即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：如圖所示：

根據圓與等邊三角形的對稱性知：當OC取最大值時，OC過AB的中點M，設AB=x，則|CM|=32OC=OM+設y=4?x2令y'=0，即?x+3則當x∈0,3時，y'>0，y單調遞增；當x∈3當x=3時，y所以OC的最大值為2.故答案為：2.【分析】由題意作出圖形，利用圓與等邊三角形的對稱性得出OC取最大值時，OC過AB的中點M，設AB=x，表示出OC的大小，借助于導數求OC14．【答案】15【解析】【解答】解：由題意，設兩個不同數為1,2，每個元素被某人選中的概率為12則一個元素被甲乙丙三人都選中的概率為(1由A∩B∩C中元素的個數m≥1，表示至少一個元素被三人選中，而兩個元素均未被三人選中的概率為(1?18)2=故答案為：1564【分析】由題意可知，每個元素被某人選中的概率為12且相互獨立，應用獨立乘法公式及對立事件的概率求法得兩個元素均未被三人選中的概率為(1?15．【答案】（1）解：由列聯表可知：x=50+10=60，y=100?25=75；（2）解：零假設為H0χ2根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，推斷H0不成立，可以認為選購車的款式與性別有關，

（3）解：易知隨機抽取1人購買B款車的概率為p=25由題意可知：隨機變量X的可能取值為0,1,2,3，且X～B3,則EX【解析】【分析】（1）利用表格數據直接計算即可；（2）先零假設，計算χ2（3）由題意可知：隨機變量X服從二項分布，利用二項分布的期望公式求解即可.（1）由題意得x=50+10=60，y=100?25=75.（2）零假設為H0根據列聯表中的數據，可得χ2根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，推斷H0可以認為選購車的款式與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；（3）隨機抽取1人購買B款車的概率為p=25的可能取值有0,1,2,3，由題意得X～B3,由二項分布的期望公式得EX16．【答案】（1）解：若a=0，函數fx=xex定義域為令f'x=0當x∈?∞,?1時，f'則函數fx在?∞,?1單調遞減，在?1,+∞單調遞增，

當（2）解：當a>1e時，lna>?1令f'x>0，則ex?a則fx在?∞,?1令f'x<0，則ex?ax+1<0故fx的單調增區間為?∞,?1（3）證明：當a>1e時，由（2）知，fx當a=1e時，f'x≥0當0<a<1e時，當x∈?當x∈lna,+∞所以fx的極大值等于f令gx=?1gx在0,1e2上g即函數gx在0,1e所以故gx綜上所述，ga【解析】【分析】（1）將a=0代入，求導，利用導數判斷函數的單調性求解出函數的極值即可；（2）當a>1（3）分a>1e和（1）由題意知f'若a=0，則fx=xe令f'x=0當x∈?∞,?1時，f'所以fx在?∞,?1所以fx的極小值等于f（2）因為a>1e，所以由f'x>0，即ex?a所以fx在?∞,?1由f'x<0，即e所以fx在?1,故fx的單調增區間為?∞,?1（3）當a>1e時，由（2）知，fx當a=1e時，f'x≥0當0<a<1e時，當x∈?當x∈lna,+∞所以fx的極大值等于f令gx=?1gx在0,1e2上g所以gx在0,1e所以故gx綜上所述，ga17．【答案】（1）證明；（ⅰ）在△ABD中，AB=BD=2，AB⊥BD，則AD=22因為AP=AD=22，AB=PB=2，所以AB2又因為AB⊥BD，BP,BD?平面BPD，BP∩BD=B，所以AB⊥平面BPD；（ⅱ）VP?ABD（2）解：以B為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設二面角P?BD?A的平面角為θ，則A2,0,0，B0,0,0，D0,2,0，AP=3cosθ?2,1,3sinθ設直線AP與平面ABD所成角為α，則sinα=設y=3sinθy=1?1t?t16≤1則直線AP與平面ABD所成角的正弦值的最大值為22【解析】【分析】（1）（ⅰ）由題意，利用線面垂直的判定定理證明即可；（ⅱ）利用VP?ABD（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量表示出直線AP與平面ABD所成角的正弦值，再結合換元法和基本不等式可求其最大值即可.（1）（ⅰ）在△ABD中，AB=BD=2，AB⊥BD，所以AD=22因為AP=AD=22，AB=PB=2，所以A所以AB⊥BP.又因為AB⊥BD，BP,BD?平面BPD，BP∩BD=B，所以AB⊥平面BPD.（ⅱ）VP?ABD（2）如圖，建立以B為原點的空間直角坐標系，設二面角P?BD?A的平面角為θ，則A2,0,0，B0,0,0，D0,2,0所以AP=3cosθ?2,1,3設直線AP與平面ABD所成角為α，則sinα=設y=3設8?43所以y=1?1t?t16≤1直線AP與平面ABD所成角的正弦值的最大值為2218．【答案】（1）解：易知p=2，則拋物線方程為y2（2）解：設直線AB的方程為x=my+1，Ax1,y1，Bx2聯立y2=4x,x=my+1由韋達定理可得：y1+y則直線A1D的方程為：y=?y13x?2，

聯立則1yM+故直線AB的斜率為1m（3）解：設Et,0因為k1k2=y所以k1當t=12時，k1【解析】【分析】（1）由題意得到p=2，代入即可得拋物線方程；（2）設直線AB的方程為x=my+1，聯立拋物線方程，結合韋達定理求解即可；（3）由（2）結合兩點斜率公式求解即可.（1）由題意知p=2，所以拋物線方程為y2（2）由題意可設直線AB的方程為x=my+1，Ax1,y1，Bx2,所以y2=4x,x=my+1所以y1+y所以直線A1D的方程為：y=?y13x?2，與直線解得yM=y所以1yM+所以直線AB的斜率為1m（3）設Et,0因為k1因為y1+y所以k1當t=12時，k119．【答案】（1）解：當n=3時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數只能是2，則P3當n=4時，在1，2，3，4中任取3個數：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，

中位數只能為2或3，則P4（2）解：顯然，不存在i使得bi=1或故Pn中所有元素的和≤2+3+?+且當an=n時，有此時Pn（3）解：注意到對于任意1≤i≤n，bi+3記Pn中元素個數的最小值為fn，由（1）可知，f3考慮n=5的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數；不妨a1=1，考慮三元素組a4,a①若此時中位數為a5，a2，不妨a5>a所以三元組a2,a②若此時的中位數為a4，a2，則a5>a若a3<a若a3>a4，則三元組③同理可知，若此時中位數為a3，a5；a3，a所以f3=1，f4下面證明：fn+3比較下面兩個數列：（ⅰ）a1，a2，…，an，a（ⅱ）c1，c2，…，cn，cn+1，cn+2，c其中a1，a2，…，an和c1，因此，這兩個數列的前n?2個三元數組所對應的中位數個數相同，因此，只需要比較數列（ⅰ）中三元組an?1,acn?1,cn,cn+1，c因為，數列（ⅱ）中至少增加1個新的中位數，故結論成立，因為若an?1,a則cn?1,c對于新增cn+1,cn+2,則cn?1,cn,綜上：CardPn≥下面給出一種構造：①當n=3k時，構造an：1,k+1,2k+1,2,k+2,2k+2,3,k+3,2k+3,??,k,2k,3k此時Pn=k+1,k+2,??,2k②當n=3k+1時，構造an：1,k+1,2k+1,2,k+2,2k+2,3,k+3,2k+3,??,k,2k,3k,3k+1此時Pn=k+1,k+2,??,2k,3k③當n=3k+2時，構造an：k?1,2k?1,3k,k,2k,3k+1,2k+1,3k+2}，此時Pn=k+1,k+2,??,2k,2k+1,3k+1【解析】【分析】（1）由題意求P3和P（2）先排除bn（3）先分析n=5時，由三元素組分析得到f5≥3.然后通過構建兩個具有相同的大小順序的數列，證明fn+3（1）當n=3時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數只能是2，故P3當n=4時，在1，2，3，4中任取3個數：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2