高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章綜合檢測卷（基礎A卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．已知，，且，則的值為（

）.A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由，可得存在實數使得，利用向量相等即可得出．【詳解】，4，，，3，，，存在實數使得，，解得，．．故選：．【點睛】本題考查了空間向量坐標運算性質、向量共線定理、空間向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量的加減和數乘運算直接求解即可.【詳解】．故選：A.3．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，為的中點，則等于（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】以為基底向量，利用向量的三角形法則將用基底向量表示，根據向量數量積的運算律結合垂直和長度關系即可得到結果．【詳解】以為基底向量，則，∵，則，又∵，即，∴．故選：D．4．若直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B．C． D．l與斜交【答案】B【分析】根據題意可得，進而可得.【詳解】∵，，可得，∴，可得故選：B.5．在正四棱錐P—ABCD中，，則該四棱錐的體積為（

）A．21 B．24 C． D．【答案】B【分析】根據正四棱錐的性質，結合空間向量模的坐標公式、棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示，在正四棱錐P—ABCD中，設頂點在底面的射影為，為正方形對角線的交點，，所以，，所以該四棱錐的體積為，故選：B6．已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（

）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A【分析】利用向量的數量積公式即可求解.【詳解】如圖，平行六面體中，向量、、兩兩的夾角均為，且，，，.，故選：A.7．設，是不重合的兩個平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個充分條件是（）A．，，且， B．，，且C．，，且 D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關系及充分條件的定義即可判斷．【詳解】對于A，，，且，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，，，且，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，，，且，得，則，故C正確；對于D，，，且，則與相交或平行，故D錯誤．故選：C．8．如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建系，利用空間向量解決異面直線夾角的問題.【詳解】如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則,∵，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知向量，，，且，，則（

）A． B．C．或8 D．向量，，共面【答案】BC【分析】A選項代入向量模長公式，即可求得；B選項，根據兩向量垂直，數量積為0，即可求得；C選項，根據，可得的值，再用數量積的坐標運算法則計算即可；D選項，求出的值，若三個向量共線，則，代入坐標計算即可.【詳解】∵，∴，解，∴A錯誤；∵，∴，解得，故B正確；或，，當時，；當時，；故C正確；當時，令，則，得，無解；當時，令，則，得，無解；∴向量，，不共面．故D錯誤．故選：BC．10．若是空間任意三個向量，，下列關系中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據空間向量加法法則、數量積的運算律、向量數乘法則和共線向量定理分別判斷各選項．【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，只有，即時，都有，A不成立；由數量積的運算律有，，與不一定相等，B不成立；向量數乘法則，C一定成立；只有共線且時，才存在，使得，D這成立．故選：ABD．11．如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且.設，若，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據空間向量基本定理、空間向量模的公式，結合空間向量數量積運算性質逐一判斷即可.【詳解】因為，，所以，，所以故A錯誤；因為，，，所以，所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；因為，，所以因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：BD.12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，M為PD的中點，則（

）A．直線CM與AD所成角的余弦值為 B．C． D．點M到直線BC的距離為【答案】ABD【分析】過A作，垂足為E，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法逐一判斷各個選項即可.【詳解】過A作，垂足為E，則，以A為原點，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，因為，所以直線CM與AD所成角的余弦值為，故A正確；因為，所以B正確；因為，所以BM與PC不垂直，故C不正確；設點M到直線BC的距離為d，則，即點M到直線BC的距離為，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，（其中、），如果存在實數，使得成立，則_____________.【答案】【分析】利用向量的坐標運算得出關于、、的方程組，解出即可得出的值.【詳解】，，且，所以，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查空間向量共線的坐標運算，建立方程組求解是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.14．若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據空間向量與的夾角是銳角可得且與不同向共線，結合數量積的坐標表示計算即可求解.【詳解】因為與的夾角是銳角，所以，即，解得，若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得.故t的取值范圍是.故答案為：.15．如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為___________.【答案】【分析】設,由可得，又，得，利用數量積的運算律可得.【詳解】正三棱錐中，設,且側棱長相等，因為，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值為.故答案為：16．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，則點C到平面的距離等于_____.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，，即，取，又，所以點到面的距離，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側面AB1的中心，F為A1D1的中點，試計算：(1)(2)【答案】(1)16；(2)0【分析】建立空間直角坐標系，得出點的坐標，再由向量的坐標公式，結合向量的數量積的坐標表示，計算可得所求向量的數量積．【詳解】（1）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則（2）.18．如圖所示，已知斜三棱柱，點、分別在和上，且滿足，.(1)用向量和表示向量；(2)向量是否與向量，共面？【答案】(1)；(2)是.【分析】（1）利用向量的線性運算得出和，進而由，得到向量與向量和的關系；（2）由（1）結合共面向量基本定理，即可得出結論.【詳解】（1）解：∵，，∴.（2）解：由（1）可知，，∴向量與向量，共面.19．已知空間向量與夾角的余弦值為，且，，令，．(1)求，為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求，夾角的余弦值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用算出答案即可；（2）分別求出、、的值即可.【詳解】（1）根據條件，，∴；∴；（2）；，；∴.20．如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，．(1)求證：平面；(2)點為線段的中點，求證面．【分析】（1）建立空間坐標系，由線面垂直的判定定理可證面，可知為面的法向量，又，根據線面平行的判定定理即可證明結果；（2）由（1）可知，，可證，，再根據線面垂直的判定定理即可證明結果.【詳解】（1）證明：如圖，建立空間坐標系，則，，，，，面，，且，又，面，為面的法向量，，，又平面，平面．（2）證明：由（1）可知，，，，，，，又，面．21．如圖，四棱錐中，底面是菱形，底面，，M為的中點，且平面平面.(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）過做，由面面垂直性質定理可得平面，即，由底面，可得，再根據線面垂直判定定理可得平面，進而得；（2）由（1）結論建立合適的空間直角坐標系，假設，根據長度角度關系，找出各個點的坐標，分別求得平面和平面的法向量，根據法向量夾角的余弦值的絕對值即為二面角大小的余弦值的絕對值，進而求出其正弦值即可.【詳解】（1）解：因為底面，所以，在平面內過做，垂足為，如圖所示：因為平面平面，交線為，且有，平面，所以平面，因為平面，從而，因為，平面，平面，所以平面，于是；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，在平面中，過做平行于的直線為軸，記，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是菱形，且M為的中點，所以，由（1）知，所以，所以，又有，故可得，，，，于是，，，設為平面的法向量，則，即，取，可得；設為平面的法向量，則，即，取，可得，因為，所以二面角的正弦值為.22．如圖，在四棱錐中，△PAD為等邊三角形，，平面平面ABCD．(1)證明：平面PAD；(2)若，，，求直線BD與平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）的中點為，利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定推理作答.（2）以為原點，建立空間直角坐標系，利用