高中數學人教A版（2019）必修第一冊第五章綜合檢測卷（拔尖C卷）單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．若角，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母有理化再利用平方關系和商數關系化簡得解.【詳解】解：.故選：C2．已知函數，其中．若在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若在區間上單調遞增，滿足兩條件：①區間的長度超過；②的整體范圍在正弦函數的增區間內，取合適的整數求出的取值范圍.【詳解】，

∵函數在區間內單調遞增，∴，∴，∵，∴，若在區間上單調遞增，則，解得，當時，，當時，，當取其它值時不滿足，

∴的取值范圍為，故選：D3．已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．的最小正周期為B．點是圖象的一個對稱中心C．的值域為D．不等式的解集為【答案】C【分析】把函數用分段函數表示，再作出的圖象，觀察圖象即可判斷選項A，B，C，解不等式即可判斷選項D而作答.【詳解】，作出的圖象，如圖，觀察圖象，的最小正周期為，A錯誤；的圖象沒有對稱中心，B錯誤；的值域為，C正確；不等式，即時，，得，解得，所以的解集為，故D錯誤.故選：C4．已知函數的部分圖象如圖所示.將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由最值可求得，根據最小正周期可求得，由可求得，從而得到解析式；由三角函數平移和伸縮變換原則可得.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；將圖象向右平移個單位長度可得：；將橫坐標變為原來的倍得：.故選：A.5．已知函數，對于任意的，方程恰有一個實數根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程的根的問題轉化為函數的圖象與直線有且僅有1個交點，畫出圖象，數形結合得到不等式組，求出m的取值范圍.【詳解】方程恰有一個實數根，等價于函數的圖象與直線有且僅有1個交點．當得：，結合函數的圖象可知，，解得：.故選：D6．已知函數，則以下結論：①的周期為；②的圖像關于直線對稱；③的最小值為；④在上單調，其中正確的個數為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對于①，利用誘導公式證昨，故的周期為；對于②，研究在上的函數，利用余弦的函數性質及誘導公式證得，故的圖像關于直線對稱；對于③，分類討論與兩種情況，發現都不成立，故的最小值不為；對于④，直接計算發現，故在上不單調.【詳解】對于①，因為，根據函數周期性的定義可知①正確；對于②，由得，研究1個周期上的函數圖像即可，當時，，故，此時，，，故的圖像關于直線對稱，故②正確；對于③，若，則，此時，；同理：若，則，此時，；故最小值不能取，故③錯誤；對于④，因為，即，所以函數在上不單調，故④錯誤；綜上：正確的個數為2.故選：B.7．已知函數的圖象關于對稱，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導公式和二倍角公式可求得結果【詳解】因為，其中，，由于函數的圖象關于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.8．將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移個單位長度，得到函數的圖象.若對任意，都存在，使得，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判斷值域的包含關系，結合選項排除即可【詳解】由題，，又對任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又當時，，即在上的值域包含.又當時，，且有解，故區間包含，排除AB；又當時，，因為，故不包含不合題意排除D；當時，此時，故，故此時在上的值域包含滿足條件.綜上所述滿足條件故選：C多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知函數，則（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根據函數的解析式逐項檢驗函數是否滿足相應的性質，必要時可利用反例.【詳解】對于A，，故A正確.對于B，，故，故B錯誤.對于C，，故，故C錯誤.對于D，當k為奇數時，；當k為偶數時，，所以.故D正確.故選：AD.10．設函數，，則下列敘述正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C．在上的最小值為 D．的圖象關于點對稱【答案】ACD【分析】利用可求得，從而得到；根據正弦型函數最小正周期的求法可知A正確；利用代入檢驗法可知BD正誤；根據正弦型函數最值的求法可知C正確.【詳解】，，又，，；對于A，的最小正周期，A正確；對于B，當時，，不關于直線對稱，B錯誤；對于C，當時，，則當，即時，，C正確；對于D，當時，，此時，的圖象關于點對稱，D正確.故選：ACD.11．若定義在R上的函數滿足：（ⅰ）存在，使得；（ⅱ）存在，使得；（ⅲ）任意恒有．則下列關于函數的敘述中正確的是（

）A．任意恒有 B．函數是偶函數C．函數在區間上是減函數 D．函數最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A選項，賦值法得到，從而得到；B選項，令得到，再令得到，B正確；C選項，可舉出反例；D選項，令得到，令，則，由，得到，故可得，求出函數最大值是1，最小值是-1.【詳解】令得，故，上式中，用代替得：，即，從而，故，A正確；，令得：，即，∵，不恒為0，∴，令，得，即，又的定義域為R，定義域關于原點對稱，所以為偶函數，B正確；不妨令，滿足，故，此時存在，使得，且存在，使得；但函數在區間上不單調，C錯誤；令得：，即，所以，令，則，因為，所以，因為，所以，故函數最大值是1，最小值是-1.故選：ABD12．已知函數，則（

）A．的最小正周期是B．的值域為C．當且僅當時，D．的單調遞增區間為【答案】AB【分析】根據三角函數的性質可得當時，，當時，，結合圖象逐一判斷即可.【詳解】當，即時，；當，即時，.綜上，的值域為，故B正確；的單調遞增區間是和，D錯誤；當時，，故C錯誤；結合的圖象可知的最小正周期是，故A正確.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則______．【答案】【分析】利用三角恒等變換及兩角和差公式即可求得的值.【詳解】，即，即，則，又，則，，則，即．（寫成90°也給分）故答案為：或90°.14．數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【分析】根據圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：15．已知，在函數與的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則ω的值為______.【答案】【分析】先由題意，得到為使兩交點距離最小，只需兩交點在同一周期內；作出函數圖象，結合圖象，由勾股定理，列出方程求解，即可得出結果.【詳解】根據題意，為使兩交點距離最小，只需兩交點在同一周期內；由題意，令，可得，則，所以，，即；當，，，當，，，如圖所示，由勾股定理得，即，即，解得：.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于根據三角函數的性質，確定兩交點在同一周期內，結合函數圖象列出方方程，即可求解，求解此類題目，要熟記三角函數的圖象和性質.16．已知函數圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離小于，且，則的最小值為___________.【答案】13【分析】先由對稱軸間的距離確定了，再利用得到，依次利用誘導公式與基本關系式求得、、的關于表達式，求出的值，進而得到，即可得到結果.【詳解】，，因為兩條相鄰對稱軸之間的距離小于，即，故，所以，因為在處取得最大值，所以，即，所以，所以，因為，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，又，所以，解得，又，所以的最小值為13.故答案為：13.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數（）部分圖象如圖所示，函數的圖象過點.(1)求函數的解析式；(2)當，求函數的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設及周期公式得，再由點在圖象上求得、，即可得解析式；（2）應用誘導公式、輔助角公式得，根據自變量范圍及正弦型函數的性質求值域.【詳解】（1）因為，則，所以.由，則，，解得，，所以.由，則，所以.（2），因為，所以，則.所以函數值域為.18．已知，.(1)當且是第四象限角時，求的值；(2)若關于的方程有實數根，求的取值范圍.注：立方差公式【答案】(1)；(2)【分析】（1）由同角三角函數的平方關系求出、的值，再結合立方差公式可求得所求代數式的值；（2）由已知可得出，，分、兩種情況討論，在時直接驗證即可，在時，由參變量分離法可得出，結合基本不等式可求得實數的取值范圍，綜合可得結果.【詳解】（1）解：因為，即，則，即，所以.因為是第四象限角，則，，所以，所以，所以.（2）解：由，可得，則方程可化為，.①當時，，顯然方程無解；②當時，方程等價于.當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，又，故，所以要使得關于的方程有實數根，則.故的取值范圍是.19．已知函數的最大值為．（1）求常數的值；（2）求函數的單調遞增區間；（3）若將的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．【答案】(1);(2)函數的單調遞增區間;(3)取最大值,取最小值-3.【詳解】試題分析：(1)利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡，得到的形式，在計算所求.（2）利用正弦函數的最值，求在的最值.(3)求三角函數的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.(4)求解較復雜三角函數的單調區間時，首先化成形式，再的單調區間，只需把看作一個整體代入相應的單調區間，注意先把化為正數,這是容易出錯的地方.試題解析：解：（1），（2）由，解得，所以函數的單調遞增區間（3）將的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，當時，，取最大值當時，，取最小值-3.考點：（1）求三角函數的單調區間；（2）求三角函數在閉區間上的最值.20．已知函數．(1)若，求函數在的值域；(2)若函數，且對任意的，都存在使得不等式成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意可得，，根據二次函數的性質計算可得；（2）根據二次函數的性質求出，依題意，令，則問題轉化為在上有解，參變分離可得，再令，最后利用對勾函數的性質計算可得；【詳解】(1)解：因為，所以

因為，令

而在上單調遞增

，

所以，即

所以在的值域為(2)解：二次函數的對稱軸為，開口向下，

所以在，

，對任意的，都存在使得不等式成立，即，因為，令，所以在上有解，即在上有解

因為，所以，令，，所以，設，，函數在上為增函數，在為減函數，又，所以

綜上可得21．設函數在的圖像大致如下：(1)求的對稱軸方程；(2)將函數圖像上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像．證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，結合圖像可得，進而可得，然后根據三角函數的性質即得；（2）根據圖像變換規律可得，然后根據三角恒等變換即得.【詳解】（1）因為，由題可知函數的最小正周期，即，由圖像可知時，，所以，又，則，，由，可得，的對稱軸方程為；（2）∵，．22．已知函數，其圖像一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，將函數向左平移個單位得到的圖像關于y軸對稱且．(1)求函數的解析式：(2)若，方程存在4個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據給定函數的性質，求出，再由平移后的圖象特征求出并判斷作答.（2）由給定方程可得或，根據根的情況結合圖形求解作答.【詳解】(1)因函數圖像一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差