第03講：三角函數性質圖像和三角恒等式變換高頻考點突破【考點梳理】考點一：任意角的三角函數的定義設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sinα，即sinα＝y；點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即cosα＝x；把點P的縱坐標與橫坐標的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，分別記為：正弦函數y＝sinx，x∈R；余弦函數y＝cosx，x∈R；正切函數y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．考點二：正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．考點三：公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數的值相等．考點四：同角三角函數的基本關系1．平方關系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數關系：同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．考點五：同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.考點六：六組誘導公式組數一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限技巧歸納：1．誘導公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限．2．同角三角函數基本關系式的常用變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.考點七．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值當x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；當x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1當x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；當x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)對稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ考點八.函數y＝sinx的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：考點九兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點十兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點十一：兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式考點十三半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點十四輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型梳理】題型一：同角三角函數的基本關系1．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知，則=（

）A．-7 B． C． D．52．（2023秋·安徽馬鞍山·高一統考期末）若，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·海南·高一海南華僑中學校考期末）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．題型二：三角函數的誘導公式4．（2023秋·山西運城·高一統考期末）已知為第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知為銳角，且.(1)化簡；(2)若，求的值.6．（2023秋·河北邯鄲·高一校考期末）已知第三象限角滿足，且，為第三象限角，求下列各式的值.(1)求的值；(2)求的值.題型三：三角形的圖像和性質7．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校校考期末）函數的一個周期內的圖象如圖所示，下列結論錯誤的是（

）A．的解析式是B．函數的最小正周期是πC．函數的最大值是2D．函數的一個對稱中心是8．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考期末）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法中錯誤的是（

）A．函數的圖象關于點對稱B．函數的圖象關于直線對稱C．函數在上單調遞增D．函數在的取值范圍為9．（2023秋·江蘇連云港·高一校考期末）設函數（是常數，，），若在區間上具有單調性，且，則函數是的最小正周期是（

）A． B． C． D．題型四：函數y＝Asin(ωx＋φ)圖像的變換和綜合性質10．（2023秋·吉林·高一統考期末）將函數的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的解析式為（

）A． B．C． D．11．（2022·江蘇·高一期末）已知函數，現將的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則在的值域為（

）A． B． C． D．12．（2023秋·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級中學校考期末）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，已知在上恰有5個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：兩角和與差的三角函數13．（2023春·四川成都·高一成都實外校考期末）下列化簡不正確的是（

）A． B．C． D．14．（2023秋·廣東·高一校聯考期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·陜西渭南·高一統考期末）已知,都是銳角,,,則（

）A． B． C． D．題型六：二倍角公式的應用16．（2023春·江西贛州·高一校聯考期末）已知，則（

）A． B． C． D．17．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期末）若，則（

）A．3 B． C． D．18．（2022秋·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．題型七：降冪公式的應用19．（2022秋·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校考期末）若，，則（

）A． B． C． D．20．（2021秋·湖北荊州·高一沙市中學校考期末）已知函數在上有且只有四個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．（2022春·河南南陽·高一校聯考期末）化簡=（

）A．1 B． C． D．2題型八：三角函數恒等式變換22．（2023春·河南焦作·高一統考期末）已知函數，有下述三個結論：①的最小正周期是；②在區間上不單調；③將圖象上的所有點向右平移個單位長度后，得到函數的圖象．其中所有正確結論的編號是（

）A．① B．② C．①② D．①②③23．（2022春·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考期末）已知，，則（

）A． B． C． D．24．（2022春·陜西榆林·高一校考期末）若，則（

）A． B． C． D．題型九：三角函數的綜合應用25．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校校考期末）已知函數．(1)求的最小正周期和對稱軸方程；(2)若函數在上的值域．26．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函數.(1)求的單調遞增區間；(2)若在上存在最小值，求實數t的取值范圍；(3)方程在上的兩解分別為，求的值.27．（2023秋·云南德宏·高一統考期末）已知函數．(1)求的單調遞減區間及最小正周期；(2)將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，討論函數在上的零點個數．【專題突破】一、單選題28．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在平面直角坐標系中，若角以軸的非負半軸為始邊，且終邊過點，則的值為（

）A． B． C． D．29．（2023春·江蘇蘇州·高一統考期末）已知，則（

）A． B． C． D．30．（2023春·江蘇南通·高一校考期末）已知函數在內恰有個最值點和個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2023春·江西贛州·高一校聯考期末）在平面直角坐標系中，為第四象限角，角的終邊與以10為半徑的圓交于點，若，則（

）A． B． C． D．32．（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯考期末）已知，滿足，若函數在區間上有且只有三個零點，則的范圍為（

）A． B． C． D．33．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學校考期末）已知當時，函數取得最小值，則（

）A． B． C． D．34．（2023秋·云南德宏·高一統考期末）設函數，則下列結論錯誤的是（

）A．的一個周期為?2π B．的值為C．的一個零點為 D．在上單調遞減35．（2023秋·云南楚雄·高一統考期末）已知黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度的比值為黃金比值（即黃金分割值，該值恰好等于），則下列式子的結果不等于的是（

）A． B．C． D．36．（2023秋·河北邢臺·高一邢臺一中校考期末）已知，則（

）A． B． C． D．37．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）2023年是農歷癸卯兔年，在中國傳統文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含“吉祥團圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應為（

）A． B．76cm C．94cm D．38．（2023秋·北京·高一清華附中校考期末）已知函數，則下列說法正確的是（

）①時，的最大值為；②時，方程在上有且只有三個不等實根；③時，為奇函數；④時，的最小正周期為A．①② B．①③ C．②④ D．①④二、多選題39．（2023春·江西贛州·高一校聯考期末）已知某曲線部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．一條對稱軸方程為C．在上單調遞增D．圖象可以由圖象向左平移個單位長度得到40．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）下列說法正確的是（

）A．B．C．已知角的終邊過點，則D．已知扇形弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為41．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考期末）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱C．函數的最小正周期為D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為42．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期末）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音，若一個復合音的數學模型是函數，則（

）A．函數圖像的一個對稱中心為B．函數圖像的一條對稱軸為直線C．函數在區間上單調遞增D．將函數的圖像向左平移個單位后的圖像關于y軸對稱三、填空題43．（2023春·上海浦東新·高一統考期末）化簡_________.44．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校校考期末）若將函數的圖象向左平移個單位長度，平移后的圖象關于點對稱，則______．45．（2023秋·山西大同·高一統考期末）如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每4分鐘轉1圈，筒車的軸心距離水面的高度為1.5米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負數），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，且與時間（單位：分鐘）之間的關系式為：，則與時間之間的關系是______.

46．（2023秋·河南三門峽·高一統考期末）若函數是定義在上的奇函數，且滿足，當時，，則______．四、解答題