上海數(shù)學(xué)調(diào)研卷(考試時(shí)間120分鐘，滿分150分)(試卷共4頁，答題紙共2頁)一、填空題(本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果。)1．已知全集，，則．2．若，，則．3．設(shè)為虛數(shù)單位，若，則．4．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比相等，若，則．5．函數(shù)在處的切線斜率為．6．設(shè)實(shí)數(shù)，圓:的面積為，則．7．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的有且僅有第4項(xiàng)，則正整數(shù)．8．未來工作室加工50000個(gè)零件．若這批零件分配到1號(hào)車間25000個(gè)，2號(hào)車間20000個(gè)，3號(hào)車間5000個(gè)，其中1號(hào)車間、2號(hào)車間、3號(hào)車間加工合格率分別為0.95、0.85、0.75，則這批零件的加工合格率為．9．在正七棱錐中，直線過A、B、C、D、E、F、G中的兩個(gè)不同點(diǎn)．當(dāng)與直線所成角為最小值時(shí)，則滿足條件的的條數(shù)為．10．設(shè)(且，)．若對(duì)任意，均成立，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．11．如圖，ABCD是未來中學(xué)校園內(nèi)的一方矩形花圃，其四邊均鑲嵌一汪以各邊中點(diǎn)為圓心的噴泉池；早先花圃的對(duì)角已建有一徑水泥步道．已知花圃長(zhǎng)、寬、分別為50米、30米，噴泉池的直徑均為15米，步道邊緣、各與兩汪噴泉池邊緣相切．今欲在花圃的對(duì)角仿照現(xiàn)存步道鋪設(shè)另一水泥步道，則最少需使用水泥平方米(精確至0.01，不考慮步道厚度及材料耗損)．12．設(shè)，對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)()，使得．存在滿足：．則滿足要求的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為．二、選擇題(本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分。每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。)13．設(shè)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）．A．． B．．C．． D．．實(shí)驗(yàn)序號(hào)123456播種面積(單位：千公頃)60.971.872.973.675.880.0總產(chǎn)量(單位：萬噸)37.837.438.940.137.3未知14．與“總產(chǎn)量”的相關(guān)數(shù)據(jù)并預(yù)測(cè)序號(hào)6的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，若發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)序號(hào)5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤需剔除，則下列說法正確的是（）．A．實(shí)驗(yàn)樣本的相關(guān)系數(shù)將變?。?B．實(shí)驗(yàn)樣本的相關(guān)系數(shù)將不變．C．實(shí)驗(yàn)序號(hào)6的預(yù)測(cè)結(jié)果將變大． D．實(shí)驗(yàn)序號(hào)6的預(yù)測(cè)結(jié)果將變?。?5．設(shè)，．若對(duì)任意，均存在，使得函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則的取值可能是（）．A．． B．． C．． D．．16．在平面直角坐標(biāo)系中，記，．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，給出如下結(jié)論：下列選項(xiàng)中，判斷正確的是（）．A．命題①成立，命題②成立． B．命題①成立，命題②不成立．C．命題①不成立，命題②成立． D．命題①不成立，命題②不成立．三、解答題(本大題共5題，第17—19題每題14分，第20—21題每題18分，共78分。解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。)17．(第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)如圖，在四棱錐中，底面是正方形，是棱的中點(diǎn)，平面．(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的大?。?8．(第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)設(shè)，.已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，且．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；(2)設(shè).若對(duì)任意的，均有，求的取值范圍．19．(第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分) 某市眼病疾控中心計(jì)劃對(duì)24000名不同年齡的市民進(jìn)行視力調(diào)查，調(diào)查所得到的年齡與視力情況如下表所示．視力情況年齡范圍視力正常840456111624601752視力不正常6096960192038404560(1)從中隨機(jī)抽取一名市民，求所抽取的市民，在“視力正常”的條件下，年齡范圍在的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為“任取一名市民的視力情況”(若視力正常，則記；若不正常，則記)，求的分布與期望；(3)通過分層抽樣抽取2000人．請(qǐng)利用抽樣后的樣本數(shù)據(jù)填寫下列2×2列聯(lián)表，并判斷該市視力情況是否與年齡有關(guān)聯(lián)？視力正常視力不正常合計(jì)年齡不低于60歲aba+b年齡低于60歲cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82820．(第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，是第一象限上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè).若點(diǎn)在直線上，且與的面積相等，求到直線的距離；(3)設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若使得的直線恰有2條，求的取值范圍．21．(第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，存在導(dǎo)函數(shù)．設(shè)，定義．(1)設(shè)，求；(2)設(shè)，若函數(shù)在處的切線經(jīng)過()，求的值并求出集合；(3)若且,求．

參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、(第1題至12題)1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；7．； 8．； 9．； 10．； 11．429.82； 12．.二、(第13題至16題)題號(hào)13141516代號(hào)BCDB三、(第17題至21題)17．(第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)(1) 平面，平面，所以； ……2分 底面是正方形，故． 而，故平面． ……4分 又因?yàn)槠矫?，因此?……6分(2) 方法一： 取的中點(diǎn)，連接，由(1)中結(jié)論易知兩兩垂直. 以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 ……2分 設(shè)，則，根據(jù)，可知，； 易知，故 即，，， ……4分 ，， 可知平面的一個(gè)法向量為 ……6分 設(shè)直線與平面所成角為， 可知. 綜上所述：直線與平面的所成角為. ……8分 方法二： 設(shè)，則，根據(jù)，可知， 而，是棱的中點(diǎn)，故. ……2分在中，可知，，由余弦定理知.故的面積為 ……4分設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，可知 ……6分設(shè)直線與平面所成角為，可知綜上所述：直線與平面的所成角為. ……8分18．(第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)(1)方法一： 由函數(shù)是偶函數(shù)，可知，解得. ……2分同時(shí)，解得. ……4分此時(shí)，對(duì)任意，顯然有綜上所述：，. ……6分方法二： 由函數(shù)是偶函數(shù)，可知，解得. ……2分 且對(duì)任意，有，即 化簡(jiǎn)得恒成立 ……4分 綜上所述：，. ……6分(2)根據(jù)，且，可知，解得或 ……2分 情況1：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，故只需. 即.設(shè)， 則，故是上的嚴(yán)格增函數(shù). ……4分 故只需，解得，且 ……6分 情況2：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，故只需. 同理可知，只需，即，舍去 綜上所述：的取值范圍是 ……8分19．(第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分)(1)記事件為“所抽取的市民，視力正?！保皇录椤八槿〉氖忻?，年齡范圍在”.……2分則由條件概率可得：.……4分(2)由題干可得，隨機(jī)變量可取；因?yàn)?.因此可得，隨機(jī)變量的分布為.……2分所以，隨機(jī)變量的期望為：.……4分(3)根據(jù)分層抽樣，可得如下2×2列聯(lián)表：視力正常視力不正常合計(jì)年齡不低于60歲3517001051年齡低于60歲201748949合計(jì)55214482000……2分提出原假設(shè)：該市視力情況與年齡沒有關(guān)聯(lián)，確定顯著性水平，計(jì)算，……4分由于，而，因此根據(jù)該數(shù)據(jù)樣本可得，原假設(shè)不成立，因此該市視力情況與年齡有關(guān)聯(lián).……6分20．(第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)(1)根據(jù)題意：，，故. ……2分離心率. ……4分(2)由與面積相等，可知與面積相等， 即，根據(jù)比例可知是的中點(diǎn). ……2分 而，故在橢圓上，代入解得. ……4分 故直線的方程為，因此到直線的距離為. ……6分(3)設(shè)直線的表達(dá)式為，、 由于在第一象限，故. 聯(lián)立，得. 故，. ……2分 取的中點(diǎn)，即，, 故只需. ……4分同時(shí)，代入化簡(jiǎn)得 ……6分即在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn) 有，代入解得 ……8分21．(第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)(1)對(duì)求導(dǎo)有，所以，，因此， ……2分求解不等式有，由于該式對(duì)于任意均成立， ……3分所以. ……4分(2)對(duì)求導(dǎo)有，則在處的切線方程為， ……2分代入可得或，由于，所以. …