四川省自貢市2025年中考數(shù)學(xué)真題一、選擇題（共12個(gè)小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若，則內(nèi)的數(shù)字是（）A．-2 B．2 C．4 D．-42．起源于中國的圍棋深受青少年喜愛．以下由黑白棋子形成的圖案中，為中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．3．如圖，一束平行光線穿過一張對(duì)邊平行的紙板，若、則的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．100° D．115°4．中國新能源汽車性能優(yōu)越，近年來銷售量持續(xù)攀升，2024年度銷量已達(dá)到1286.6萬輛.12866000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B．C． D．5．如圖，一橫一豎兩塊磚頭放置于水平地面，其主視圖為（）A． B．C． D．6．某校舉行“唱紅歌”歌詠比賽，甲、乙、丙三位選手的得分如下表所示．三項(xiàng)評(píng)分所占百分比如下圖所示，平均分最高的是（）選手專家組評(píng)分教師組評(píng)分學(xué)生組評(píng)分甲779乙878丙788A．甲 B．乙C．丙 D．平均分都相同7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為5，邊在軸上．．若將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．得到正方形．則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）8．如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則（）A．140° B．150° C．160° D．170°9．某小區(qū)人行道地磚鋪設(shè)圖案如圖所示．用10塊相同的小平行四邊形地磚拼成一個(gè)大平行四邊形．若大平行四邊形短邊長．則小地磚短邊長（）A．7cm B．8 C．9 D．10．分別與相切于兩點(diǎn)．點(diǎn)在上，不與點(diǎn)重合．若，則的度數(shù)為（）A．50° B．100°C．130° D．或-11．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，將平移，得到，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．若，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（11，-4） B．（10，-3） C．（12，-3） D．（9，-4）12．如圖，正方形邊長為6，以對(duì)角線為斜邊作、，點(diǎn)在上．連接．若．則的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．4二、填空題（共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）13．計(jì)算：．14．分解因式：.15．若，則的值為．16．如圖，在中，，于點(diǎn)，．以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心．的長為半徑畫弧．交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；又以點(diǎn)為圓心……重復(fù)以上操作．則的長為．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt的頂點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上，．以為邊作等邊．連接，則的最大值為．三、解答題（共8個(gè)題．共82分）18．解不等式組：，并在數(shù)軸上表示其解集．19．如圖，，．求證：．20．去年暑假，小張和小李同學(xué)主動(dòng)幫劉大爺掰玉米，他們各留了36籃和30筐，兩人勞動(dòng)時(shí)間相同，小張平均每小時(shí)比小李多掰2筐，請(qǐng)問小李平均每小時(shí)掰玉米多少筐？21．某校七年級(jí)擬組建球類課外活動(dòng)興趣班，為了解同學(xué)們的參與意向，學(xué)生會(huì)進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查，要求被調(diào)查的同學(xué)在足球、籃球、乒乓球、羽毛球中任選一項(xiàng)．以下是依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，正在繪制中的統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題，選擇球類興趣班人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖選擇球類興趣班人數(shù)占比統(tǒng)計(jì)表粗腳球類活動(dòng)興趣班占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比A足球10%B籃球C乒乓球D羽毛球（1）請(qǐng)補(bǔ)全上述條形統(tǒng)計(jì)圖和占比統(tǒng)計(jì)表，若用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映選擇球類活動(dòng)興趣班的人數(shù)占比，則籃球興趣班的扇形圓心角為▲度；（2）估計(jì)該校七年級(jí)400名學(xué)生中，選擇乒乓球興趣班的人數(shù)；（3）若用電腦隨機(jī)選擇A，B，C，D四類興趣班，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求該校七年級(jí)甲、乙兩名同學(xué)都選擇乒乓球興趣班的概率22．如圖．等圓和相交于兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，連接，作直徑，延長到點(diǎn)，使，連接．（1）度；（2）求證：為的切線；（3）若，求上的長．23．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線．交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．（1）求的值；（2）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）雙曲線關(guān)于軸對(duì)稱的圖象為，直接寫出射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與的交點(diǎn)坐標(biāo).24．如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見證過自貢燈會(huì)的輝煌歷史．小蕊參加了測(cè)量該塔高度的課外實(shí)踐活動(dòng)，小組同學(xué)研討完測(cè)量方案后，活動(dòng)如下．（1）制作工具如圖2，在矩形木板上點(diǎn)處釘上一顆小鐵釘，系上細(xì)繩，繩的另一端系小重物，過點(diǎn)畫射線．測(cè)量時(shí)豎放木板，當(dāng)重垂線時(shí)，將等腰直角三角尺的直角頂點(diǎn)緊靠鐵釘，繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，通過邊瞄準(zhǔn)目標(biāo)，測(cè)量可得仰角度數(shù)．采用同樣方式，可測(cè)俯角度數(shù)．測(cè)量時(shí)，是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問．組長對(duì)她說：“因?yàn)槭冀K垂直于水平面，滿足就行．”求證：．（2）獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學(xué)們利用制作的測(cè)量工具，在該塔對(duì)面高樓上進(jìn)行了測(cè)量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽臺(tái)處測(cè)得塔底的仰角為，在25樓對(duì)應(yīng)位置處測(cè)得塔底的俯角為，塔頂?shù)难鼋菫椋鐖D4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習(xí)本上畫了一個(gè)，．在邊上取兩點(diǎn)，使，量得，，，則，，（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．（3）計(jì)算塔高請(qǐng)根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計(jì)算該塔高度（結(jié)果取整數(shù)）．（4）反思改進(jìn)小蕊的測(cè)量結(jié)果與該塔實(shí)際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學(xué)想出了許多辦法．請(qǐng)你也幫小蕊提出兩條合理的改進(jìn)建議（總字?jǐn)?shù)少于50字）．25．如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）若，，，則四邊形的面積為；（2）若，的最大面積為．設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；（3）若（2）問中取任意實(shí)數(shù)，將函數(shù)的圖象依次向右、向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．直線交該圖象于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），過點(diǎn)的直線交該圖象于另一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)．若，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】014．【答案】m（m-4）15．【答案】116．【答案】17．【答案】18．【答案】解：

由①得：x>-1，

由②得：x<2，

在數(shù)軸上表示其解集如下：

∴不等式組的解集為-1<x<2.19．【答案】解：∵∠ABE=∠BAF，

∴AC=BC，

在△ACE和△BCF中，

∴△ACE≌△BCF(SAS)

∴AE=BF20．【答案】解：設(shè)小李平均每小時(shí)掰玉米筐，則小張平均每小時(shí)掰玉米筐．根據(jù)題意，得解得：x=10，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的根且符合題意；

∴小李平均每小時(shí)掰玉米12筐．21．【答案】（1）解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知各球類興趣班人數(shù)占比，設(shè)總?cè)藬?shù)為：足球：4人，占比10%，得4÷n=10%，解得n=40．

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

B組人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為10÷40×100%=25%，

C組人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為14÷40×100%=35%，

D組人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為12÷40×100%=30%，

若用扇形統(tǒng)計(jì)圖反映選擇球類活動(dòng)興趣班的人數(shù)占比，則籃球興趣班的扇形圓心角為360°×25%=90°將以上數(shù)據(jù)填入條形統(tǒng)計(jì)圖和占比統(tǒng)計(jì)表中：組別球類活動(dòng)興趣班占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比A足球10%B籃球25%C乒乓球35%D羽毛球30%（2）解：估計(jì)該校七年級(jí)400名學(xué)生中選擇乒乓球興趣班的人數(shù)：人．（3）解：用列表法求該校七年級(jí)甲、乙兩名同學(xué)都選擇乒乓球興趣班的概率：所有可能組合為（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16種．

其中該校七年級(jí)甲、乙兩名同學(xué)都選擇乒乓球興趣班的情況有1種，

∴該校七年級(jí)甲、乙兩名同學(xué)都選擇乒乓球興趣班的概率為.22．【答案】（1）30（2）證明：如圖，連接BC，

由(1)得：△AO1O2，△BO1O2是等邊三角形，

∴∠AO2O=∠BO2O=60°，

∴∠BO2C=60°，

∵O2B=O2C，

∴△BO2C為等邊三角形，

∴∠O2CB=60°=∠O2BC，CB=O2B，

∵DB=O2B，

∴DB=BC，

∴，

∴∠O2CD=60°+30°=90°

∵O2C為半徑，

∴CD為☉O的切線.（3）解：∵，∠BDC=30°，∠O2CD=90°∴，

∵∠AO2B=60°+60°=120°，

∴☉O2上的長23．【答案】（1）解：∵點(diǎn)A(-2，a)在反比例函數(shù)上，

∴a=4，即A(-2，4)，

將A(-2，4)代入正比例函數(shù)y=kx中，

得-2k=4，

解得：k=-2.（2）解：B在直線y=-2x上，

設(shè)B(m，-2m)，

∵過點(diǎn)B作y軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，

∴，

∵BD=2，

∴

整理得：m2-2m-4=0，

解得：或(不符合題意舍去)，

∴.（3）解：∵雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象為y'，

∴，

如圖，

由旋轉(zhuǎn)可得：OA=OA'，∠AOA'=90°，

過A作AK⊥x軸于K，過A'作A'L⊥x軸于L，

∴∠AKO=∠A'LO=90°，

∴∠AOK=90°-∠A'OL=∠OA'L，

∴△AOK≌△OA'L，

∵A'(-2，4)，

∴OL=AK=4，A'L=OK=2，

∴A'(4，2)，

當(dāng)x=4時(shí)，，

∴A'(4，2)在的圖象上，

由反比例函數(shù)是中心對(duì)稱圖形可得：A"(-4，-2)，

∴射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后與y'的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)或(-4，-2).24．【答案】（1）證明：∵四邊形HIJK為矩形，

∴∠H=90°，

∵QM//HK，

∴∠IQM=∠H=90°

又∵OG//HI，

∴∠MOG=∠IQM=90°

∴OG⊥QM（2）0.09；0.16；0.26（3）解：如圖，延長DR交TU于F，延長PS交TU于E，

則∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，

∴四邊形DPEF為矩形，

∴DP=EF，DF=PE，

由題意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，

設(shè)EU=x米，則FU=EF-EU=(30-x)米，

∵，，

∴，，

∴

解得：x=10.8，

∴FU=30-10.8=19.2米，米，

∵，

∴TF=31.2米，

∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，

即該塔高度為50米.（4）解：使用高精度測(cè)量工具：為提高測(cè)量精度，應(yīng)使用激光測(cè)距儀、高精度全站儀等高精度測(cè)量工具進(jìn)行距離和角度的測(cè)量．多次測(cè)量取平均值：在同一位置進(jìn)行多次測(cè)量，并計(jì)算平均值，以減少偶然誤差的影響．考慮大氣折射等因素：在遠(yuǎn)距離測(cè)量時(shí)，應(yīng)考慮大氣折射等因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，并進(jìn)行相應(yīng)的校正．建立更精確的數(shù)學(xué)模型：結(jié)合樓層高度、角度測(cè)量值等數(shù)據(jù)，建立更精確的數(shù)學(xué)模型來計(jì)算塔高．25．【答案】（1）（2）解：在△ABC中，D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位數(shù)，

∴DE//BC，，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴

∴

∴

∴當(dāng)四邊形BCDE的面積最大時(shí)，△ABC的面積最大，

過點(diǎn)B作BM⊥CE，過點(diǎn)D作DN⊥CE，則：BM≤B