2/2三角形全等幾何模型-共邊模型（專項練習）共邊模型：所謂共邊模型，就是欲證全等的兩個三角形有相同的邊或相同的邊在同一直線上。一、單選題1．如圖，在中，，，點在邊上，，點、在線段上，，若的面積為21，則與的面積之和是（）A．6 B．7 C．8 D．92．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，則∠CDE的度數為（

）A．68° B．70° C．71° D．74°3．如圖，點B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF．補充下列一個條件后，仍無法判定△ABC與△DEF全等的是（）A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE4．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，點B到AC的距離為2，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．35．如圖，ABDE，AB=DE，下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．DFAC B．∠A=∠D C．CF=BE D．AC=DF6．如圖，在中，，的平分線交于點E，于點D，若的周長為12，，則的周長為（

）A．9 B．8 C．7 D．67．如圖，在中，，，垂足分別為D，E，，交于點H，已知，，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．8．如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結論正確的個數有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm210．如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF若添加下列條件中的某一個．就能使DOEFOE，你認為要添加的那個條件是（

）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE=∠OED D．∠ODE=∠OFE11．如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．12．如圖，已知點A，D，C，F在同一條直線上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，則下列條件可以添加的是（）A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF二、填空題13．如圖，點B，E，C，F在一條直線上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，則需添加的條件是________．（填一個即可）14．圖，中，，，點E在上，點F為延長線上一點，且，，則______°．15．如圖，ADBC，，，連接AC，過點D作于E，過點B作于F．（1）若，則∠ADE為___°（2）寫出線段BF、EF、DE三者間的數量關系___．16．如圖，BE交AC于點M，交CF于點D，AB交CF于點N，，給出的下列五個結論中正確結論的序號為．①；②；③；④；⑤．17．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，則S△ACD＝________．18．如圖，點，，在同一直線上，，，，，若線段與線段的長度之比為，則線段與線段的長度之比為______．19．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面積為10，△ACD的面積為6，則△ABD的面積是_________．20．如圖，在中，，F是高AD和BE的交點，cm，則線段BF的長度為______．21．如圖，與的頂點A、B、D在同一直線上，，，，延長分別交、于點F、G．若，，則______．22．如圖，在和中，點B、E、C、F在同一條直線上，且，，請你再添加一個適當的條件：________________，使．三、解答題23．如圖，點D和點C在線段BE上，，，．求證：．24．如圖，，點E在BC上，且，．(1)求證：；(2)判斷AC和BD的位置關系，并說明理由．25．如圖，A，B，C，D依次在同一條直線上，，BF與EC相交于點M．求證：．26．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一點，F是AB延長線上一點，且DE＝BF．(1)求證：CE＝CF；(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，試猜想DE，EG，BG之間的數量關系，并證明．27．已知，如圖中，，，的平分線交于點，，求證：.28．如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．29．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數量關系，并證明．30．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．(1)當∠A＝80°時，求∠EDC的度數；(2)求證：CF＝FG＋CE．參考答案1．B【分析】結合題意，根據全等三角形的性質，通過證明，得與的面積之和，通過計算即可完成求解．解：∵，，∴∵∴∵∴在和中∴∴∴與的面積之和∵，若的面積為21∴故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質，從而完成求解．2．D【分析】利用三角形內角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性質證明∠BED=∠BAD即可解決問題．解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，．∴△BMA≌△BME（ASA），∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED=∠BAD=112°，∴∠CED=68°，∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，故選：D．【點撥】本題考查三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．3．D【分析】根據全等三角形的判定方法判斷即可．解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC與△DEF全等，不符合題意；D、添加AC＝DE，不能判定△ABC與△DEF全等，符合題意；故選：D．【點撥】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據全等三角形的判定方法解答．4．C【分析】在AC上截取AE=AN，連接BE，由AD平分∠CAB，可得∠EAM=∠NAM，然后根據SAS可證△AEM≌△ANM，可得MN=ME,然后根據BM+MN=BM+ME≥BE，可得當BE⊥AC，即BE是點B到AC的距離時，BM+MN的值最小，從而求得答案.解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵AD平分∠CAB，∴∠EAM=∠NAM，在△AEM和△ANM中，∵∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴MN=ME，∴BM+MN=BM+ME≥BE，當BE⊥AC，即BE是點B到AC的距離時,BM+MN的值最小，∵點B到AC的距離為2，∴BM+MN的最小值是2.故選：C.【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系、點到直線的距離，通過構造全等三角形把MN轉化成ME是解題的關鍵.5．D【分析】直接利用三角形全等判定條件逐一進行判斷即可．解：A.

由DF∥AC可得∠ACB＝∠DFE，由AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因AB=DE，利用AAS可得△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；B.

由AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因∠A＝∠D，AB＝DE，利用ASA可得△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；C.

由CF=BE可證得BC＝EF，由AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因AB＝DE，利用SAS可得△ABC≌△DEF，故本選項不符合題意；D.

AC＝DF

，AB∥DE，AB=DE，是SSA，不能判斷三角形全等，故本選項符合題意，故選D．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定條件，熟記全等三角形的判定條件是解題關鍵．6．D【分析】通過證明得到、，的周長，即可求解．解：∵平分∴，又∵∴又∵∴（AAS）∴、，的周長為，故選：D，【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質，以及線段之間的等量關系．7．A【分析】利用“八字形”圖形推出∠EAH=∠ECB，根據，EH=3，求出AE=4，證明△AEH≌△CEB，得到AE=CE=4，即可求出CH．解：∵，，∴∠CEB=，∵∠AHE=∠CHD，∴∠EAH=∠ECB∵，EH=3，∴AE=4，∵∠AEH=∠CEB，∠EAH=∠ECB，EH=BE，∴△AEH≌△CEB，∴AE=CE=4，∴CH=CE-EH=4-3=1，故選A．【點撥】此題考查了全等三角形的判定及性質，“八字形”圖形的應用，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．8．A【分析】過點P作PK⊥AB，垂足為點K．證明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性質即可解決問題．解：過點P作PK⊥AB，垂足為點K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正確，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正確，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四邊形ABCP＝S四邊形KBDP＝2S△PBD．故④正確．故選A．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．9．C【分析】證△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可．解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP＝∠EBPBP＝BP∠APB＝∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴，故答案選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，注意：等底等高的三角形的面積相等．10．D【分析】根據OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因為OE是公共邊，根據全等三角形的判斷即可得出結果．解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BOC當△DOE≌△FOE時，可得以下結論：OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．A答案中OD與OE不是△DOE≌△FOE的對應邊，A不正確；B答案中OE與OF不是△DOE≌△FOE的對應邊，B不正確；C答案中，∠ODE與∠OED不是△DOE≌△FOE的對應角，C不正確；D答案中，若∠ODE=∠OFE，在△DOE和△FOE中，∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正確．故選：D．【點撥】本題考查三角形全等的判斷，理解全等圖形中邊和角的對應關系是解題的關鍵．11．B【分析】根據三角形全等的判定做出選擇即可．解：A、，不能判斷，選項不符合題意；B、，利用SAS定理可以判斷，選項符合題意；C、，不能判斷，選項不符合題意；D、，不能判斷，選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查三角形全等的判定，根據SSS、SAS、ASA、AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關鍵．12．B【分析】已知AC=DF、AB＝DE，根據全等三角形的判定方法，需要添加第三組對應邊相等或夾角相等，得出結果．解：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+DC，即AC=DF，又∵AB＝DE，∴已知兩組對應邊相等，想證明△ABC≌△DEF，需要添加BC=EF（SSS），或∠A＝∠EDF（SAS）；故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定方法，解決問題的關鍵是熟練應用全等三角形的判定方法．13．∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【分析】先根據已知條件推得∠B＝∠F，加上AB＝DF，要證△ABC≌△DFE，只需要根據全等三角形的判定方法添加適當的角和邊即可．解：∵AB∥DF，∴，添加∠A＝∠D，在和中，∴；添加∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加AC∥DE，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加BC＝FE，在和中，∴；添加BE＝FC，∵BE＝FC，∴，∴，在和中，∴，綜上可得，添加∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC都可得到△ABC≌△DFE．故答案為：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【點撥】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．14．70【分析】由已知先求出，，再利用“HL”證明，再由全等三角形的性質求出，最后利用求解．解：∵中，，，∴，．在與中，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，求得是解答關鍵．15．

30

【分析】（1）根據直角三角形兩銳角互余進行倒角即可求解；（2）根據ASA證明≌，即可求解．解：（1）∵，且ADBC，，∴，∴，∴，∴；故答案為：30；（2）在和中，，∴≌，∴，，∵，∴．故答案為：【點撥】本題考查直角三角形兩銳角互余、全等三角形的判定與性質等內容，根據已知條件進行倒角是解題的關鍵．16．①；②；③；⑤【分析】①先證明△ABE≌△ACF，然后根據全等三角形的性質即可判定；②利用全等三角形的性質即可判定；③根據ASA即可證明三角形全等；④無法證明該結論；⑤根據ASA證明三角形全等即可．解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，故②正確，∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠1=∠2，故①正確，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，在△CAN和△BAM中，，∴△CAN≌△BAM（ASA），故③正確，CD=DN不能證明成立，故④錯誤在△AFN和△AEM中，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正確．結論中正確結論的序號為①；②；③；⑤．故答案為①；②；③；⑤．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．17．8【分析】在AE上截取AM＝AD構造△AMC≌△ADC，根據AAS判斷出△EMC≌△EBC，得出ME＝EB＝3，根據S△ACE＝14，CE＝4，得出AE=7，進而算出AM=4，算出△AMC的面積，即可得出△ACD的面積．解：在AE上截取AM＝AD，連接CM，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，在△AMC和△ADC中，，∴△AMC≌△ADC（SAS），∴，∵∠B＋∠D＝180°，，∴，∵CE⊥AB，∴，在和中，，∴△EMC≌△EBC（AAS），∴ME＝EB＝3，∵CE＝4，S△ACE＝14，∴，∴AM＝AE-EM=7-3=4，∴，∴．故答案為：8．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解決本題的關鍵．18．##【分析】根據平行線的性質得到CE⊥BC，根據余角的性質得到∠ACB＝∠E，根據全等三角形的性質得到CD＝AB，BC＝CE，等量代換即可得到結論．解：∵AB∥EC，AB⊥BC，∴CE⊥BC，∴∠B＝∠DCE＝90°，∵AC⊥DE，∴∠ACD＋∠CDE＝∠CDE＋∠E＝90°，∴∠ACB＝∠E，∵AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS），∴CD＝AB，BC＝CE，∵線段AB與線段CE的長度之比為5：8，∴CD：BC＝5：8，∴線段BD與線段DC的長度之比為3：5，故答案為：3：5．【點撥】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．19．16【分析】延長交于，由證明，得出，得出，進而得出，即可得出結果．解：如圖所示，延長、交于，∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，，∴．故答案為：16．【點撥】此題考查全等三角形的判定與性質，三角形面積的計算，證明三角形全等得出是解題關鍵．20．8cm【分析】先求，推導出，再求出，，根據ASA證明，即可得出答案．解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，在△BFD和△ACD中，∴（ASA），∴cm故答案為：8cm【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等．21．##110度【分析】先證明△ABC≌△EDB，可得∠E=，然后利用三角形外角的性質求解．解：∵，∴∠ABC=∠D，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB，∴∠E=，∴，，∴∠EGF=30°+50°=80°，∴80°+30°=110°，故答案為：110°．【點撥】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形外角的性質，熟練掌握三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和是解答本題的關鍵．22．####【分析】根據全等三角形的判定即可求解．解：①根據定理，即，可得；②根據定理，即，可得；③若，則，則根據定理，即可得；綜上所述，添加一個適當的條件：或或，故答案為：或或．（答案不唯一）【點撥】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．23．見分析【分析】根據平行線的性質證（SAS）即可求證；解：證明：∵，∴．∴．∵，∴．在和中∵∴（SAS）．∴∴．【點撥】本題主要考查三角形的全等證明、平行線的性質，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．24．(1)見分析(2)，理由見分析【分析】（1）運用SSS證明即可；（2）由（1）得，根據內錯角相等，兩直線平行可得結論．解：(1)在和中，，∴(SSS)；(2)AC和BD的位置關系是，理由如下：∵∴，∴．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關鍵．25．見分析【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS證明△AEC≌△DFB，即可得結論．解：證明：，，．在和中，，．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．26．(1)見分析(2)DE+BG＝EG，理由見分析【分析】（1）通過角的計算得出∠D＝∠CBF，證出△CDE≌△CBF（SAS），由此即可得出CE＝CF；（2）連接AC，結合AC＝AB、DC＝BC即可證出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA＝∠DCA＝60°，再根據∠ECG＝60°即可得出∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，由（1）可知△CDE≌△CBF，進而得知∠DCE＝∠BCF，根據角的計算即可得出∠ECG＝∠FCG，結合DE＝DF即可證出△CEG≌△CFG，即得出EG＝FG，由相等的邊與邊之間的關系即可證出DE+BG＝EG．(1)證明：∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°．又∵∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF．在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（SAS）．∴CE＝CF．(2)解：猜想DE、EG、BG之間的數量關系為：DE+BG＝EG．理由如下：連接AC，如圖所示．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA＝∠DCA＝∠DCB＝×120°＝60°．又∵∠ECG＝60°，∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG．由（1）可得：△CDE≌△BDF，∴∠DCE＝∠BCF．∴∠BCG+∠BCF＝60°，即∠FCG＝60°．∴∠ECG＝∠FCG．在△CEG和△CFG中，，∴△CEG≌△CFG（SAS），∴EG＝FG．又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，∴DE+BG＝EG．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、四邊形內角和定理以及角的計算；根據全等三角形的性質找出相等的邊角關系是關鍵．27．見分析.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結論即可．解：證明：如圖，延長交的延長線于，平分【點撥】此題考查三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，根據已知條件，作出輔助線是解決問題的關鍵．28．