第十章概率10.2事件的相互獨(dú)立性確定性事件和不確定事件隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)概念樣本點(diǎn)、樣本空間和有限樣本空間隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件事件的關(guān)系和運(yùn)算古典概型和幾何概型基本性質(zhì)整體感知概率復(fù)

習(xí)回顧并(和)事件：一般地，事件A與事件B至少有

一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者

在事件A中，或者在事件B中，我們稱(chēng)這個(gè)事件

為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作AUB(或A+B).交(積)事件：

一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，

這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在

事件B中，我們稱(chēng)這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB).

瀏覽教材249-252頁(yè)，思考并完成一下問(wèn)題：定義對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B

相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立.2.

相互獨(dú)立事件有哪些性質(zhì)?如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則A與B,A

與B,A

與B

也都相互獨(dú)立.兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式：事件

A

與事件

B

相互獨(dú)立，則

P(AB)=P(A)P(B).1.事件的相互獨(dú)立性的定義是什么?[探究新知」試驗(yàn)1:

分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，

A=“第一枚硬幣正面朝上”,

B=“第二枚硬幣反面朝上”.試驗(yàn)2:

一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到

球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=

“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”問(wèn)題一

：兩個(gè)試驗(yàn)，事件A

發(fā)生與否會(huì)影響事件B

發(fā)生的概率嗎?事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率

直觀判斷這種事件關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么呢?從概率角度量化研究[探究新知」試驗(yàn)1:

分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的，=“第一枚硬幣正面朝上”,B=“二枚硬幣反面朝上”。問(wèn)題二：分別計(jì)算P(A)、P(B)、P(AB),你有什么發(fā)現(xiàn)?解：用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”,則樣本空間為：Q={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},

包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。A={(1,1),(1,0},B={(1,0),(0,0)},AB={(1,0)}.所以

滿(mǎn)

足

：P(AB)=P(A)P(B)試驗(yàn)2:

一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”

,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3

”.分別計(jì)算P(A),P(B),P(AB),

你有什么發(fā)現(xiàn)?顯然有P(AB)=P(A)P(B).也就是積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)

與P(B)的乘積.并把這種互不影響的事件稱(chēng)為相互獨(dú)立事件.試驗(yàn)1:分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝

上”

,B=

“第二枚硬幣反面朝上”.思

考：

以上試驗(yàn)中事件AB

與A和B的概率有何聯(lián)系?事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)影響，這樣的兩個(gè)事件稱(chēng)為相互獨(dú)立事件.對(duì)任意兩個(gè)事件A

和B,如

果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A

與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立.判斷兩個(gè)事件是否為相互獨(dú)立事件，也可以從定性的角度進(jìn)行分析，也就是看一個(gè)事件的發(fā)生，對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響?沒(méi)有影響，就是相互獨(dú)立事件，有影響就不是相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于n個(gè)事件A?,A?…An,如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，那么稱(chēng)事件A1.A....,An

相互獨(dú)立.如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，那么把其中一個(gè)換成它的對(duì)立事件，這樣的兩個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.即P(A

B)=P(A)P(B)相互獨(dú)立事件的概念性質(zhì)探究：

互為對(duì)立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件是否也相互獨(dú)立?以有放回摸球試驗(yàn)為例，驗(yàn)證A與B,A

與B,A

與

B

是否獨(dú)立，你有什么發(fā)現(xiàn)?我們就先以試驗(yàn)2來(lái)驗(yàn)證：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)

外沒(méi)有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.易

得

，n(Ω)=16,n(A)=8,n(A)=8,n(B)=8,n(B=8,n(AB)=4,n(AB)=4,n(AB)=4,所以P因

此A與B,A

與B,A

與是獨(dú)立的

.我們?cè)儆美碚搧?lái)驗(yàn)證：對(duì)于A與B,

因?yàn)锳=ABUAB,而且AB與AB互斥，所以P(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AB)所以P(AB=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B)由事件的獨(dú)立性定義，A

與B相互獨(dú)立.類(lèi)似地，可以證明事件A與B,A與池都相互獨(dú)立.性質(zhì)2

.若事件A與B相互獨(dú)立，則A與

B,A與B,A

與

B

也都相互獨(dú)立

.③相互獨(dú)立的定義，既可以用來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，也可以在相互

獨(dú)立的條件下求積事件的概率注意：①互斥事件：兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生.②相互獨(dú)立事件：兩個(gè)事件的發(fā)生彼此互不影響.相互獨(dú)立事件的定義：對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B,

如

果P(AB)=P(A)P

(B)

成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立

.說(shuō)明：①事

件A與事件B相互獨(dú)立的直觀判斷：事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率.②公式變形：由于兩個(gè)人射擊的結(jié)

果

互

不

影響，所以A

與

B

相

互

獨(dú)

立，

A與

B,A與B,A與B都相互獨(dú)立，

由已知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.1(1)

AB=“兩人都中靶”,由事件獨(dú)立性的定義，得

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72(2)“恰好有一人中靶”=AB

UA

B,且AB

與A

B互斥，P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26(3)事件“兩人都脫靶”=AB,所

以P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.1=0.02(4)①事件“至少有一人中靶=ABUABUA

B,且AB,AB,A

B

兩兩互斥，則P(ABUABUA

B)=P(AB)+P(ABU

AB)=0.8×0.9+0.26=0.98例題2

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,

乙的中靶概率為0.9,求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶.解：設(shè)A=“甲中靶”

,B=“乙中靶”,則

A=“甲脫靶”,B=“乙脫靶”②∵事件“至少有一人中靶”的對(duì)立事件是“兩人都脫靶”,則事件“至少有一人中靶”的概率為1-P(AB)=1-0.02=0.98“正難則反”例題甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲，乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為0.75,乙每輪猜對(duì)的概率為2在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不

影響，各輪結(jié)果也互不影響，求”星隊(duì)“在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率.解：設(shè)A?,A?分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，B?,B?分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，

2個(gè)成語(yǔ)的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得設(shè)A=兩輪活動(dòng)“星隊(duì)”猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”,則A=A?B?UA?B?

,且A?B?與A?B?互

斥

，A?

與

B?,A?與B?

分別相互獨(dú)立，1.直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.2.定義法：判斷P(AB)